u_lectures

Поверхность конуса сцепления представляет собой геометрическое место максимальных реакций Rmax опорной плоскости. Пространство внутри

конуса сцепления соответствует совокупности возможных положений реакции опорной плоскости в положении равновесия тела.

Следовательно, тело будет

объясняются явления заклинивания и самоторможения.

Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Рассмотрим круглый цилиндрический каток весом Р радиусом R, лежащий на шероховатой горизонтальной плоскости (рис. 7.11, а).

Приложим к оси катка горизонтальную силу Q меньшую Fпр . Тогда в точке А контакта катка с неподвижной плоскостью возникнет нормальная реакция N и сила сцепления Fсц , которая будет препятствовать скольжению катка по плоскости. При такой схеме качение должно начинаться под действием любой малой силы Q , поскольку пара сил Q, Fсц ничем не

уравновешивается. Однако опыт показывает, что этого не происходит.

В действительности вследствие деформаций тел касание катка с плоскостью происходит по некоторой площадке АВ (рис. 7.11, б). При

действии сдвигающей силы Q интенсивность давления у края В больше чем

у края А. В результате нормальная реакция N (равнодействующая этих давлений) оказывается смещенной на расстояние h в сторону действия силы

Этот момент Мс называется моментом трения качения.

Рис 7.11

Считая деформацию малой можно заменить систему сил на рис. 7.11, б системой сил, изображенной на рис. 6.6, в, где в отличие от первой схемы

(рис. 7.11, а) к цилиндру приложен момент трения качения Мс .

Составим уравнения равновесия для цилиндра (рис. 7.11, в), находящегося под действием плоской произвольной системы сил:

Из (7.22) видно, что с увеличением силы Q растет расстояние h,

однако оно связано с размером площадки контакта АВ, и не может неограниченно увеличиваться. Поэтому наступит такое состояние, когда

увеличение силы Q приведет к нарушению равновесия и цилиндрический

каток покатится.

Следовательно, каток находится в равновесии при

Линейная величина называется коэффициентом трения качения и измеряется обычно в сантиметрах. Значение зависит от материала и определяется опытным путем. Например, = 0,05 0,08 см при качении дерева по дереву; = 0,005 см при качении мягкой стали по стали (колесо по рельсу); = 0,001 см при качении закаленной стали по стали (шаровой подшипник).

Условие равновесия (7.22) для катка можно записать в виде

или с учетом (7.21)

Q R N .

Следовательно, при равновесии катка отсутствие скольжения и качения будет при одновременном выполнении двух условий:

происходит еще и его скольжение.

Следовательно, для большинства материалов преодолеть сопротивление качению легче, чем преодолеть сопротивление скольжению. Поэтому в технике, когда возможно, стремятся скольжение заменить качением (колеса, катки, шариковые и роликовые подшипники).

ЛЕКЦИЯ 8

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ

Момент силы относительно оси

Проекция момента mO (F) силы F относительно центра (точки) О, на

ось z, проходящую через этот центр, называется моментом силы F

относительно оси z, т. е.

1)если сила параллельна оси, то ее момент относительно оси равен нулю ( Fху 0 );

2)если линия действия силы пересекает ось, то ее момент

относительно данной оси также равен нулю (h = 0).

При вычислении момента силы относительно оси обычно пользуются

теоремой Вариньона для моментов силы относительно оси. Проецируя векторное выражение (6.20) на ось z, получим

к 1

Момент равнодействующей относительно выбранной оси равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно этой оси.

Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил

Главный вектор R , равный геометрической сумме сил F1, F2, , F3, ...,

Fn , в декартовых координатах определяется по модулю и направлению применением полученных выше формул (5.8) – (5.11).

Для вычисления главного момента MO системы сил F1, F2, , F3, ..., Fn относительно центра (точки) О:

следует начало декартовой системы координат Охуz поместить в центре О, и затем разложить вектор MO по трем взаимно перпендикулярным направлениям аналогично (8.5):

относительно осей Ох, Оу, Оz соответственно, определяются как проекции главного момента MO на эти координатные оси:

Модуль и направление главного момента вычисляются по формулам:

Частные случаи приведения пространственной системы сил

Согласно теореме Пуансо любую систему сил, действующую на

к 1

центра приведения.

Рассмотрим частные случаи приведения системы сил к произвольному центру О.

1) R 0, МО 0.

Если главный вектор системы сил не равен нулю, а её главный момент относительно этого центра равен нулю, то система сил приводится к

равнодействующей R равной главному вектору, линия действия которой проходит через центр приведения О.

2) R 0, МО 0.

Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения О не равен гулю, то система сил

приводится к паре с моментом равным главному моменту МО системы сил

относительно центра приведения О. Поскольку момент пары вектор свободный, то в этом случае главные моменты системы сил относительно любых центров приведения геометрически равны.

Так как силы R и R образуют уравновешенную систему сил, то согласно аксиоме 2 она может быть отброшена. Тогда получаем, что

исходная система сил приводится к равнодействующей R R , линия действия которой проходит через точку О1, находящуюся в

перпендикулярной вектору МО плоскости и отстоящую от центра приведения О на расстоянии ОО1 d МО / R .

MО

согласно аксиоме 2 она может быть отброшена. Тогда получаем, что

исходная система сил приводится к равнодействующей R R , линия действия которой проходит через точку О1, находящуюся в

перпендикулярной ему плоскости (рис. 8.5, б).

Совокупность главного вектора R и пары сил F, F с моментом

МО , лежащей в плоскости перпендикулярной линии действия силы R , называется силовым винтом, или динамой. Прямая, по которой направлены векторы R и МО , называется осью динамы.

Следует отметить, что динама не допускает дальнейшего упрощения. Действительно, сложив в точке О силы R и F , найдем вектор Q R F ,

который лежит в плоскости перпендикулярной силе F . Поскольку силы Q и F направлены по скрещивающимся прямым, то их нельзя сложить (рис. 8.5, в).

отброшена.

из центра О перенести в центр О1.

Тогда получаем, что исходная система сил приводится к главному вектору R R , линия действия которого проходит через точку О1, и к паре

система сил приводится к динаме, ось которой проходит через точку О1 на

6). R 0, МО 0.

В этом случае на абсолютно твердое тело действует уравновешенная система сил. Следовательно, тело будет находиться в равновесии.

Уравнения равновесия для пространственной системы сил

В (7.17) было установлено, что для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент относительно любого центра для этой системы сил были равны нулю:

Найдем вытекающие из (8.16) аналитические условия равновесия для пространственной системы сил.

1. Произвольная пространственная система сил. Пусть абсолютное твердое тело находится в равновесии под действием произвольной пространственной системы сил (рис. 8.7). Условия (8.16) означают, что при

равновесии проекции векторов R и МО на оси декартовой системы координат Охуz должны быть равны нулю, т. е.

С учетом (5.8) и (8.13) уравнения (8.17) запишем в виде шести скалярных уравнений равновесия: