06_Неопределенный интеграл

6.4.2.Интегралы вида R R(sin x; cos x)dx.

при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно преобразовать подынтегральное выражение, использовав тригонометрические формулы, применить методы "подведения" множителя под знак дифференциала, замены переменной или интегрированием по частям.

Заметим, что в интегральном исчислении нет общих правил. Интегрирование может быть выполнено не единственным способом. Но даже и тогда, когда имеется теоретическое правило вычисления интеграла, оно может оказаться далеко не лучшим.

Для вычисления интегралов вида (4.15) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке t = tg(x=2). Этой подстановкой интеграл вида (4.15) преобразуется в интеграл от рациональной функции переменной t, который, как было показано, всегда выражается в элементарных функциях.

Действительно, пусть t = tg(x=2). Тогда

Хотя универсальная подстановка всегда позволяет вычислить интегралы вида (4.15), однако ее используют сравнительно редко, так как она часто приводит к интегрированию громоздких рациональных дробей. Поэтому в ряде случаев более удобно использовать частные подстановки.

10. Если подынтегральная функция нечетна относительно sin x, то есть R(¡ sin x; cos x) = ¡R(sin x; cos x), то применяется подстановка cos(x) = t.

20. Если подынтегральная функция нечетна относительно cos x, то есть R(sin x; ¡ cos x) = ¡R(sin x; cos x), то использовать подстановку sin x = t.

30. Если подынтегральная функция четна относительно sin x и cos x, то есть R(¡ sin x; ¡ cos x) = R(sin x; cos x), то применяется подстановка tg x = t.

6.4.3. Интегралы вида R sinn x cosm x dx; n; m 2 Z; n > 0; m > 0.

Если хотя бы одно из чисел n или m - нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы sin2 x+cos2 x = 1 оставшуюся четную степень через кофункцию, приходим к табличному интегралу.

Если же m и n - четные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул

Последний интеграл при n > 2 является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляются по

6.4.5. Интегралы вида R sin(mx) cos(nx) dx; R sin(mx) sin(nx) dx; R cos(mx) cos(nx) dx; m; n 2 R:

Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам

Они вычисляются подстановкой x = ts, где s - общий знаменатель дробей m1 , m2 ; : : : При такой замене переменной

интеграл приводится к рациональной функции от переменной t.

n1 n2

Пример 1.

где x = t6; dx = 6t5dt:

Полученный интеграл можно вычислить с помощью универсальной подстановки tg x2 = z, но она приведёт к интегрированию громоздкой рациональной дроби. Гораздо проще проинтегрировать исходную функцию по частям.

Пример 6.

Заметим, что подстановки Эйлера имеют скорее теоретическое, чем практическое значение. Их применение часто приводит к громоздким вычислениям.

6.5.5. Интегралы вида R xm(a + bxn)p dx; m; n; p 2 Q; a; b 2 R.

Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома xm(a + bxn)p dx выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:

10. Если p 2 Z, то применяется подстановка x = ts, где s - общий знаменатель дробей m и n; 20. Если mn+1 2 Z, то применяется подстановка a + bxn = ts, где s - знаменатель дроби p = ks ;

30. Если mn+1 + p 2 Z, то применяется подстановка ax¡n + b = ts, где s - знаменатель дроби p.

Во всех остальных случаях, как было показано П.Л. Чебышевым, интегралы от дифференциального бинома не выражаются через элементарные функции.

Так как p = 13 2= Z, но mn+1 = 2 2 Z, то применим подстановку 1+x1=4 = t3. Тогда x = (t3 ¡1)4, dx = 4(t3 ¡1)3 ¢3¢t2dt,