Глава 3 построение моделей систем 53

3.1.Понятие модели системы 53

3.2.Способы описания систем Модель черного ящика 54

3.3.Анализ и синтез - методы исследования систем 60

Глава 4 ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ - МЕТОД ПРОВЕДЕНИЯ СИСТЕМНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ 67

Глава 5 75

ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ - МЕТОДОЛОГИЯ ОБОСНОВАНИЯ ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ 75

[р,:і=ша'[лр'[м]\ 80

[c]=[Mf[Lfm\ 80

7С, = : : 81

7С, = 81

р. 85

шр = J Ч(к^к 85

°р = J K2Zp(K)^K-Wp2, 85

ZprCO= JJ /, (*,)/2 (f2Vfc1A1 = 86

Глава 6 92

ЭКСПЕРИМЕНТ - СРЕДСТВО ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ 92

Глава 7 110

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ 110

1Lt, 128

Ь, = (в, Ґ 138

мм>.го>=П[ j*-JШГ 152

^,B)= ртам, 168

J p*~m+I(l-p)mdp 173

J pk-m(l-p)mdp 173

т{т'у>’шга«~кг‘щцтг- 207

238

AJ 238

=0=8= - A 277

8^==8 •■• ^8 - *8= •■ 281

Таким образом, рассмотрен метод оценки параметров законов рас­пределения и определения точности в их оценке. Рассмотренные при­меры определения параметров законов распределения имеют важное прикладное значение. Как было указано, экспоненциальное распреде­ление применяется в теории надежности для описания наработок до отказа объектов. Область применения нормального закона распреде­ления еще более широка. Он используется для описания погрешностей, дрейфов параметров, наработок до отказа механических изделий, для которых не удается выделить доминирующей причины, приводящей к отказу, для описания времени обслуживания систем и т.д.

3. Оценка вероятностных показателей систем путем обработки цензурированных данных

Постановка задачи при обработке цензурированных выборок фор­мулируется следующим образом. Пусть имеется выборка объема г = k+v, которая содержит ряд наблюдений за функционированием объек­тов с реализовавшимся признаком T_v T₂,..., T_k (полные наработки), и ряд

(х - mf 2о²

+ !,In

Idx

= 0,

л/2ко j=і 1

наблюдений с нереализовавшимся признаком Т',Т',...,Т'. Пусть извес­тен закон распределения времени до реализации наблюдаемого признака F(9, t). Оценим параметры закона распределения. Функция правдопо­добия для выборки, содержащей цензурированные наработки при цен­зурировании справа, запишется следующим образом:

А₁(Є.О = П(¹-^^е*^гі^,»П/(0'⁷у>- (7.7)

і=і J=і

Для цензурированной выборки при цензурировании слева функция прав­доподобия имеет вид:

ме,о=ПИ^е^'))П/(^е’⁷> (7.8)

(=і J=I

Процедура получения оценок параметров аналогична изложенной в п. 7.2. А именно, необходимо прологарифмировать функцию правдопо­добия, взять от нее производную по искомому параметру и приравнять ее нулю. Например, в случае цензурирования справа решение будет выглядеть следующим образом. Логарифм от функции правдоподобия записывается в виде

*(Є,7>І> / (0,г.) + £ ln(l - F(0, Tl)).

j-i (=1

Возьмем производную от данного выражения по искомому параметру Э/(9,Г) _ у Э1п/(Э,7У) _t у Э1п(1-FCfrff))

Э9 " эе h эе

и приравняем полученное выражение нулю. Если 9 - вектор порядка к, то необходимо взять к частных производных для получения системы уравнений

®₌₀ І.ГЇ эе, • •*’

при решении которой находим эффективные несмещенные оценки па­раметров закона распределения F(Q, t).

Рассмотрим примеры оценивания параметров законов распределе­ния.

Экспоненциальное распределение

Запишем функцию распределения F(K, 0 = 1- exp(-Ai) и плотность распределения/(А,, і) = А-ехр(-Аі) величины t. Пусть требуется опреде-

206

лить оценку интенсивности отказа с учетом полных и цензурированных справа наработок. Функция правдоподобия для данного случая пред­ставления информации имеет вид

l(X,t) = £іп(Я.ехр(-Я.7;))+X^ln (^exP .

і=I J=I

Возьмем производную от функции правдоподобия по параметру X и при­равняем ее нулю:

Ч-ЪЛт’ = 0.

^л і=і у=і

откуда получаем оценку параметра

1^1 т;

1=1 j=i

Точность определения оценки вычисляется по формуле

Ї²

D(X) =

к

Нормальное распределение

Логарифмическая функция правдоподобия для цензурированной справа выборки имеет вид

= -~ (In 271+In о² +

	( 2 > т		f (Т'-т)2 )
ехр	2?	-ехр	2 о2
	V J		^ 1

dl(t,m,a) 1 у¹/,. ч ¹V

Г і (х-т)

2 Л

dx

Параметры закона распределения определяются из системы уравнений

¹ 1 --T=-Jex^p

V27IO о

X =

(Т'-т) 2 а²

(Т'-т) ехр

+ техр

^EJ

¹ Mat^xp

E'

Zjb

T'-m ⁽ ехр

( пГ} 2 а²

т

⁺Ж?^ехр

F' = J-I

^Ь 2V27CG³

Данная система уравнений является трансцендентной, решается чис­ленными методами. В качестве первого приближения при решении си­стемы можно взять следующие оценки:

(Tj-т)3	( (ГГт?)	т3	Ґ тМ
—-—-—ехр 2а4	2 а2 V J	+—-ехр 2а4	2а2 \ /

^{Т! f} (х-ш)^2Л

2 а²

dx

(Т'-т) 2 а²

2 Л

( ² \ т

2а^г

2 Л

D

_ d²l(t,m,o) dm¹

B = ехр

(х - т) 2 а²

	( (Т'-т)2Л		( 2 V т
ехр	2 а2 \	-ехр	2 а2 V Л

C = I-

yfliio □

В;

³

I⁷; I к-ч?

, а?=-*=?

W₁=J=I

к ‘ к

Элементы информационной матрицы определяются в виде

( (Т'-т)2]		г щї
2 а2 V ,	-ехр	2 а2 \

1 АВ'С-С'В

CT²⁺VSiaifC²’

( (Т'-т)2)	т	' т2 '
2 а2 ' >	+ -ехр	2а2 V /

,Т'-т В =-!——

ехр

ехр

г\

dx\

С' =

tW-m)²

_а _ B²Ijt,т,а) к _i=!

Э(с²)² 2a⁴ a⁶ 4v& £Г'

d²l(t,m,a) _п

В этом случае ковариация между параметрами а и а² равна нулю, а дис­персии параметров определяются из выражений

D[m] = ——;£>[a²] = ——•

Аналогичные действия выполняются в случае других законов рас­пределения случайной величины, отражающей реализацию наблюдае­мого признака. Приведенные примеры иллюстрируют тот факт, что учет цензурированной информации приводит к существенному усложнению процедуры вычисления параметров рассматриваемого закона распре­деления. Ho следует отметить, что сложность решения задачи оцени­вания компенсируется точностью оценок, которую в итоге удается до­стичь за счет учета цензурированной информации.

3. Оценивание показателей систем по группированным данным

В ходе проведения наблюдений за функционированием систем в ряде случаев исследователь не имеет возможности получать информацию

о реализовавшихся значениях наблюдаемой случайной величины. Из­вестными бывают лишь интервалы значений, в которые попал тот или иной результат наблюдения. Наиболее просто и ясно данную ситуацию иллюстрирует пример с организацией и проведением исследований по определению характеристик надежности элементов и систем.

14—4355209

Так при решении задачи анализа надежности реально функциониру­ющих объектов осуществляется сбор информации о поведении объек­тов в процессе их эксплуатации, в частности фиксируются отказы и соответственно наработки объектов до отказа. Однако в большинстве случаев доступной является лишь информация о том, что отказы про­изошли в некотором интервале времени. Это связано с тем, что отказы устройств фиксируются не мгновенно, а в некоторые, наперед сплани­рованные моменты контроля исправности функционирования оборудо­вания или даже в моменты проведения плановых профилактических работ. Практически мгновенно отказы выявляются у незначительной группы устройств, имеющих встроенный контроль. В остальных случа­ях у исследователя имеется информация о том, что отказ произошел в интервале времени между предыдущим и последующим контролем либо в интервале между очередными профилактиками.

Итак, пусть в системе спланированы моменты контроля исправно­сти функ-ционирования оборудования S₁, S₂,---, S_fc, где 0 < S,< ^<.. .< S_k< < В моменты контроля выявляется количество отказавших в интер­вале времени [£,, _р S,] устройств, т.е. наблюдаемыми случайными ве­личинами являются целые неотрицательные числа, характеризующие количество отказавших объектов на рассматриваемом интервале N₁, JV₂, ..., JV^r_tfl где N. - число устройств, отказавших в интервале [S_{i [(} S,], ³~-

Данные, представленные таким образом, называются группирован­ными данными, которые являются частным случаем цензурированных данных, причем этот случай называется цензурированием интервалом.

Функция правдоподобия в данном случае имеет вид [39]

*+1

UN₁,N₂,...,N_M,Q) = (7.9)

Следует обратить особое внимание на граничные точки области оп­ределения параметра S₁- В левой крайней точке = 0 функция распре­деления тождественно равна нулю: F(G_j^₀), поэтому первый член сомно­жителя (7.9) имеет вид

[F(Q_tS₁)-F(9,S₀ )f = [Е(Є,5,)Ґ\

В правой крайней точке S_itfl = «> функция распределения тождественно равна единице F(O₅S_jtfl) = 1, поэтому последний член произведения (7.9) равен

[F(0, S_tfl) - F (9, S₁ )]*“ = [I - F (0, S* )f “.

Интервал [S*, °°] по своему смыслу представляет собой интервал цен­зурирования справа. В него попадают те элементы, которые не отказа­ли до последнего момента контроля S_jfc- Предполагается, что далее на­блюдения не проводились, и элементы, которые не отказали до момен­та S_t, образуют выборку цензурированных справа наработок. С учетом этого окончательно функцию правдоподобия можно записать следую­щим образом:

*-i

Ц9, {JV_i}) =[F(е,S₁)]"■ П[тS_w)-F(0,S_i)Г“ [I-F(0,S_t)]"“. (7.10)1=1

Прологарифмируем выражение (7.10):

/(9,[N₁ V=N₁ In F(0, S₁) + X N_m In [F(9,S_i+1) ■- F(0, S_i)] +N_t+l In [l - F(0, S₁)].

i«l

Решение данного уравнения возможно, как правило, численными мето­дами: если допустить в последнем уравнении P_j(Q) = F(9, S₁) - F(9, S_i.,). то получим, что оценка максимального правдоподобия будет корнем уравнения правдоподобия

^(7Л1>

Покажем процедуру вычисления оценки параметра интенсивности отказа для экспоненциального закона распределения наработки. Функ­ция правдоподобия в этом случае будет выглядеть следующим обра­зом:

к+1

L(K {N,}) = П [^exP №,-i) - ^exP )] ‘ •

1=1

Подставляя в (7.11) P_j(K) = ехр(-А4_м) ^- ехр(Х£„), получаем уравнение для определения параметра X экспоненциального закона распределения. Получить решение данного уравнения можно численными методами. Для приближенного решения может быть применен итеративный ме­тод Ньютона-Рафсона с начальным значением

Ь, = (в, Ґ

Jfc+¹1

где I = Y_jⁿII ^гі =⁺^.)’ ^{1 =} ^^к’ ^tM⁼ ^k⁺¹-