Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

06_Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

406.62 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Г Л А В А 6

Интегральное исчисление функции одной переменной. Неопределенный интеграл.

§6.1. Неопределенный интеграл и правила интегрирования.

6.1.1.Первообразная и неопределенный интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождения производной f0(x) или дифференциала df(x) = f0(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F (x), что F 0(x) = f(x) или dF (x) = F 0(x)dx = f(x)dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции.

Определение 1. Функция F (x), x 2 X ½ R, называется первообразной для функции f(x) на множестве X, если она дифференцируема для любого x 2 X и F 0(x) = f(x) или dF (x) = f(x)dx.

В определении первообразной предполагается, что функция F (x) дифференцируема на числовом промежутке X, который может быть открытым, полуоткрытым и замкнутым. При этом, если некоторый конец промежутка X принадлежит промежутку X, то под производной в этой точке-конце будем понимать соответствующую одностороннюю производную.

Весьма существенным является обстоятельство, состоящее в том, что задача по нахождению первообразной разрешается неоднозначно. Если, например, f(x) = e3x, то первообразной для этой функции является не только F (x) = 13 e3x, но также и множество функций 13 e3x + C, где C - произвольно выбранная постоянная.

Теорема 1. Если F1(x) и F2(x) - две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве X, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е. F2(x) = F1(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) - первообразные функции f(x) на X. Их разность F (x) = F2(x) ¡ F1(x) является дифференцируемой функцией F 0(x) = F20(x)¡F10(x) = f(x)¡f(x) = 0 на X. Из теоремы Лагранжа следует, что F (x) = C, т.е. F2(x) ¡ F1(x) = C для любого x 2 X.

Следствие 1. Если F (x) - некоторая первообразная функция f(x) на множестве X, то все первообразные функции f(x) определяются выражением F (x) + C, где C - произвольная постоянная.

Операция отыскания первообразной F (x) функции f(x) называется интегрированием.

Определение 2. Совокупность F (x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом и обозначается Z

f(x)dx = F (x) + C: (1.1)

В формуле (1.1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, а C – постоянной интегрирования.

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой однопараметрическое семейство кривых y = F (x) + C (C - параметр) обладающих следующим свойствами: все касательные к кривым в точках с абсциссой

x = x0	параллельны между собой:	³F (x) + C	´0¯¯x=x0 = F 0	(x0) = f(x0):
		³F (x) + C	´0¯¯x=x0 = F 0	(x0) = f(x0):
			¯

Кривые семейства fF (x)+Cg называются интегральными кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Oy.

f(x)dx + ¸2

Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Неопределенный интеграл.

6.1.2.Основные свойства неопределенного интеграла.

10. Пусть функция f(x) имеет первообразную на числовом промежутке X. Тогда

	R	µZ f(x)dx¶0					= f(x); 8x 2 X:
Доказательство. Поскольку		f(x)dx = F (x) + C;		8	x	2	X, где F (x) есть первообразная функция f(x) на числовом
промежутке X, то		µZ f(x)dx¶0
			= ³F (x) + C´0					= F 0(x) = f(x):
20. Пусть функция F (x) дифференцируемая на числовом промежутке X. Тогда
		Z dF (x) = F (x) + C и				Z F 0(x)dx = F (x) + C; 8x 2 X:

Эти соотношения непосредственно следуют из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал который стоит под знаком интеграла.

30. Пусть функция f(x) интегрируема на числовом промежутке X, k - некоторое ненулевое действительное число. Тогда функция kf(x) имеет первообразную на числовом промежутке X и

kf(x)dx = k f(x)dx; k =6 0; 8x 2 X:


Доказательство. Действительно, пусть F (x) первообразная функции f(x), т.е. F 0(x) = f(x). Тогда kF (x) – первооб-
разная функции kf(x), так как,	³kF (x)´0		= kF 0(x) = kf(x). Отсюда следует, что
	k Z	f(x)dx = k³F (x) + C´ = kF (x) + C1 = Z		kf(x)dx;

где C1 = kC. 40. Пусть функции f(x) и g(x) имеют первообразную на числовом промежутке X. Тогда функция (f § g)(x) имеет

первообразную на X и	Z ³f(x) § g(x)´dx =	Z	f(x)dx § Z
				g(x)dx; 8x 2 X:

Доказательство. Пусть F (x) и ©(x) первообразные функций f(x) и g(x), т.е. F 0(x) = f(x), ©0(x) = g(x). Тогда функции

F (x) § ©(x) являются первообразными функций f(x) § g(x). Следовательно				´ ³	´
Z f(x)dx § Z	³	´ ³	´ ³
	g(x)dx = F (x) + C1 § ©(x) + C2 = F (x) § ©(x) + C1 § C2 =

³ ´ Z ³ ´

= F (x) § ©(x) + C = f(x) § g(x) dx:

Из свойств 30 и 40 вытекает свойство линейности неопределенного интеграла.

50. Пусть f(x) и g(x) функции, имеющие первообразные на числовом промежутке X, действительные числа ¸1 и ¸2

одновременно не обращаются в нуль. Тогда функция ¸1f(x) + ¸2g(x) имеет первообразную на X и
Z	³	¸1f(x) + ¸2g(x) dx = ¸1	Z	Z	g(x)dx:
	³	´

60 [инвариантность формул интегрирования]. Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если пере-

менную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной

Z Z

f(x)dx = F (x) + C ) f(u)du = F (u) + C;

где u - дифференцируемая функция.

Доказательство. Воспользуемся свойством инвариантности формы дифференциала первого порядка: если dF (x) = F 0(x)dx то dF (u) = F 0(u)du, где u = u(x). Пусть f(x)dx = F (x) + C, тогда F 0(x) = f(x). Докажем, что f(u)du =

F (u) + C	. Для этого найдем дифференциалы от	левой и правой частей последнего равенства
	. Для этого найдем дифференциалы от	R	= F 0	R
	d µZ f(u)du¶ = f(u)du и d F (u) + C		= F 0	(u)du = f(u)du:
		³	´

Из равенств этих дифференциалов следует справедливость свойства 60.

6.2. Основные методы интегрирования.

6.1.3. Табличные интегралы.

Если на некотором числовом промежутке F 0(x) = f(x), то в соответствии с определением на этом числовом промежутке R f(x)dx = F (x) + C. Используя эту закономерность, составим таблицу основных неопределенных интегралов по

таблице производных элементарных функций.

1.0 dx = C; 8x 2 R.

Z Z

1 dx = dx = x + C; 8x 2 R.

3. Z

x¸+1

x¸dx =

+ C; ¸ 6= ¡1; 8x 2 D(x¸).

¸ + 1

4. Z

= ln jxj + C; 8x 6= 0.

arctg

+ C = ¡

arcctg

+ C1

; 8x 2 R.

a2 + x2

6. Z

x + a

+ C; 8 jxj 6= jaj.

¡dx

7. Z

= ln x¯ + a¯

+ x2

+ C; x

pa2 + x2

8 2 R.

= arcsin

+ C = ¡ arccos

+ C1

; 8x 2 (¡a; a).

a2 ¡ x2

9. Z

= ln x + x2

+ C; x (

;

(a; +

)

px2 ¡ a2

ax ³

8 2 ¡1

[

1 .

10.

ax dx =

+ C; a > 0; a 6= 1; 8x 2 R.

ln a

11.

sin xdx = ¡ cos x + C; 8x 2 R.

12.cos xdx = sin x + C; 8x 2 R.

13.	Z	dx	= ¡ ctg x + C = Z		cosec2 xdx; 8x 6= ¼k; k 2 Z.

		sin2 x
14.	Z	dx	= tg x + C = Z	sec2 xdx; 8x 6=		¼	+ ¼k; k 2 Z.

		cos2 x				2
	Z

15.sh xdx = ch x + C; 8x 2 R.

16.ch xdx = sh x + C; 8x 2 R.


17.	Z	dx
			= ¡ cth x + C; 8x 6= 0.
		sh2 x
18.	Z	dx		= th x + C; 8x 2 R.

		ch2 x

Отметим, что все указанные формулы справедливы на тех числовых промежутках, на которых они справедливы. Если первообразная F (x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл R f(x)dx вы-

ражается в элементарных функциях или функция f(x) интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается в элементарных функциях.

В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести интеграл к табличному.

§6.2. Основные методы интегрирования.

6.2.1.Непосредственное интегрирование.

Непосредственное интегрирование основано на свойстве линейности неопределенного интеграла. При этом к табличным интегралам приходим путем элементарных преобразований подынтегральной функции.

Пример 1. Найти R (x+3)2 dx.

x(x2+9)

Решение.

+ 3)2

dx = Z

(x2 + 9) + 6x

dx = Z

+ 6 Z

= ln jxj + 2 arctg

+ C; 8x 6= 0:

x(x2 + 9)

x2 + 32

Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Неопределенный интеграл.

Пример 2. Найти R

ex(3¢22x¡2¢3

)

dx.

Решение.

Z µ

(3 ¢ 2

¡ 2 ¢ 3

)dx = 3 exdx 2

dx = 3ex

+ C:

¢ ln

6.2.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).

Теорема 2. Пусть определенные соответственно на числовых промежутках Jx и Jt функции f : Jx ! R и ' : Jt ! R обладают следующими свойствами:

1)значение '(t) 2 Jx; 8t 2 Jt;

2)на числовом промежутке Jx функция f(x) имеет первообразную F : Jx ! R, то есть

f(x)dx = F (x) + C; 8x 2 Jx;

(2.2)

3) функция ' дифференцируема на Jt.

Тогда на числовом промежутке J

сложная функция F

'(t) ,

J является первообразной функции f

'(t)

'0(t),

Jt и

'(t)

¢ '0(t)dt = Z

³ ´ ¢

f(x)dx = F '(t)

+ C; 8x 2 Jx; 8t 2 Jt:

(2.3)

Доказательство. То, что при любом t 2 Jt значение '(t) 2 Jx, позволяет говорить о существовании сложных функций

'(t)

и F '(t)

на Jt. Из соотношения (2.2) следует, что F 0(x) = f(x), 8x 2 Jx. Тогда по правилу дифференцирования

сложной функции

´ ¢

8 2

dF ³'(t)´

d'(t)

= f '(t)

'0(t); t

Jt:

Это означает, что на J функция f

'(t)

'0(t) имеет первообразную F

'(t) . Отсюда, согласно определению неопре-

деленного интеграла, следует,t

что

´ ¢

+ C; 8t 2 Jt:

'(t) ¢ '0(t)dt = F

'(t)

(2.4)

Поскольку

F '(t)

+ C = F (x) + C = Z

f(x)dx; 8x 2 Jx; 8t 2 Jt;

то из соотношения (2.4) получаем формулу (2.3).

Пример 3. Найти R

ex¡1

Решение. Сделаем подстановку e

¡ 1 = t . Тогда x = ln(t

+ 1) и dx =

dt. Подставляя

t2+1

pex

¡ 1

t2 + 1 = 2 arctg t + C = 2 arctg pex ¡ 1 + C:

2dt

При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило

выбора замены переменной для интегрирования любой функции.

Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом ”подведения” подынтегральной функции под знак

дифференциала. По определению дифференциала функции '0(x)dx = d'(x). Переход от левой части этого равенства к
правой называют ”подведением” множителя '0(x) под знак дифференциала.
				R			'(x) ¢ '0(x)dx. Внесем в этом интеграле множитель '0(x) под знак диф-
Пусть требуется найти интеграл вида					f
						'(x) = u		:
ференциала, а затем выполним подстановку ³							´	:	f	'(x) d'(x) = Z f(u)du:
			Z	f '(x)	´	¢ '0(x)dx = Z			f	'(x) d'(x) = Z f(u)du:
				³	´				³	´
du
Если интеграл R f(u) 2		табличный, его вычисляют непосредственным интегрированием.
Пример 4. Найти R xp	x	+ 1	dx.

6.2. Основные методы интегрирования.																					5
Решение. Учитывая, что xdx = 21 d(1 + x2), и положив 1 + x2 = u имеем
							1			1			1	u3=2			1
							1			1			1	u3=2	+ C =		1	(1 + x2)3			+ C:
		Z x x2 + 1dx = 2 Z								(1 + x2)1=2d(1 + x2) = 2 Z u1=2du = 2 ¢				3=2	+ C =		3	(1 + x2)3			+ C:
		p																p
Пример 5. Найти R					sin xdx
				p					.
				p	1+5 cos x				.	1
Решение. Заметив, что sin xdx = ¡5 d(1 + 5 cos x), и положив 1 + 5 cos x = u имеем
		sin xdx	1							1					2				2
Z	p			= ¡				Z (1 + 5 cos x)¡1=2d(1 + 5 cos x) = ¡				Z	u¡1=2du = ¡			u1=2 + C = ¡				p1 + 5 cos x + C:
						5					5				5				5
		1 + 5 cos x				5					5				5				5

6.2.3. Интегрирование по частям.

Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке X и на этом промежутке существует интеграл R vdu, то на нем существует и интеграл R udv, причем

udv = uv ¡ vdu:

(2.5)

Доказательство. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на промежутке X. Тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство

d(uv) = vdu + udv

и поэтому

udv = d(uv) ¡ vdu:

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как, согласно свойству 20

d(uv) = uv + C;

а интеграл R vdu существует по условию. Поэтому на основании свойства 40 существует и интеграл R udv, причем

Z Z Z Z Z

udv = d(uv) ¡ vdu , udv = uv ¡ vdu:

Соотношение (2.5) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла R udv можно свести к вычислению другого интеграла R vdu. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (2.5) более прост для вычисления, чем исходный.

Пример 6. Найти R x sin x dx.

Решение. R

1а) Положим u = x, dv = sin x dx = ¡d cos x. Тогда du = dx, v = ¡ d cos x = ¡ cos x. Имеем

x sin x dx = ¡x cos x + Z

cos x dx = ¡x cos x + sin x + C:

1б)

x sin x dx =

xd(

cos x) = x(

cos x)

(

cos x)dx =

x cos x +

cos x dx =

x cos x + sin x + C:

Если в данном интеграле положить u = sin x, dv = xdx, то du = cos xdx, v =

Z x sin x dx =

sin x ¡

x2 cos xdx;

т.е. в правой части получится более сложный интеграл, чем в левой. Значит такое разбиение подынтегрального выражения является неудачным.

Некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемые методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида

Pn(x)ekxdx,

Pn(x) sin kx dx,

Pn(x) cos kx dx,

Pn(x) sh kx dx,

Pn(x) ch kx dx, где Pn(x) –

многочлен степени

число.

R- некоторое

Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u = Pn(x) и применить формулу (2.5) n раз.

2. Интегралы вида

Pn(x) ln(x) dx,

Pn(x) arcsin x dx, Pn(x) arccos x dx, Pn(x) arctg x dx, Pn(x) arcctg x dx, где

(x)

– многочлен

степени n относительно x.

Их можно найти по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn(x).

3. Интегралы вида

eax cos(bx) dx,

eax sin(bx) dx, где a, b - числа.

Они вычисляются

двукратным интегрированием по частям.

Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Неопределенный интеграл.

Пример 7. Найти R arcsin x dx.

Решение.	Z	arcsin x dx = x arcsin x ¡ Z			xd(arcsin x) = x arcsin x ¡ Z		xdx
						p	xdx	=

							1 ¡ x2
			1
	= x arcsin x +		1	Z (1 ¡ x2)¡1=2 d(1 ¡ x2) = x arcsin x + p1 ¡ x2 + C:

			2

§6.3. Интегрирование рациональных функций.

6.3.1.Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших рациональных дробей.

Рассмотрим функцию f(x) = QP ((xx)) , где P (x), Q(x) - многочлены с действительными коэффициентами.

Рациональная дробь P (x) называется правильной, если либо P (x) - нулевой многочлен, либо его степень меньше

Q(x)

степени многочлена Q(x), и неправильной, если степень многочлена P (x) не меньше степени многочлена Q(x).

Если рациональная дробь QP ((xx)) неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, получим равенство

P (x) = R(x) + P1(x) ; Q(x) Q1(x)

где R(x), P1(x), Q1(x) - некоторые многочлены, а P1(x) - правильная рациональная дробь.

Q1(x)

Лемма 1. Пусть P (x) - правильная рациональная дробь. Если число a является действительным корнем кратности

Q(x)

® > 1 многочлена Q(x), т.е.

Q(x) = (x ¡ a)®Q1(x) и Q1(a) =6 0;

то существуют действительное число A и многочлен P1(x) с действительными коэффициентами такие, что

P (x)

P1(x)

;

Q(x)

(x ¡ a)®

(x ¡ a)®¡1Q1(x)

P1(x)

где дробь

также является правильной.

(x a)®¡1Q1(x)

Доказательство. Каково бы ни было действительное число A, вычитая из дроби

P (x)

выражение

Q(x)

(x¡a)®Q1(x)

(x¡a)®

и затем прибавляя его, получим

P (x)

P (x) ¡ AQ1(x)

(3.6)

(x ¡ a)®

(x ¡ a)®Q1(x)

Q(x)

µ(x ¡ a)®Q1(x)

(x ¡ a)® ¶

По условию, степень многочлена P (x) меньше степени многочлена Q(x) = (x ¡ a)®Q1(x). Очевидно, что степень многочлена Q1(x) меньше степени многочлена Q(x) (так как ® > 1), поэтому при любом выборе числа A рациональная дробь

A	+	P (x) ¡ AQ1(x)
(x ¡ a)®		(x ¡ a)®Q1(x)

является правильной.

Выберем теперь число A таким образом, чтобы число a было корнем многочлена P (x) ¡ AQ1(x) и, следовательно, чтобы этот многочлен делился на x ¡ a. Иначе говоря, определим A из условия P (a) ¡ AQ1(a) = 0. Отсюда имеем

A = P (a) , т.к. Q1(a) =6 0. При таком выборе A второе слагаемое правой части в формуле (3.6) можно сократить на

Q1(a)

x ¡ a, в результате получим дробь вида

P1(x) :

(x ¡ a)®¡1Q1(x)

Эта дробь получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на множитель x ¡ a, где a действительно, поэтому и сама она является также правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами.

6.3. Интегрирование рациональных функций.			7
Лемма 2. Пусть	P (x)	- правильная рациональная дробь. Если
	Q(x)

³ ´

Q(x) = (x2 + px + q)¯Q1(x); p2 ¡ 4q < 0; НОД x2 + px + q; Q1(x) = const;

то существуют действительные числа M, N и многочлен P1(x) с действительными коэффициентами такие, что

			P (x)	=	Mx + N	+		P1(x)	;
				=	(x2 + px + q)¯	+	(x2 + px + q)¯¡1Q1(x)		;
		Q(x)			(x2 + px + q)¯		(x2 + px + q)¯¡1Q1(x)
где дробь	P1(x)	также является правильной.
где дробь	(x2+px+q)¯¡1Q1(x)	также является правильной.
Теорема 4. Пусть P (x) - правильная рациональная дробь, P (x), Q(x) - многочлены с действительными коэффициен-

Q(x)

тами. Если

Q(x) = (x ¡ a1)®1 ¢ : : : ¢ (x ¡ ar)®r (x2 + p1x + q1)¯1 ¢ : : : ¢ (x2 + psx + qs)¯s ;

где ai - попарно различные действительные корни многочлена Q(x) кратности ®i, i = 1; r, p2j ¡ 4qj < 0, j = 1; s, то существуют действительные числа A(i®), i = 1; r, ® = 1; ®i, Mj(¯), Nj(¯), j = 1; s, ¯ = 1; ¯j, такие, что

P (x)

A1(1)

A1(2)

A1(®1)

Ar(1)

Ar(2)

Ar(®r)

+ : : : +

Q(x)

(x ¡ a1)®1

(x ¡ a1)®1¡1

x ¡ a1

(x ¡ ar)®r

(x ¡ ar)®r¡1

x ¡ ar

M(1)x + N

(1)

M(2)x + N(2)

(¯1)x + N

(¯1)

+ : : : +

(3.7)

(x2 + p1x + q1)¯1

(x2 + p1x + q1)¯1¡1

x2 + p1x + q1

Ms(1)x + Ns(1)

Ms(2)x + Ns(2)

+ : : : +

Ms(¯s)x + Ns(¯s)

(x2 + psx + qs)¯s

(x2 + psx + qs)¯s¡1

x2 + psx + qs

Рациональные дроби вида

, A 6= 0, и

Mx+N

, M

+ N

6= 0, где a, p, q, A, M и N - действительные числа и

(x¡a)®

(x2+px+q)¯

¡q < 0 (корни квадратного трехчлена x2 +px+q комплексные), называются элементарными рациональными дробями.

Таким образом, теорема утверждает, что всякая ненулевая правильная рациональная дробь может быть разложена

на сумму элементарных рациональных дробей.

Например:

Bx + C

Dx + E

;

(x3 ¡ 8)(x2 + 1)

(x ¡ 2)(x2 + 2x + 4)(x2 + 1)

x ¡ 2

x2 + 2x + 4

x2 + 1

2x ¡ 3

;

(x + 1)(x ¡ 1)3

x + 1

x ¡ 1

(x ¡ 1)2

(x ¡ 1)3

x2 + x + 13

Bx + C Dx + F E M

(x ¡ 1)(x2 + 4)2x3

x ¡ 1

x2 + 4

(x2 + 4)2

Чтобы найти коэффициенты разложения, чаще всего применяют метод неопределенных коэффициентов и метод

частных значений.

Пример 1. Разложить рациональную дробь

на простейшие дроби.

x ¡8

Решение. Так как x3 ¡ 8 = (x ¡ 2)(x2 + 2x + 4) то имеем

Bx + C

;

x3 ¡ 8

(x2 + 2x + 4)(x ¡ 2)

x ¡ 2

x2 + 2x + 4

где числа A; B; C пока неизвестны. Правую часть этого разложения приведём к общему знаменателю, тогда

A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x ¡ 2)

(A + B)x2 + (2A + C ¡ 2B)x + 4A ¡ 2C

x3 ¡ 8

(x ¡ 2)(x2 + 2x + 4)

(x2 + 2x + 4)(x ¡ 2)

Следовательно

x2 = (A + B)x2 + (2A + C ¡ 2B)x + 4A ¡ 2C:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений для нахождения неопреде-

ленных коэффициентов A, B и C:

: 0 = 2A + C ¡ 2B; 9

A = 3; B = 3; C = 3:

: 1 = A + B;

= )

x0 : 0 = 4A 2C:

Таким образом,

;

2(x + 1)

x3 ¡ 8

3(x ¡ 2)

3(x2 + 2x + 4)

Глава 6.

Интегральное исчисление функции одной переменной.

Неопределенный интеграл.

Пример 2. Разложить рациональную дробь

2+16x 8

на простейшие дроби.

¡4x

Решение. Имеем

4x2 + 16x ¡ 8

A(x ¡ 2)(x + 2) + Bx(x ¡ 2) + Cx(x + 2)

;

x + 2

x ¡ 2

т.е.

x3 ¡ 4x

x(x + 2)(x ¡ 2)

4x2 + 16x ¡ 8 = A(x + 2)(x ¡ 2) + Bx(x ¡ 2) + Cx(x + 2):

Придавая x последовательно частные значения, равные корням x = 0, x = ¡2, x = 2 находим

x = ¡2 : ¡¡24 = 8B; 9

A = 2; B = 3; C = 5:

x = 0 :

8 = ¡4A;

= )

x = 2 : 40 = 8C:

Таким образом

4x2 + 16x ¡ 8

;

¡ x + 2

x ¡ 2

x3 ¡ 4x

Особенно выгодно применять второй метод в случае, когда корни знаменателя просты и действительны.

6.3.2. Интегрирование простейших рациональных дробей.

Из теоремы 4 следует, что для интегрирования правильной рациональной дроби необходимо уметь интегрировать

простейшие рациональные дроби вида:

; 2:

; n > 2; 3:

Mx + N

; 4:

Mx + N

; n > 2;

x ¡ a

(x ¡ a)n

x2 + px + q

(x2 + px + q)n

где A; a; p; q; M; N - действительные числа, а квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, т.е. p2 ¡ 4q < 0.

Рассмотрим

1. Z

Adx

= A

d(x ¡ a)

= A ln

+ C:

x ¡ a

2. Z

Adx

= A

a)¡ndx = A

a)¡nd(x

a) = A

(x ¡ a)¡n+1

+ C =

+ C:

(x ¡ a)n

¡n + 1

(1 ¡ n)(x ¡ a)n¡1

3. Z

Mx + N

dx = Z

M2 (2x + p) + N ¡ Mp2

(2x + p)dx

µN ¡

¶Z

x2 + px + q

dx =

x2 + px + q

(x + p2 )2 + q ¡

M d(x2 + px + q)

d(x + p )

ln(x2 + px + q) +

arctg

2x + p

+ C:

x + px + q

¡ 2

¶Z (x + 2 )2 + q

¡ 2

4. Сделаем замену переменной, положив x +

= t, откуда dx = dt и x

+ px + q = (x +

)

+ q

¡ 4

= t

+ a

, где

a2 = q ¡

: Тогда

(Mx + N)dx

M(x + p2 ) + N ¡ Mp2

tdt

+ µN ¡

¶Z

= MI0 + µN ¡

¶In:

= Z

dx = M Z

(x2 + px + q)n

((x + p2 )2 + q ¡ p42 )n

(t2 + a2)n

Но

I0 = Z

tdt

Z (t2 + a2)¡nd(t2

+ a2) =

+ C:

(t2 + a2)n

2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1

(t2 + a2) ¡ t2

dt =

t2dt

(t2 + a2)n

a2 Z

a2 µZ

(t2 + a2)n¡1

¡ Z

(t2 + a2)n

Замечая, что R

(t2 + a2)n

= In¡1, получаем

(t2+a2)n¡1

µIn¡1 ¡ Z

2dt

¶:

In =

(3.8)

(t2 + a2)n

6.3. Интегрирование рациональных функций.

Для вычисления интеграла R

2dt

воспользуемся методом интегрирования по частям

(t2+a2)n

t2dt

= Z t ¢

tdt

= Z t ¢ d

¶ =

(t2 + a2)n

2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1

In¡1

2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1

2(1 ¡ n)

(t2 + a2)n¡1

2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1

2(1 ¡ n)

Подставляя найденные выражения в формулу (3.8), имеем

I =

2n ¡ 3

(3.9)

¡ 2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1

a2 µ2n ¡ 2 n¡1

Формула (3.9) называется рекуррентной.

Например, зная табличный интеграл

I1 = Z

arctg

+ C;

t2 + a2

по формуле (3.9) можно найти интеграл I2 = R

и т.д. Действительно

(t2+a2)2

I2 = Z

¶ =

arctg

+ C:

(t2 + a2)2

t2 + a2

2(t2 + a2)

2a2(t2 + a2)

2a3

Пример 3.

x2dx

(2x + 2)dx

= Z

x3 ¡ 8

(x ¡ 2)(x2 + 2x + 4)

x ¡ 2

x2 + 2x + 4

C(x3 ¡ 8):

= 3 ln jx ¡ 2j + 3

d(x2 + 2x + 4

= 3 ln jx ¡ 2j + 3 ln(x2 + 2x + 4) + 3 ln C = ln

x2 + 2x + 4) 1

Замечание 1. При вычислении интегралов не всегда нужно прибегать к готовой схеме. В частности, в примере 3,

достаточно заметить, что x2dx = 31 d(x3 ¡ 8), тогда

3 ln jx3 ¡ 8j +

3 ln C = ln 3

¡ 8):

8 =

Z d(x3

¡8 =

C(x3

x2dx

6.3.3.Метод Остроградского.

Лемма 3. Неопределенный интеграл R

P (x) dx от правильной рациональной дроби							P (x)	есть сумма
Q(x)							Q(x)
	P (x)		P ¤(x)	+ Z	P ¤¤(x)
		dx =				dx; 8 x 2 X;		(3.10)
	Q(x)		Q¤(x)		Q¤¤(x)

где правильная рациональная дробь P (x)		имеет вид (3.7),		P ¤(x)	– правильная рациональная дробь со знаменателем
	Q(x)			Q¤(x)
		r	s
		iY	Y	(x2 + pix + qi)¯s¡1; 8 x 2 X;
	Q¤(x) =	(x ¡ ai)®i¡1		(x2 + pix + qi)¯s¡1; 8 x 2 X;		(3.11)
		=1	i=1
P ¤¤(x)	– правильная рациональная дробь со знаменателем
Q¤¤(x)
		r	s
		iY	Y
	Q¤¤(x) = (x ¡ ai)			(x2 + pix + qi); 8 x 2 X:		(3.12)
		=1	i=1

Формула (3.10) называется формулой Остроградского интегрирования правильной рациональной дроби. Её справедливость следует из теоремы 4 и результатов интегрирования простейших дробей.

Изложим суть метода Остроградского в предположении, что известно разложение знаменателя Q(x) данной пра-

вильной рациональной дроби P (x) на множители

Q(x)

r	s
iY	Y
Q(x) =	(x ¡ ai)®i (x2 + pix + qi)¯s ; pi2 ¡ 4qi < 0; i =	1; s; 8 x 2 X:	(3.13)
=1	i=1

Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной.

Неопределенный интеграл.

На основании разложения (3.13) по формуле (3.11) составляем полином Q¤(x). Поскольку дробь QP ¤¤((xx)) - правильная, то полином P ¤(x) задаем с помощью неопределенных коэффициентов, считая его степень меньшей степени полинома Q¤(x) на единицу, то есть

deg P ¤(x) = deg Q¤(x) ¡ 1:

На основании разложения (3.13) по формуле (3.12) составляем полином Q¤¤(x). Поскольку дробь QP ¤¤¤¤((xx)) правильная, то полином P ¤¤(x) задаем с помощью неопределенных коэффициентов, считая его степень равной

deg P ¤¤(x) = deg Q¤¤(x) ¡ 1:

Теперь записываем формулу Остроградского (3.10) с неизвестными коэффициентами у полиномов P ¤(x) и P ¤¤(x). Для получения системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов дифференцируем левую и правую

части равенства (3.10)		= µ		¶
	P (x)		P ¤(x)		0	+	P ¤¤(x)	; 8 x 2 X:	(3.14)
	Q(x)		Q¤(x)			+	Q¤¤(x)	; 8 x 2 X:	(3.14)

Приводим правую часть тождества (3.14) к общему знаменателю Q(x), а затем приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x числителя.

Пример 4. Найти R	x+2	dx.
Пример 4. Найти R	(x2+x+1)3	dx.
Решение. По формуле Остроградского								+ Z		x2 + x + 1dx:
	Z	(x2 + x + 1)3 dx =	3				(x2 + x + 1)2	+ Z		x2 + x + 1dx:
		x + 2		A		x3	+ A2x2 + A1x + A0			Bx + C
Дифференцированием левой и правой частей устанавливаем, что								¶	+ x2 + x + 1:
		(x2 + x + 1)3 = µ	3				(x2 + x + 1)2	¶	+ x2 + x + 1:
		x + 2	A		x3		+ A2x2 + A1x + A0		0	Bx + C

Выполнив дифференцирование рациональной функции и приведя правую часть полученного равенства и общему знаменателю, получим

x+2 = Bx5 +(¡A3 +2B+C)x4 +(A3 ¡2A2 +3B+2C)x3 +(3A3 ¡3A1 +2B+3C)x2 +(2A2 ¡A1 ¡4A0 +B+2C)x+A1 ¡2A0 +C:

Отсюда A3 = 1; A2 = 3 ; A1

= 2; A0 = 1 ; B = 0; C = 1:

В итоге

x + 2

2x3 + 3x2 + 4x + 1

+ Z

2x3 + 3x2 + 4x + 1

3(2x + 1)

dx =

arctg

(x2 + x + 1)3

2(x2 + x + 1)2

x2 + x + 1

2(x2 + x + 1)2

Пример 5.

(x ¡ 1)(x2

¡ 2x + 2)3

(x2 ¡ 2x + 2)2

µx ¡ 1

¡ 2x + 2

¡ 2x3 + 12x2 ¡ 20x + 10

dx =

A3x3

+ A2x2 + A1x + A0

Cx + D

2(x2 ¡ 2x + 2)2

x ¡ 1

x2 ¡ 2x + 2

2x3 ¡ 6x2 + 8x ¡ 9

(¡x + 2)dx

§6.4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

6.4.1.Рациональные функции.

Условиями через R(u; v; w; : : :) обозначать рациональную функцию относительно u; v; w; : : : ; т.е. выражение, которое

получено из любых величин u; v;

w; : : : ; а также действительных чисел с помощью четырех арифметических операций.

Например,

R(u; v) =

¡3v

- рациональная функция относительно

;

R(x; px; p3 x) =

- рацио-

6uv+v

2 cos2 x

x¡ x+

px; p3 x; R(sin x; cos x) =

нальная функция относительно x;

sin2 ¡

- рациональная функция относительно sin x

и cos x.

3 sin x+cos x+1

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.04.2019329.73 Кб1703020202.doc
#
23.09.2019241.66 Кб6049927_842FB_shpory_po_politologii.doc
#
18.02.2016703.49 Кб1004_Кодекс Республики Беларусь о браке и семье.doc
#
18.02.2016214.68 Кб905_differentsiruemost.pdf
#
18.02.201675.78 Кб1305_Закон О ПРАВАХ РЕБЕНКА.doc
#
18.02.2016406.62 Кб906_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.02.2016337.62 Кб40910976_ED003_shpory_po_istorii_belarusi (2).docx
#
18.02.201661.8 Кб261 (1).docx
#
18.02.2016454.14 Кб71 задание.doc
#
24.09.2019263.13 Кб61-10+21-26+70-78.docx
#
26.04.201977.05 Кб51-12, кроме 3,9.docx