- •1. Элементы дифференциальной геометрии
- •1.1. Векторные функции скалярного аргумента
- •1.2. Понятие кривой
- •1.3. Кривизна кривой
- •1.4. Понятие поверхности
- •1.5. Квадратичные формырегулярнойповерхности
- •1.6. Нормальная кривизна регулярнойповерхности
- •2. Формообразование поверхностей резанием
- •2.1. Исходная инструментальная поверхность
- •2.2. Способы образования исходных инструментальных поверхностей
- •2.3. Аналитический способ определения огибающей семейства плоских кривых
- •2.4. Аналитический способ определения огибающей семейства поверхностей
- •2.5. Кинематический способ определения огибающих семейства плоских кривых и семейства поверхностей
- •2.6. Способ профильных нормалей
- •2.7. Преобразования координат
- •2.8. Определение огибающей при прямолинейно-поступательном движении поверхности
- •2.9. Определение огибающей при винтовом движении поверхности
- •2.10. Формообразование прямолинейного профиля шлицев шлицевого вала
- •2.10.1. Геометрические параметры шлицевого вала с прямолинейным профилем шлицев
- •2.10.2.Формообразование прямолинейного профиля шлицев шлицевого вала червячной фрезой
- •2.10.3.Формообразование прямолинейного профиля шлицев шлицевого вала долбяком
- •2.11. Формообразование эвольвентного профиля
- •2.11.1.Геометрические параметры эвольвенты
- •2.11.2.Геометрические параметры цилиндрическогоэвольвентногоколеса с внешними зубьями
- •2.11.3.Формообразованиеэвольвентногопрофиля рейкой
- •2.11.4. Формообразованиеэвольвентного профиля долбяком
- •2.11.5. Интерференция цилиндрических эвольвентных колес внешнего зацепления
- •2.12. Формообразование винтовых поверхностей дисковыми и пальцевыми фрезами
- •3. Условия формообразования поверхностей резанием
- •3.1. Условие существования исходной инструментальной поверхности
- •3.2. Условие соприкосновения исходной инструментальной поверхности с поверхностью детали без внедрения
1.6. Нормальная кривизна регулярнойповерхности
Если пересечь регулярную поверхность плоскостью, проходящей через нормаль в заданной точке, то в достаточно малой окрестности точки получим плоскую регулярную кривую пересечения. Кривизна этой кривой пересечения называется нормальной кривизной регулярной поверхности в заданной точке в направлении кривой пересечения.
Теорема Менье: произведение кривизны регулярной кривой регулярной поверхности в заданной точке на косинус угла между главной нормалью кривой и нормалью поверхности есть нормальная кривизна поверхности в направлении кривой:
Доказательство.
Пусть
‑этонормальповерхности, а
‑ это главная нормаль кривой, тогда в соответствии с первой формулой Френе имеем:
Приэтом
С другой стороны
Правая часть зависит только от направления кривой и является кривизной соответствующего нормального сечения. Действительно, если
т. е. векторы
коллинеарны, то
Теорема доказана.
Следствие из теоремы:
Для изучения регулярной поверхности в малой окрестности заданной точки совместим с точкой начало отсчета декартовой системы координат. Ось
направим по нормали поверхности, а оси
расположим в касательной плоскости.
При этом саму поверхность в заданной малой окрестности представим графиком
Разложим эту функцию в ряд Тейлора, пренебрегая бесконечно малой частью разложения:
График получившейся функции представляет собой параболоид, который называется соприкасающимся в заданной точке.
Надлежащим поворотом осей
вокруг оси
приводим уравнение соприкасающегося параболоида к виду
При этом направления осей
называются главными направлениями в заданной точке.
Нормальные сечения в этих направлениях называются главными нормальными сечениями, а кривизны этих сечений – главными нормальными кривизнами. Главные нормальные сечения представляют собой параболы с кривизнами
равными соответствующим главным нормальным кривизнам.
Если
то главная нормаль параболы совпадает с нормалью соприкасающегося параболоида, если же
то угол между этими нормалями равен 180°.
Теорема Эйлера: нормальная кривизна регулярной поверхности в заданной точке в направлении, составляющем угол
с первым главным направлением, равна
Доказательство.
Определяем коэффициенты первой и второй квадратичных форм:
Отсюда
Проведем нормальное сечение, составляющее с первым главным направлением угол
Приэтом
Теорема доказана.
Теорема: главные направления в заданной точке регулярной поверхности – это те направления, в которых нормальные кривизны достигают экстремумов.
Доказательство.
Пусть
Тогда
Отсюда
Ясно, что наибольшее значение
достигается при
а наименьшее при
следовательно экстремумы нормальных кривизн достигаются в главных направлениях и они равны соответственно
Если
то
В этом случае все направления главные.
Теорема доказана.
Следствия из теоремы:
1) если в заданной точке существуют два различных главных направления, то в такой точке главные нормальные кривизны не равны между собой;
2) если в заданной точке все направления главные, то в такой точке главные нормальные кривизны равны между собой.