u_lectures

вращению, т. е. Mz и d направлены в противоположные стороны. Полная работа силы при повороте тела на угол 1 определяется выражением

Если момент силы относительно оси вращения является постоянной величиной Mz const , то работа определяется по формуле

Следовательно, при действии силы на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела.

6. Работа системы сил. Если на материальную точку В действует система сил F1, F2 , ..., Fn , то полная работа определяется как алгебраическая сумма работ каждой из сил в отдельности:

7. Потенциальные силы. В общем случае при вычислении работы силы по формуле (17.17) необходимо в интеграле перейти к одному переменному, т. е. знать зависимости y f1(x) и z f2 (x) , определяющие

уравнение траектории точки, которая обычно неизвестна. Однако существуют силы, называемые потенциальными, работа которых не зависит от вида траектории движения точки.

Для таких сил введем следующие определения. Силовым полем называется часть пространства, в каждой точке которого на материальную частицу действует определенная сила, зависящая от её положения (координат).

Силовое поле называется потенциальным, если существует функция

материальной точки, а сила F потенциальной силой.

Проекции потенциальной силы на декартовые оси равны взятым с обратным знаком частным производным от потенциальной энергии по соответствующим координатам:

Потенциальное поле может быть нестационарным или стационарным вследствие от того, зависит ли функция П явно от времени t или нет. Для стационарного потенциального поля, подставляя (17.18) в (17.4), находим

В стационарном потенциальном силовом поле элементарная работа силы равна взятому с противоположным знаком полному дифференциалу от потенциальной энергии материальной точки.

Полная работа потенциальной силы F на перемещении материальной точки из положения В0(х0,у0,z0) в положение В1(х1,у1,z1)

где П0(х0, у0, z0), и П1(х1, у1, z1) значения потенциальной энергии П частицы в начальном В и конечном В1 положениях соответственно.

Работа потенциальной силы равна разности значений потенциальной энергии материальной точки в начальном и конечном ее положениях и от вида траектории движения не зависит.

Из (17.20) следует, что работа потенциальной силы по любому замкнутому контуру равна нулю, так как в этом случае значения потенциальной энергии в начальном и конечном положениях будут одинаковыми. Потенциальными силами являются силы тяжести, упругости, тяготения.

Из (17.19) следует, что функция П определена с точностью до аддитивной постоянной, т. е.

При вычислении кинетической энергии часто пользуются теоремой Кёнига: кинетическая энергия системы в абсолютном движении равна сумме кинетической энергии, которую имела бы материальная точка расположенная в центре масс системы и имеющая массу, равную массе системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс:

материальной точки по отношению к центру масс С системы.

Вычислим кинетическую энергию твердого тела при различных видах его движения.

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс: Vк VC . Поэтому

из (18.2) получаем

Следовательно, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости его центра масс.

При вращении тела вокруг неподвижной оси Oz (рис. 18.1) скорость любой его к-й точки Vк ω hкz , где ω угловая скорость тела, hкz

кратчайшее расстояние от точки до оси вращения Oz. С учетом этого формула (18.2) принимает вид

где dAке иdAкi элементарные работы соответственно внешних и внутренних

сил, действующих на к-ю точку системы. Складывая n уравнений (18.11), получим

энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних сил, действующих на систему.

Если обе части равенства (18.12) проинтегрировать в пределах, соответствующих перемещению системы из начального положения с кинетической энергией Т0 в конечное положение, в котором кинетическая энергия равна Т1, то получим уравнение

в интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе на этом перемещении.

В случае неизменяемой системы (абсолютно твердое тело), вследствие выполнения теоремы (3.9), сумма работ внутренних сил равна нулю:

n

Aкi 0 . Сумма работ внутренних сил натяжения гибкой нерастяжимой

к 1

нити, связывающей тела системы, также равна нулю. В этих случаях выражение (18.13) принимает более простой вид

к 1

Следовательно, для неизменяемой системы в правую часть (18.14) входит только работа внешних сил, действующих на систему. Данное обстоятельство позволяет исключить из рассмотрения внутренние силы,

которые обычно неизвестны, что значительно упрощает решение практических задач.

Для одной материальной точки теорему (18.14) можно записать в виде

и угловых скоростей тел по заданному перемещению механической системы. Рассмотрим случай, когда система движется в стационарном

потенциальном силовом поле.

Согласно (17.22) потенциальная энергия П механической системы в данном ее положении равна работе, которую произведут силы поля при перемещении точек системы из данного положения в нулевое:

Если на систему действует несколько полей, то для каждого поля можно выбрать свою «нулевую точку» О отсчета.

Пусть все действующие на систему внешние и внутренние силы являются потенциальными. Тогда с учетом (17.20) работа всех сил при перемещении системы из начального в конечное положение определяется выражением:

где П0 и П1 значения потенциальной энергии системы соответственно в начальном и конечном положениях. Подставляя (18.17) в (18.13), получим

где Е Т П полная механическая энергия системы.

Равенство (18.18) выражает закон сохранения механической энергии системы: при движении системы под действием потенциальных сил полная механическая энергия системы в каждом ее положении есть величина постоянная. Следовательно, Е является интегралом движения. Механическая

система, для которой выполняется закон сохранения механической энергии

(18.18) называется консервативной системой.

При движении механической системы в реальных условиях наличие сил сопротивления движению приводит к уменьшению полной механической энергии, т. е. движение все время сопровождается рассеиванием (диссипацией) энергии. Силы (сопротивления движению, трения), приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными силами, а механическая система, на которую действуют такие силы диссипативной системой. Потерянная системой за счет работы сил сопротивления часть механической энергии переходит в другие виды энергии. При этом полная энергия всех видов (механическая, тепловая, химическая и т. д.) остается постоянной.

ЛЕКЦИЯ 19 ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Применим общие теоремы динамики к получению дифференциальных уравнений движения твердого тела. Рассмотрим простейшие случаи движения твердого тела.

1. Поступательное движение твердого тела. Из теоремы о движении центра масс (15.5) имеем

Уравнения (19.1) называются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела в декартовых координатах.

2. Вращательное движение твердого тела. Рассмотрим твердое тело,

вращающееся вокруг неподвижной оси z, под действием сил F1е, F2e , ..., Fne

(рис. 19.1). Кроме этих сил на тело действуют реакции RA подпятника А и RB

подшипника В.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения z тела (16.15):

т. е. произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловое ускорение равно вращающему моменту. Из сравнения (19.5) с основ-

ным законом динамики (10.1) можно заключить, что момент инерции тела относительно оси его вращения играет такую же роль, как и масса точки при

ее движении. Следовательно, Iz является мерой инертности тела при

вращательном движении.

Из уравнения (19.4) можно:

1) зная закон вращения (t) , найти Mez ;