4. Построение моделей систем

На основании изложенного в предыдущих двух параграфах решают­ся задачи изучения структуры системы, выявления параметров, харак­теризующих функционирование системы и влияющих на эффективность и качество ее работы, анализа информационных потоков, циркулирую­щих в системе. Данные этапы являются предварительными этапами работы по построению модели системы; цель этих этапов - выявление основных структурных элементов, динамических и информационных компонентов системы. После выяснения этих вопросов переходят к решению основной задачи - построению модели системы.

Моделью называют некий объект, который в определенных усло­виях может заменять оригинал, воспроизводя интересующие свойства и характеристики оригинала. Модели бывают материальные и абстрак­тные. Разновидностью абстрактных моделей являются математичес­кие модели. Они и будут объектом дальнейшего рассмотрения.

Построение математической моделисистемы есть процесс фор­мализации определенных сторон существования, жизнедеятельности системы, ее поведения с точки зрения конкретной решаемой задачи. Различают статические и динамические модели. Статическая модель отражает конкретное состояние объекта. Примером статической мо­дели является структурная схема системы. Динамическая модель опи­сывает процесс изменения состояний системы. При решении задач системного анализа цели исследования заключаются в изучении харак­теристик системы, прогнозировании путей развития системы, сравне­нии вариантов развития и т.п., т.е. интересуются, в основном, вопроса­ми динамического поведения систем. Следовательно, можно сказать, что динамические модели находят более широкое применение, чем статические.

Следующий вопрос, на котором следует остановиться при обсуж­дении подходов к построению математической модели, - это целевое предназначение модели. Перед тем как приступать к созданию мате­матической модели необходимо уяснить существо решаемой задачи, для которой создается данная модель. Ошибочным будет разработка

73

модели системы, описывающая все стороны, все аспекты существо­вания и развития системы. Такая модель будет излишне громоздка и скорее всего не пригодна для проведения каких-либо серьезных иссле­дований. Модель всегда должна быть конкретной, нацеленной на реше­ние поставленной задачи. Для оценки характеристик надежности сис­темы необходимо строить модель надежностную, для решения задач прогнозирования развития производственных процессов - производствен­ную модель, для решения экономических задач - экономическую мо­дель. Если перед системными аналитиками ставится задача исследо­вания ряда аспектов, то целесообразнее создавать несколько моделей, а не пытаться разрабатывать одну всеобъемлющую модель. Правда, в этом случае необходимо, чтобы разные модели, отражающие различ­ные аспекты существования и развития системы, были взаимосвязаны по входным и выходным параметрам и характеристикам системы. Та­кая взаимосвязь достигается путем проведения итеративных расчетов на моделях, т.е. осуществляется последовательный расчет моделей. Te параметры, которые известны до проведения расчетов, задаются в качестве входных в каждой из моделей, где их присутствие необходи­мо. Недостающие параметры получают расчетным путем и последо­вательно включают в моделиот первой к последующимпо мере про­ведения расчетов. На начальном этапе эти параметры заменяют оцен­ками, принадлежащими области определения параметра. По мере по­лучения результатов модели должны уточняться и процесс расчетов по уточненным моделям должен повторяться. В этом заключается ите­ративность процесса. Расчеты прекращаются, когда исследователь отмечает сходимость процессов уточнения параметров.

Рассмотрим теперь типы математических моделей. Выделяют два класса моделей: аналитические и имитационные. В аналитических мо­делях поведение сложной системы записывается в виде некоторых функциональных соотношений или логических условий. Наиболее пол­ное исследование удается провести в том случае, когда получены яв­ные зависимости, связывающие искомые величины с параметрами сложной системы и начальными условиями ее изучения. Однако это удается выполнить только для сравнительно простых систем. Для слож­ных систем исследователю приходится идти на упрощение реальных яв­лений, дающее возможность описать их поведение и представить вза­имодействия между компонентами сложной системы. Это позволяет изучить хотя бы некоторые общие свойства сложной системы, напри­мер, оценить устойчивость системы, характеристики надежности и т.п. Для построения математических моделей имеется мощный математи­ческий аппарат (функциональный анализ, исследование операций, тео­рия вероятностей, математическая статистика, теория массового об­служивания и т.д.). Наличие математического аппарата и относитель­ная быстрота и легкость получения информации о поведении сложной системы способствовало повсеместному и успешному распростране­нию аналитических моделей при анализе характеристик сложных сис­тем.

Когда явления в сложной системе настолько сложны и многообраз­ны, что аналитическая модель становится слишком грубым приближе­нием к действительности, системный аналитик вынужден использовать имитационное моделирование. В имитационной модели поведение ком­понентов сложной системы описывается набором алгоритмов, которые затем реализуют ситуации, возникающие в реальной системе. Моде­лирующие алгоритмы позволяют по исходным данным, содержащим сведения о начальном состоянии сложной системы, и фактическим зна­чениям параметров системы отобразить реальные явления в системе и получить сведения о возможном поведениисложной системыдля данной конкретной ситуации. На основании этой информация аналитик может принять соответствующие решения. Отмечается, что пред­сказательные возможности имитационного моделирования значи­тельно меньше, чем у аналитических моделей.

Вопрос о том, какой модели следует отдать предпочтение при про­ведении исследований характеристик системы, не является очевидным. Аналитическая модель имеет некоторые преимущества по сравнению с имитационной моделью. Во-первых, аналитическая модель дает ре­шение поставленной задачи в законченной форме. Во-вторых, приме­нение аналитической модели обеспечивает глубину анализа. С помощью аналитических моделей можно проводить исследование характеристик в некоторой области определения параметров, в которой модель адек­ватна описываемым явлениям или процессам. Применение аналитичес­ких моделей позволяет получить решение в виде функциональной зави­симости исследуемых характеристик от параметров модели. Имита­ционная модель за один цикл ее применения производит расчет харак­теристик в одной точке. Для получения функциональной зависимости выходной характеристики от параметров модели необходимо провести многократные расчеты на имитационной модели.

С другой стороны, построить аналитическую модель для сложной системы очень трудно. При таком построении требуется принимать существенные упрощающие предположения, которые могут привести к тому, что построенная модель будет неадекватна описываемым про­цессам или явлениям. В этом смысле имитационные модели имеют преимущества, так как они могут быть построены в самых общих пред­положениях о функционировании системы. Следовательно, имитацион­ные модели могут быть более адекватны. К недостаткам аналитичес­ких моделей относится также и то, что простая модификация проекта или изменение предположений о функционировании элементов структу­ры может потребовать коренной перестройки модели, в то время как у имитационной модели потребуется изменить лишь входную информа­цию.

Рассмотрим простой пример. Пусть необходимо оценить харак­теристики надежности системы, структура которой известна. Если про­водить расчеты в предположении об отсутствии восстановительных мероприятий после отказов элементов, то аналитическая модель для такого расчета строится с использованием логико-вероятностного под­хода. Если изменить предположения и считать, что после отказа эле­ментов осуществляется восстановление и потоки отказов и восстанов­лений пуассоновские, то для расчета надежности используются урав­нения Колмогорова-Чепмена. Если же будем предполагать восстанов­ление элементов, но потоки отказов или восстановлений описывать не пуассоновским, а каким-нибудь другим распределением, то для пост­роения моделей расчета надежности необходимо использовать аппарат теории восстановления, т.е. для решения одной и той же задачи при смене предположений о характере функционирования системы для по­строения аналитической модели приходится полностью менять теоре­тический аппарат. В имитационной модели в этом случае меняются лишь входные данные. Таким образом, на основании сказанного нельзя однозначно решить, какая модель лучше. Обе модели являются полез­ным инструментом исследования и об их соответствии решаемым про­блемам надо судить в контексте конкретного применения. В задачах системного анализа целесообразно проводить комбинированные иссле­дования, использующие как аналитические, так и имитационные моде­ли.

5. Проверка адекватности моделей, анализ неопределенности и чувствительности

После того как модель построена, необходимо удостовериться в ее качестве. С этой целью выполняют ряд операций, а именно, - проверку адекватности модели процессу, объекту или явлению, для которых она построена, проверку непротиворечивости модели, неопределенности, чувствительности, реалистичности и работоспособности. Рассмотрим существо каждой из проводимых работ.

Проверка адекватности моделей

Важный вопрос, который интересует исследователя после того, как построена модель исследуемого явления или процесса, - это проверка адекватности модели. Проверить адекватность модели - это значит установить, насколько хорошо модель описывает реальные процессы, происходящие в системе, насколько качественно она будет прогнозиро­вать развитие данных процессов. Проверка адекватности модели про­водится на основании некоторой экспериментальной информации, полу­ченной на этапе функционирования системы или при проведении специ­ального эксперимента, в ходе которого наблюдаются интересующие системного аналитика процессы. Проверка адекватности модели зак­лючается в доказательстве факта, что точность результатов, получен­ных по модели, будет не хуже точности расчетов, произведенных на ос­новании экспериментальных данных. Если иметь в виду целевое пред­назначение моделируемого объекта, то под адекватностью модели нужно понимать степень ее соответствия этому предназначению. В качестве примера, иллюстрирующего необходимость решения вопроса об адекватном описании результатов наблюдений соответствующими моделями, рассмотрим регрессионную модель, с помощью которой описали поведение некоторого процесса. Рассмотрим два рисунка (рис. 2.5, аи6) с одинаковым расположением экспериментальных то­чек и, следовательно, одинаковым разбросом относительно линии рег­рессии. Эти рисунки различаются тем, что модели, изображенные на них, построены на основании разного количества экспериментальных данных. В связи с этим имеем различный средний разброс в экспери-

Рис. 2.5. Проверка адекватности модели:а -объем экспериментальных данных мал;б -объем экспериментальных данных

велик

ментальных точках факторного пространства. Разброс в точках пока­зан отрезками прямых, численно равных величине доверительного ин­тервала, построенного для функции отклика.

Линейная модель регрессии адекватна в первом случае (рис. 2.5.

а),так как разброс в точках того же порядка, что и разброс относительно линии регрессии. Во втором случае (рис.2.5. б)не все отрезки прямых, численно равных величине доверительного интервала, накрывают ли­нию регрессии. Следовательно, в этом случае требуется более слож­ная модель, чтобы точность ее предсказания была сравнима с точно­стью экспериментальных данных.

В первом случае модель обладает удовлетворительными точност­ными характеристиками по сравнению с экспериментальной информа­цией, на основании которой она построена. Во втором случае точность предсказания модели хуже точности экспериментальных данных. Та­ким образом, модель адекватна экспериментальным данным только в первом случае.

Непротиворечивость модели

Целью данного этапа является проверка предположения: дает ли модель не противоречащие логике результаты при вариации величин важнейших параметров, особенно в тех случаях, когда их значения близ­ки к экстремальным. Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо про­анализировать характер реакции модели на изменения соответствую­щих входных параметров. Для проверки непротиворечивости модели, в первую очередь, анализируют, какие результаты дает модель при нуле­вых значениях входных параметров, в том числе в нулевой момент вре­мени, далее исследуется состояние модели на границе области опре­деления входных параметров, например, в точке бесконечность, если она входит в область определения.

Можно привести такой пример. При решении задачи анализа надеж­ности сложной системы вычисляют значение коэффициента готовнос­ти. Асимптотические модели для описания коэффициента готовности хорошо известны, они приведены в соответствующей литературе, на­пример в [22]. В случае расчета коэффициента готовности системы в моменты времени, сравнимые с наработками элементов системы до отказа, приходится строить неасимптотические модели. Они гораздо сложнее асимптотических. Для проверки непротиворечивости неасим­птотических моделей можно использовать известные результаты, по­лученные для описания асимптотического поведения коэффициента го­товности. Для этого необходимо в неасимптотической модели задать время, равное бесконечности, и провести сравнение результатов расчета с асимптотической моделью. Если результаты совпали, это может слу­жить подтверждением того, что модель дает результаты, не противо­речащие известным ранее.

Анализ неопределенности модели

Поскольку модель системы только стремится отобразить реаль­ность, неизбежно существование упрощений, допущений и идеализаций сложных процессов и явлений, происходящих в системе. Следствием этих упрощений и идеализаций будут неопределенности в итоговых ре­зультатах, получаемых в процессе применения модели. Природа воз­никновения неопределенностей многогранна. Выделяют следующие источники неопределенностей в соответствующих моделях: обусловлен­ные неполнотой моделей, неадекватностью моделей и неопределенно­стью исходных параметров.

Неопределенности, обусловленные неполнотой моделей,возника­ют из-за того, что при построении моделей системный аналитик не пре­дусмотрел некоторые стороны развития моделируемых процессов, про­исходящих в системе. Иными словами, при разработке модели систе­мы не были учтены отдельные особенности существования и развития систем. Это может быть сделано сознательно, когда аналитик счита­ет, что данные особенности системы не играют большой роли и ими можно пренебречь. Иногда это происходит в результате недостаточной проработанности вопросов, связанных с изучением структуры и дина­мического поведения систем. В результате имеем недостаток полно­ты модели, который приводит к неопределенности в результатах и вы­водах и который трудно проанализировать и определить количественно.

Второй тип неопределенностей связан с неадекватностью моде­лей.Даже в тех случаях, когда в модели учтены все особенности су­ществования и развития систем, последовательность событий и логи­ческие особенности функционирования систем, заложенные в модель, не точно отражают реальность. Существуют неопределенности, выз­ванные неадекватностью концептуальных и математических моделей, числовой аппроксимацией, ошибками в вычислительных программах и ограничениями вычислительного процесса. Эти неопределенности рас­сматриваются как часть анализа неопределенности моделей; для оцен­ки их относительной значимости проводятся исследования чувствитель­ности результатов моделирования.

Третий тип неопределенностей - неопределенность исходных па­раметров.Параметры различных моделей точно не известны. Причи­ной этого является недостаточность данных, используемых при статис­тическом оценивании входных параметров, невозможность точного описа­ния поведения персонала, работающего в составе анализируемой систе­мы, наличие допущений, принятых при составлении модели. Эта третья категория неопределенностей при современном состоянии методологии может быть наиболее успешно охарактеризована численно.

Анализ чувствительности модели

Анализом чувствительности модели называют процедуру оценки влияния допусков входных параметров на ее выходные характеристи­ки. Проводят анализ чувствительности следующим образом: задают отклонение входного параметра в правую и левую стороны от его сред­него значения и фиксируют, как при этом изменяются выходные значе­ния характеристик модели. В качестве величины отклонения обычно принимают среднее квадратическое отклонение. Практическая сторо­на анализа чувствительности модели к изменению входных парамет­ров состоит в том, что устанавливается степень зависимости выход­ных параметров от входных характеристик. Эту степень влияния затем можно проранжироватьи выявить наиболее значимые входные парамет­ры. Если в ходе проверки модели на чувствительность к изменению входных параметров установлено, что ряд параметров приводят к не­значительным изменениям выходных характеристик, сравнимых с точ­ностью проведения расчетов на модели, то данные входные парамет­ры можно вывести из модели. Таким образом, анализ чувствительнос­ти модели может привести к упрощению модели и исключениюиз нее незначимых факторов.

Реалистичность

Установить реалистичность модели, значит ответить на вопрос: со­ответствует ли модель тем частным случаям, для которых уже име­ются фактические данные. Одним из способов проверки реалистично­сти модели может служить метод прогнозирования назад, т.е. в моде­ли задаются требуемые входные параметры и производится расчет некоторого события, которое уже имело место, или же рассчитывают­ся характеристики системы на время, которое система отработала, и оценки этих характеристик можно получить по реальным данным. Если результаты расчета на модели дают хорошее совпадение с практикой, то можно считать, что модель реалистична.

Работоспособность

Цель анализа работоспособности модели -выяснить, насколько модель практична и удобна в эксплуатации. Во-первых, модель долж­на обеспечивать результат за разумное время. Если модель использу­ется в процессе выработки и принятия решения, то необходимо, чтобы расчеты можно было выполнить в пределах сроков, установленных для подготовки соответствующих решений. Еслиэто условиеневыполня­ется, смысл модели пропадает, так как теряется ее предназначение. Во- вторых, трудозатраты и ресурсы, требуемые для эксплуатации моде­ли, должны укладываться в установленные лимиты машинного време­ни и фонда зарплаты. Должно выполняться условие практической целесо­образности.

Следующий аспект проверки модели связан с анализом допущений и предположений, принятых при построении модели. На этом этапе про­верки работоспособности оценивается качество модели, ее свойства в условиях воздействия реальных внешних возмущений и параметров. Суть данной процедуры состоит в том, чтобы удостовериться, что при составлении модели «не выплеснули ребенка вместе с водой». Приня­тие некоторых допущений и ограничений может привести к тому,чтомодель не будет отражать сути происходящих явлений и процессов. Следует отметить, что эта задача взаимосвязана с задачей проверки адекватности модели.