* Л Hn 9-GjT 7]

i=i

dl(Q,T) _ _ч

эе

к

It_i і=1

-el?;

-⁹S⁷';

;=1

ехр

Как видно из последнего выражения, даже в самом простом слу­чае экспоненциального распределения наработки до отказа параметры распределения приходится оценивать численными методами. Поэтому можно считать выражение (7.11) окончательным, дальнейшее преоб­разование которого нецелесообразно. Процедура оценивания парамет­ров закона распределения реализуется исключительно численными методами.

7.5. Примеры оценки показателей законов распределения

В данном параграфе приведем результаты вычисления параметров законов распределения и определения точности в их оценке для ряда законов, имеющих наиболее широкое применение в системном анали­зе.

Вначале подведем некоторые итоги. Остановимся еще раз на обо­значениях, используемых при расчете показателей:

9 - параметр закона распределения; {Т.} - реализации наблюдае­мой случайной величины (наработки до отказов); F(9, Г.) - функция рас­пределения случайной величины, fib, Г.) - плотность распределения. Функция правдоподобия обозначается через /-(9,7), логарифмическая функция правдоподобия /(9,7), причем /(9,7) = InL(Q_tT); к- объем вы­борки полных наработок, V - количество цензурированных данных, т.е. T_itT₂,..., T_k - реализации полных и TT' - цензурированных нарабо­ток.

Для группированных данных имеем следующую информацию: мо­менты контроля исправности функционирования оборудования ^₁, ^₂,. •., ^_jt, где 0 < 4,< £₂<...< <°°. В моменты контроля выявляется количе­ство отказавших в интервале времени (£ , £.] устройств, т.е. наблюда­емыми случайными величинами являются целые неотрицательные числа, характеризующие количество отказавших объектов на рассмат­риваемом интервале: A^r_i, N₂,..., N_M; N_j - число устройств, отказавших в интервале (£_м, у. Как и ранее функцию правдоподобия для полных наработок будем писать без индекса

1=1

для данных, имеющих наряду с полными цензурированные справа на­работки, будем использовать обозначение

После сделанных обозначений приведем результаты оценивания па­раметров законов распределения и оценок дисперсии данных показате­лей.

Экспоненциальное распределение

1. Для полных наработок имеем:

к f к \

L(Q,Т) = П0ехр(-87’) = 8* ехр| T_i

Таким образом, в данном случае решение получается в явном виде. 2. Для данных, содержащих полные и цензурированные справа на­работки:

\ Г _к_ \

П/тоП ^F(®-^r>>

.'=1 J=I

для цензурированных интервалом или группированных данных

*+i

, для имеющих цензурированные слева наработки будем

L_n(QJ) = Пехр(-Є7;')ҐІЄехр(-Є7;.) = 9* ехр

Ir*

=H-Yt₁= о; е= е

эе

J=і

J=I

A₁ =П/св,7^)П(1-^се,т;>);

^:0;

ГГ¹ = -

л •

L_r (N₁, N₂,.... N_k, 0) = ПМЛ-,) - ехр(0^, )f;

1-І

/ = X^^ln [ехр(-0^._,) - ехр(-0^.)];

Э IclnQ-Q^T_i

Bl(Q_tT)

эе

BQ

B²I _у

ДО 2 2-І

г[Ч (^²-I ехр(-Є^.,)-^²ехр(-Є^))х

Э6² ы[ехр(-е^.,)-ехр(-е^)]²

х(ехр(-Є^_,) - exp(-0^, ))-(£, ехр(-Є^ )-£,_, ехр(-0^_,) )х X^₁ ехр(-0£,) - ехр(-6£ ,_,)) =

-½.,² «р(-Є(Ь Ч- ,))-[§ ехр(-2в£, )Ч_² ep(-2^ J-2U, «фНЙ +¾-.))]]=

exp(-e(^+^,))(-l)fe-^,-,)²

ЭЧ_ эе²

Q

ZT¹ =-

;D =

о²

2. Для выборки, содержащей полные и цензурированные справа нара­ботки:

Bl(Q_tT) _ к

эе е'

е

;D =

3. Для выборки, содержащей полные и цензурированные слева на­работки:

Э I(Q_tT) _t_y у ^ у ехр(-8Г.)

Э0 Qh^tTxⁱ “Гі-ехр(-ЄГ)’

B²I(Q_tT) к ^ HT')² ехр(-67;^,)(1-ехр(-9Г))-7;ехр(-ег;)г;ехр(-ег;)

[ехр(-Є^.,)-ехр(-Є^)]

1

D =

к

эе²

е²

_ * .+^rf M~V)+(rf M-™^r,)-(rf М-Щ)

[ехр(- 0^_,)-ехр(- Є^_,)]² В случае равных интервалов группирования:

(l-exp (-QT'))

AexpC-OA(Ij₁I)) _{= NAi+д} £

1

— =

Ti [1—ехр(—0Д)3

к J_r-(т;)² exp(-QT')

2 2ы

B²I 2 у ехр(-ЭА) . _{д =} Э9² [1-ехр(-9Д)]²’

ехр(- 8А)

е

к

A²I

(і-ехр(-ег;)) 1

£/[1-ехр(-0Д)]

D-=-^ D=. BQ²'

имеем в виду, что:

к _i у. (7^)² ехр(-ЄГ^) 9² /->(і-ехр(-ЄГ/))²

= 1-

1-

In

ехр(-0Д) = ехр

2>,»_

I

г *

f(t,m,a) =

ехр

I(T₁-Q₁)²

aj2n

Ig¹

' (/- 9,)^г^

V 20^г_г JJ

» ( ¹ пИ

dt,

і_п(є„є₂,{7;}) =

ехр

7 ехр

JlnQ,

(-JlnQ_l)

2 Л

20

(х-т) 2 о²

dx.

ехр

oV2rt.

логарифмическая функция правдоподобия:

1

1- [ -■ ехр

I₀JiHq₂

+ Jln

2 j^sl

dt

20;

и, наконец, частные производные определяются выражениями

2 \

(T¹_i-Q_l)

291

= 0;

це„мт;})

-ехр

' а~9,)^2Л 20₂

(JIkQ₁) I(T_i-Q_l)

dt

2 'N

(г;-0,)

20²

(Tj-Q_l)

-ехр

JlnQ:

20²

JL

эе,

■=0.

* -£*₊5£.0;

Є³,

^ґ (t-QO²^ 2 Q²

dt

эе, 0:

В данных формулах приняты обозначения: т — математическое ожида­ние; с - среднее квадратическое отклонение. При получении оценок параметров и определении точности в их оценке будем также в каче­стве математического ожидания использовать обозначение 0, в каче­стве среднего квадратического отклонения - 0₂. Приведем результаты вычислений.

I. В случае полных наработок имеем:

Лші' І I' IrQ² _9А V T J- V T²

I = InL = -к 1п(л/27С0₂)- ——— = -к 1п(л/2л0₂) ! —2-* ;

( * N

I(T_i-Q_l)² /=1

20²

20²

э/ P^t-_t ~У5о,°^р

Э0, 0J - ^Т]-

1 = ~ 1п(2я)-Ип0₂-^_

-^x-

2 J^mI

I(T_i-Q_l)²

JbtQ. 1

-ехр

_ 1=1

(7:-,-9,)²

20?

SJrAl

20?

\_

Ы A -JbiQ,

-ехр

ехр

2 Л

з;-.

f (f - 9,)

J ^expI —^eT

А

/ J

ШД^ехр

MM₁, {Г,}):

dt\

-ехр

(Vijte₂)'

20

логарифмическая функция правдоподобия:

I = In / = - - (In 271+In 9' )■- ₊ £ In J -L-

’ 29₂² LJ^Q₂

частные производные:

q-9,)²

v 29²

dt\

ехр

(Tj - Є, )²

2¾-⁰.) - -ж“^р

" —+Sf

20²

дІ_

Э9,

_ I = I

^:0;

^rI(T_l-B_l)

' UzM^{2 Л} 20²

J

dt

■ехр

\llnQ. I

^ _к ^ verier

Э0,

02

(.T--Q₁)²

20²

(Tj-Q_l)

ехр

Х(^-9,)²

-£+Z

= 0.

9, ⁺

2 Л

9³2

Э0²

Л f_L

(t~ 9.) 20?

^J2 J=1

dt

•ехр

•JbiQ,

л/2710,

-=Хм-

Э9₂ £ '

= 0.

Рассмотрим вопрос вычисления точности в полученных оценках. Определим вторые производные для случая, когда имеются в наличии полные наработки.

=-JL- D =H

^Л О » ^xyA. - »

I(T_i-Q_l)²

: — 3

9²

Э0?

0

^т> і -Итк

^f^20?

^ (х-m)² ^

2о²

dt

-ехр

» х > 0;

-ехр

ехр

7^0.

-JlnQ.

-JlilG 0,* < 0,

/W =

производные от нее по параметрам: 220

а-е,)²

20²

V ² у

здесь С=-

(* - т)²

dx

-ехр

о J2ko

Функция распределения равна

2а

\ у

-ехр

L=-

(JiHb₂Y

логарифмическая функция правдоподобия равна

( Л

^ґ (Х-т)^{2 Л}

2 а²

t

Jexp

F(x) =

dx.

Будем обозначать 0, - математическое ожидание, 0₂ - среднее квадратическое отклонение. Рассмотрим последовательно вычисление оценок параметров для различных схем наблюдений.

1. Функция правдоподобия для полных наработок имеет вид

J A(x)dx

X(TT-O₁)²

- к In J A(x)dx+X In

1-і.

20,

J A(x)dx

м

( к \ I(T_i-Q_l)²

ы

2Є²

И, наконец, производные по параметрам определим следующим обра­зом:

L =

-ехр

(72л G₂ У

Соответствующая логарифмическая функция правдоподобия

J_j(T_i-Q_l) ехр

Ы

-+Jfc-

1(7:-9,)²

—^itoI^exp

эе, 0²

J A(x)dx

dx.

+I

j-i

= 0;

( п2 \

ЭI

■^-jA(x)dr

2 Л

(X-Q₁)

20,

Обозначим: А(х) = ехр

, тогда

ef

Х<7] -Q,) ехр -

2Q\

—^ = 0;

ЭI

-+Jfc-

JL

2Є²

Э0,

X^-⁰.)² ^^exp

-Jfe-2

J A(x)dx

эе, е³,

J A(x)dx

+1-

j=i

= 0.

* 0 ^ 0 117-

X(T_i -Є,)² F^exp ГГl^A(x)dx

I ) ^и2 0

-jfc-

= 0.

ег

Э0,

\A(x)dx

Решая данную систему уравнений, получаем оценки параметров усе­ченного нормального закона распределения для случая полных нарабо­ток.

1 = 1

20?

L = -

-ехр

(-JlKQ₂)

Далее вычисляем логарифмическую функцию

X(^e₁)

л

20?

ехр

N >

Х*<

jA(x)dx- J A(x)dx

1\

X*.

= 0.

A(T_i)-A(T^_l) __А,

¹ '5>,

= 0;

Э0

J A(x)dx

■ - (к

/ = —

щ о

и производные для вычисления оценок параметров

JL

Эв,

)

-+(Jfc+v)-

20?

I A(x)dx ‘ ¹

‘ I

J A(x)dx

о

2 Л

ЭI Э0.

= 0;

T_i-Q_l

( Al \ v

X^. X-

V I=I J J=I

( сё

~]а(х)(1х

ехр

_Э1_ Эв,

20:

■ 1=1

- — (к +v)-~-

Как видно из приведенных выражений, для определения парамет­ров усеченного нормального закона распределения необходимо решать систему уравнений численными методами.

Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальному закону распределения подчиняется случайная величина t, логарифм которой распределен по нормальному закону.

Плотность и функция распределения имеют вид

J A(x)dx

1^Т;с

V Й

'Jf.' 20,²

ехр

■0.

‘ I

J A(x)dx

4. Для группированных данных итоговые оценки получаются таким образом.

Функция правдоподобия имеет вид

' (*~Ю² '

2а²

' (In Г - I-L)² ^

2 о²

ІПГ j

; F(0= J-j

dx;

fit) =

ехр

ехр

ta4lK

L =

0₂* (IK)^knYlT_l

( J(InT_i-Q_l)²

_м

26²

2 Л

о¹? ¹

01 ^s^ap

(*~⁹i)

26?

L -_к— ехр

V₂(Jbt)^kYlT_i

* _k X(InT^-G₁)²

⁼ ~X ^ⁿT_i-- 1п(2л) - A: In G₂ - — 5

/=1 I 26₂

!(InTJ-e,)² _v ь»; j

-£И -ад-*ыц ₊». f

( (X-Q₁)²)

I 20²,

Xaⁿ⁷;-⁰,)

І>т;

д[

50,

dx

dl_

Э6,

= O, откуда получаем G₁=-

Л,

(inr;-e,)^2N

26²,

к

1

_ 1=1

XdnTl-e,) е₂^^ЄХР

і Х«Т

Э/ _ к

эвГ" вГ⁺"

• = 0;

:0; G₂² =^j^^l

' (*-е,)²^

2G²,

*— ^ш'> і

>=і г I

в³,

\dx

ехр

Q₂Jlit

2. Для выборок, содержащих полные и цензурированные справа на­работки:

f (InT^e_i)²Y ІПГ/-8,

20², I G²₂

І^Т-Qj v V^^expi

( J(InT_i-Q_l) ^ J t=l

26,²

dl _ к Э0₂ G₂

In Г'

in г;

G

' (JC-G₁)² ^ 26,²

j=¹ г і

T=^exP

і Q₂J2k

In

J^m 1

і

T=^exP

Q₂Jbt

Idbt

'-і

L =

-ехр

dx

26²,

Q^t₂(^)^tIlT_i

InTf

^ґ (X-Q₁)^{2 л} 2 Є²

l=~J\nT_i--\n2%-k\nQ₂-^

м 2 ² 2G

- I

W

і—+X^ln

2 J=I

Idx

^exP

8₂72л

' (InT--Q_l)²' 26²

ді _|°^П7;~^Єі),^ Q₂Jbi

ехр

■ = 0;

Э6, G²

ті.

^г (*-е,)²^ 26²

V ² у

Idx

ехр

Q₂JlH

(Іпт;-6,)²У Іпг.'-е,

а, * Xe-T--O,)² ^expj

—=—+-—-—+X

26,²

- = 0.

Э0₂ в₂

Q³₂

і-T-

Ш2,

’ Г ¹

Q₂Jlk

.(-t-6,)

2G,²

Idx

ехр

а_

эе,

Jt +JiTjf'

(In 7:-6,) 20,²

= 0;

N_i

I N ¹

=-Ly—

A JLu Inr

e₂„ J

-exp

=0:

і» з;-. r

л \

U~⁹i)

20²

dx- I exp

_Э/_

Э0₉

exp

Jt* +J(Tj)* ,=1 j=i

)в_г

InT_i-Q_l

З^{2 J}2

(In 7; -⁰,)² 29²

(InT_m -Є,)²

20j

Э/ I e^{2 exp}

Є²

20?

=0.

Jt* +J(Tj)*

_ш /=і J=і

іп7; /

,2 \ ЬГ

— dx- I ехр

2 Л

U~⁹,)

20²

г

\dx

ехр

= 0;

Jt* +J(Tj)*

,⁰.-¹

2

= о.

Э/

30.

-0;

1=1

к

X

<=1

ді ^ґ эе.

_э/_

Э0,

Распределение Вейбулла

Плотность и функция распределения для распределения Вейбулла:

fit) = a(kt)^a~' ехр(-(ХгГ); Fit) = l-exp(-(Xt)°),

где а - параметр формы; X - параметр масштаба. Будем обозначать а = Q₁, X = 0₂. Приведем итоговые результаты для различных схем по­лучаемых данных.

1. Для случая полных наработок:

( *

L(O_pO₂₅(^)) = O₁^tO₂⁹'⁴ ехр -Q₂* JT₁* П^)⁹"¹;

I-=I ;=і

2. Для выборок, содержащих полные и цензурированные справа нара­ботки:

к In 0, + JkO₁ In O₁ + (0, - OXlnT_i - O₂⁹' ^t;⁹' = О;

ⁱ⁼¹ J в,

^ + UnO₂ +^nT_i-J_j(T_iQ₂)⁹' In(^e₂) = 0;

к to O₁ + £0, In O₂ + (0, -1)£ In T_i - O₂⁹' ^T₁⁹'

Ol I

эеГеТм

-'Q₁ J_jT* =0.

U"⁹,)

20?

/-1 /*1

^Lexp

/=1

к

0,

U~⁹i)

20?

ln7T_, -0,

20?

12 \

²^ ^f (In 7;., -O₁)² 'I

+ exp

4. Для группированных данных:

до,, O₂, (7;}) = П (ехр (-Q₂TJ-, f - ехр (-э₂т; т) ;

3. Для выборок, содержащих полные и цензурированные слева на­работки:

~ =±- + кЫ0_г +JlnT_i-Xf(Tie₂)^9l^e₂)] + OtJ₁ У, І₌₁ ;₌₁

у ех_Р(-(7;е₂)⁹' )(?;е₂)^а- іп(т;е₂) _

⁺Ь 1-ехр(-(7';е₂)^) ”⁰’

£-(0,,0,,(7;,}) -O₁^tO₂⁹"*fl(7,)⁹'expf -O₂⁹' Jt* jfj(l^_ехр(-(O₂Tj)^9|)),

к In O₁ + к In O₂ + 0, J In T₁- 0

i=i

После элементарных преобразований

^ ехр(-(TjQ₂)* ){TjO₂)⁹' In(Tje₂) _ ⁺Ь 1—ехр(-(TjQ₂)* ) ^_0'

= kQ_l-QjT* -Х[(7_;0₂)⁹‘ In(TJO₂)] +

— + JtlnO₂ +Xln T_i -О⁹' InO₂

itlne.+itlne.+e.Xln^-e,

JtO₁-O₁OI

L '=I /⁼¹

i=i J=і

M /=1

= о.

i=i

к

-Q⁹AJt* ^T_i+J(Tj)* \nTj

J=і

( к \ -q*Jt*

^e₁,0₂, (7;}) = Q₁^tQ₂⁹'* П (7;. )⁹'⁴ ехр

ехр

Tl т; I_i

_у Г (O₁) [G₂¹ In O₂ J A(x)dx + O₂¹ J В(х)&]--I^v(O₁)O? J А(*)Л -J »_= S —2 0;

T(O₁)

ехр -O₂Jt;. |П Jx⁰¹'¹ ехр(-O₂X)Л;

^ -HnA ^T(O₁) Vl т n ^ ^0’ V¹ -^klrx^ -F^T ⁺ L^hi7_i =0; _ = =0.

I-JL

J/^{1 1} exp(-0₂x)ft

ACO₁) ^Jo

* V в⁹'O₁ j₊ 0⁹']С(лг)^

d/ _ ко, у у* о о Q

эе₂ O₂ tf‘ P

0⁹‘ ^Т‘-

1 — f A(x)dx

T(O₁)^jO

T(O₁)

ПГ'-'ехр -O₂J₁T₁

L =

J(S₁)_y

3. Для выборок, содержащих полные и цензурированные слева на­работки:

Ґ к \

£іпт; (O₁-I)-O₂Jt;;

/ = А:0,1п0₂ — А:1пГ(0, ) +

( -і- Л V ^tL

' 0,°' ^y+v Г(0,)

i=l J і=1 о

30, ‘ Г(0,)

2. Для выборок, содержащих полные и цензурированные справа нара-

VlJ'

Э0₂ 0_{2 1=},

I = (fc+v)0, In O₂ - (Jfe+v)in F(O₁)+(O₁ -I) Jin?; -O₂Jt;. + Jinf д( х&с.

І=1 І-1 о т;

ботки:

I B(x)dx

^k+vm)₊±^T_i+±$—=°;

^{i=1 J=1} I A(x)dx

( е в, V

( к \

П^ 'ехр -о^т; П

^м V '=1 ) J=I

L =

^1_f^) J^'^{1 ех}Р(^-02*)<&

Г(0,)

/

T(O₁)J-