u_lectures

(2.18) получим выражение для полной производной по времени от вектора r

изменяющегося по направлению с угловой скоростью , но постоянного по модулю:

Отсюда находим выражение полного ускорения точки вращающегося тела

ЛЕКЦИЯ 3

ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ПЛОСКОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Плоскопараллельным (плоским) называется движение твердого тела, все точки которого движутся в плоскостях, параллельных неподвижной

М и М1 описывают тождественные траектории.

Следовательно, изучение плоскопараллельного движения твердого тела сводится к изучению движения плоского сечения S в его плоскости.

Положение плоского сечения S в плоскости Оху (рис. 3.2) определяется положением любого отрезка АМ, проведенного в этом сечении. Для этого необходимо задать координаты хА, уА какой-нибудь точки А, называемой полюсом, и угол , который отрезок АМ образует с осью Ох.

При движении плоской фигуры (сечения S) координаты хА, уА и угол φ будут изменяться во времени:

Следовательно, движение плоской фигуры (сечения S) в ее плоскости можно представить как совокупность поступательного движения вместе с полюсом и вращательного движения вокруг этого полюса. Подчеркнем, что

угловая скорость ω и угловое ускорение ε при плоскопараллельном движении тела от выбора полюса не зависят.

По заданным уравнениям плоского движения тела (3.1) можно найти скорость и ускорение полюса А, а также угловую скорость и угловое ускорение тела по формулам:

Угловая скорость ω и угловое ускорение ε изображаются дуговыми стрелками

(рис. 3.3).

Скорости точек плоской фигуры

Скорость любой точки тела, совершающего плоскопараллельное движение, определяется по теореме о скоростях точек плоской фигуры:

скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса.

Доказательство. Пусть в произвольный момент времени t скорость точки А плоской фигуры равна VA , а угловая скорость фигуры ω (рис. 3.3). Приняв точку А за полюс, найдем скорость любой точки М фигуры. Проведем из неподвижной точки О в точки А и М радиус-векторы rA , rM и соединим эти

точки вектором АМ постоянным по модулю ( АМ const , так как тело

абсолютно твердое). Положения точек А и М в любой момент времени t связаны равенством

О х

Рис. 3.3

Здесь VМ ddtrM скорость точки М, VA ddtrA скорость точки А, а вектор

вращательная скорость точки М вокруг полюса А. Вектор V MА по модулю равен

параллелограмма, построенного на векторах VA и V MА как на сторонах (рис. 3.3), и его модуль равен

Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры

Соотношение между величинами скоростей точек А и М плоской фигуры можно найти более простым способом по теореме о проекциях скоростей двух точек фигуры: проекции скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.

(S)

Рис. 3.4

Вычислив производные по времени от левой и правой частей равенства

(3.14), получим

согласно (2.21) касательное ускорение точки М во вращение вокруг полюса

А;

направим перпендикулярно аМАn в направлении ε, (рис. 3.10).

На рис. 3.11 вектор полного ускорения аМ точки М определяется построением многоугольника ускорений (3.18): начало вектора аМ совпадает с началом вектора ускорения полюса аА , а его конец с концом вектора

аМАτ .

ЛЕКЦИЯ 4

СЛОЖНОЕ (СОСТАВНОЕ) ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ Теорема о сложении скоростей

Сложное (составное) движение точки это такое движение, при котором она одновременно участвует в двух или более движениях.

этом движении называются относительной скоростью Vr и относительным

ускорением ar .

Движение тела D и связанного с ним подвижного трехгранника Ахуz относительно неподвижного трехгранника ОХYZ называется переносным движением. Скорость и ускорение точки подвижного тела D, с которой в данный момент времени совпадает точка М, являются для нее переносной

скоростью Vе и переносным ускорением aе .

Движение точки М относительно неподвижной системы координат ОХYZ называется абсолютным движением. Скорость и ускорение точки М относительно неподвижного трехгранника ОХYZ называются абсолютной

скоростью Vа и абсолютным ускорением aа .

Основная задача сложного движения точки заключается в установлении связей между основными кинематическими характеристиками относительного, переносного и абсолютного движений точки.

Связь между относительной, переносной и абсолютной скоростями точки выражается теоремой о сложении скоростей: абсолютная скорость точки при сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Доказательство. Пусть скорость точки А тела D равна VA , а его угловая скорость в данный момент времени ωe . Найдем абсолютную

скорость Va точки М, движущейся относительно тела D. Положения точек А и М относительно неподвижной системы отсчета ОХУZ определяются радиус-векторами rA и rМ соответственно. Положение точки М относительно подвижной системы отсчета Ахуz (тела D) задано радиус-

вектором ρr АМ (рис. 4.2). В каждый момент движения положения точек А и М связаны равенством