u_lectures

Тогда обобщенная потенциальная сила равна

где использовалось (24.7) и свойство симметрии обобщенных коэффициентов жесткости cij cji .

Рассмотрим определение обобщенной силы сопротивления QmR . Пусть

на точки механической системы действуют силы линейно-вязкого сопротивления, т. е. сопротивления пропорционального первым степеням их скоростей:

что соответствует малым скоростям.

Согласно определению (23.4) для обобщенной силы найдем выражение для обобщенной силы сопротивления QmR :

где введена диссипативная функция Рэлея R 1 n bкVк2.

2 к 1

Для склярономной системы в потенциальном стационарном поле диссипативная функция Рэлея может быть выражена через полную энергию Е = Т + П механической системы в виде равенства

dEdt 2R ,

которое означает, что удвоенная функция Рэлея равна скорости убывания полной энергии в диссипативной системе.

По аналогии с кинетической энергией Т системы выразив функцию Рэлея R через обобщенные скорости, разложив ее в ряд в окрестности положения равновесия и отбросив члены выше второго порядка малости, получим

коэффициентами сопротивления, которые ниже будем обозначать bij .

Подставляя (24.15) в (24.14), получим выражение для обобщенной силы сопротивления QmR , входящее в линеаризованное уравнение Лагранжа

(24.1), аналогичное (24.6)

происхождения, описываемые заданными функциями времени и не зависящие от движения системы.

Обобщенная возмущающая сила Qm (t) определяется по формуле

где δAm (t) возможная работа возмущающих сил системы на возможном перемещении системы при δqm 0 .

В этом параграфе при определении обобщенных возмущающих сил Qm (t) ограничимся случаем, когда на механическую систему действуют

только гармонические возмущения. Тогда обобщенные возмущающие силы изменяются во времени по закону

т. е. силы Qm (t) имеют одинаковые частоты р, но различные достаточно малые амплитуды Hm и начальные фазы δm .

С учетом (24.8), (24.9), (24.12), (24.16) и (24.18) линеаризованное уравнение Лагранжа (24.1) принимает вид

или

j 1

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (24.19) можно представить в векторно-матричной форме

В зависимости от действующих на механическую систему сил различают три вида колебательных движений:

1)собственные (гармонические) колебания, происходящие под действием только потенциальных (восстанавливающих) сил,

2)затухающие колебания, происходящие под действием потенциальных сил и сил линейно-вязкого сопротивления среды,

3)вынужденные колебания, когда кроме потенциальных сил и сил сопротивления среды, действуют возмущающие силы, зависящие от времени.

Свободные колебания механической системы с одной степенью свободы

При изучении данного вида колебаний будем исходить из уравнения Лагранжа второго рода (24.1), которое при S = 1 имеет вид

В этом случае кинетическая энергия Т (24.5) системы определяется зависимостью

T12 аq&2 ,

апотенциальная энергия (24.11)

П12 сq2 ,

где а и с соответственно обобщенная масса системы и обобщенный коэффициент жесткости.

Обобщенная сила вязкого трения

QR Rq&;

где диссипативная функция рассеяния Рэлея R 12 bq&2 ; b обобщенный

коэффициент вязкости.

Вычислив соответствующие производные, входящие в уравнение (24.1), получим уравнение (24.19) для S = 1 и в отсутствии возмущающих сил:

Уравнение (24.22) называется дифференциальным уравнением свободных колебаний при линейно-вязком сопротивлении.

Если на механическую систему не действуют силы линейно-вязкого сопротивления, то уравнение (24.22) соответствует дифференциальному уравнению свободных колебаний системы:

q(0) q0 ; q&(0) q&0 имеет вид:

После несложных преобразований, решение (24.24) можно записать более наглядной форме:

Здесь амплитуда свободных колебаний А определяется выражением

A q02 ( q&k0 )2 ;

а начальная фаза колебаний

arctg kqq&0 .

0

Зависимости (24.24) и (24.25) описывают свободные гармонические колебания механической системы около положения устойчивого равновесия.

Величина Т, определяемая выражением

является периодом свободных колебаний.

Теперь вернемся к уравнению (24.22). Разделим его на коэффициент а,

В зависимости от соотношений между k и h общее решение уравнения (24.26) имеет разный характер. Если сопротивление мало (k > h), т. е.

значение коэффициента вязкости b будет удовлетворять условию b 2 ac,

то механическая система будет совершать затухающие колебания около положения устойчивого равновесия q 0 . В этом случае решение уравнения

(24.26) следует искать в виде

После преобразования решения (24.27) в форму одночлена, получим

Подставим решение (25.3) в исходные дифференциальные уравнения движения (25.2) и сгруппируем слагаемые:

Эти алгебраические линейные однородные уравнения относительно А и В должны иметь ненулевое решение ( q1 q2 0 соответствует покою, а не движению). Поэтому определитель системы (25.4) должен равняться нулю:

Уравнение (25.5) называется уравнением частот, или вековым уравнением.

Корни k12 и k22 этого уравнения вещественные и положительные. Это доказывается математически, но может быть обосновано и тем, что если

k1 k12 и k2 k22 не будут вещественными, то система дифференциальных

уравнений (25.2) не будет иметь решения вида (25.3), что для механической системы, находящейся в положении устойчивого равновесия не возможно, так как после малых возмущений она должна двигаться около положения q1 q2 0 .

Каждому корню k1 и k2 будет отвечать свое частное решение (25.3), причем каждой частоте k1 и k2 соответствуют свои значения А, В и .

Поэтому, определив из (25.5) k1 и k2 , получим две совокупности частных решений вида (25.3):

Вычислим обобщенные скорости, соответствующие обобщенным координатам (25.9):

Подставляя начальные условия (25.10) в (25.9) и (25.11), получаем:

q10 A1 sin 1 A2 sin 2 ,

Проведенный анализ показывает, что движения системы с двумя степенями свободы около положения устойчивого равновесия слагаются из двух независимых колебаний, которые называются собственными формами

колебаний с соответствующей собственной частотой (k1 или k2). Коэффициенты форм 1 и 2 в совокупности описывают

конфигурацию системы при наибольшем ее отклонении от положения равновесия в процессе свободных колебаний с соответствующей собственной частотой.

Из (25.8) видно, что координаты q1 и q2 в каждом главном колебании изменяются по гармоническому закону, имея одинаковые частоты и фазы: