10.2. Прогиб и поворот сечения балки

При действии внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей инерции балки, наблюдается искривление её оси в той же плоскости. Происходит так называемый плоский изгиб (рис. 10.2).

На рисунке изображена ось балки АВ длиной l, защемленной одним концом и нагруженной на другом конце сосредоточенной силой F. При этом центр тяжести О перемещается в точку О₁.

Перемещение ОО₁ центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки называется прогибом балки (f) в этом сечении.

Угол , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения .

Горизонтальная проекция расстояния между опорами (или концами изогнутой балки) называется пролетом l.

Для рассматриваемого случая в точке В при х = l прогиб балки f весом Р под действием силы F равен

, (10.17)

а наибольший угол поворота сечения Q_В в точке В

. (10.18)

Знак минус означает, что прогиб f направлен в сторону, противоположную оси у, а угол  направлен по часовой стрелке.

При F=0 (отсутствие внешней силы)

, (10.19)

. (10.20)

При РF (весом балки пренебрегаем)

, (10.21)

. (10.22)

10.3. Прогиб балки на двух опорах

Рассмотрим балку (рис 10.3), свободно лежащей на двух опорах и загруженной на всем пролете l сплошной нагрузкой Р. Под Р будем понимать как собственный вес балки Р₁, так и внешнюю силу F (Р = Р₁ + F).

Опорные реакцииF₁ и F₂ компенсируются величиной Р

.

Наибольшее значение прогиба f_max имеет место в середине балки и равно, как показано в курсе «Сопротивление материалов»

. (10.23)

Относительный прогиб балки _і равен

. (10.24)

С учетом (10.23) _і по модулю равно

. (10.25)

Согласно этому выражению, чем больше нагрузка Р, тем больше относительный прогиб _і.

Для балки с прямоугольным сечением (10.11),. Тогда из (10.25) имеем

. (10.26)

Обозначив (10.27)

получим закон Гука при упругом прогибе балки в виде

, (10.28)

где I – модуль прогиба (или изгиба). Он зависит от формы и размера балки и материала балки (Е).

- называется коэффициент изгиба.

Потенциальная энергия упругой изгибной деформации имеет вид

, (10.29)

а плотность энергии . (10.29)

10.4. Кручение материалов. Деформация кручения

Деформация кручения сводится к деформации сдвига (рис. 10.4).

Рассмотрим деформацию кручения тела цилиндрической формы (см. рисунок) длиной l, радиусом r под действием пары тангенциальных сил F_, приложенных к основанию. Верхнее основание считается защемленным.

Под действием сил F_ точка В смещается в точку С. В элементе цилиндра АВС имеет место деформация сдвига. При этом относительный сдвиг равен

, (10.30)

а тангенциальное напряжение в нижнем основании цилиндра

M

. (10.31)

Рис. 10.4. По закону Гука для упругой сдвиговой деформации

имеем

. (10.32)

Величину х вычислим из угла кручения  радиуса вектора вокруг оси ОО₁. Из треугольника ОВС для малых углов  имеем

или . (10.33)

Подставив х из (32) в (31) и вводя понятие момента силы получим закон Гука для упругой деформации кручения

, (10.34)

где - модуль кручения.

Потенциальная энергия кручения равна

. (10.35)