05_differentsiruemost

Г Л А В А 5

Дифференцируемость функции.

§5.1. Дифференцируемость функции в точке.

5.1.1.Основные определения.

Определение 1. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 R и пусть x – произвольная точка этой окрестности. Если отношение

f(x) − f(x0)

x − x0

имеет предел при x → x0, то этот предел называется производной функции f(x) в точке x0, и обозначается f′(x0):

Если ввести обозначения x−x0 = x, f(x0+ x)−f(x0) = y, то получаем еще одну запись определения производной:

то говорят, что при x = x0 существует бесконечная производная или соответственно бесконечная производная определенного знака, равная −∞ или +∞.

В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать всегда наличие конечной производной, если не оговорено противное.

Определение 2. Если функция f(x) определена в некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности точки x0 и существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

то он называется соответственно конечной или бесконечной правой (левой) производной функции f(x) в точке x и

( ) 0

обозначается f+′ (x0) f−′ (x0) .

Правая и левая производные называются односторонними производными.

Из теоремы об односторонних пределах следует, что функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки x0, имеет производную f′(x0) тогда и только тогда, когда f+′ (x0) и f−′ (x0) существуют и f+′ (x0) = f−′ (x0). В этом случае f′(x0) = f+′ (x0) = f−′ (x0).

Если функция f(x) определена на некотором промежутке и в каждой его точке существует производная (причем под производной в конце этого промежутка, который принадлежит промежутку, понимается соответствующая односторонняя производная), то она также является функцией, определенной на данном промежутке, ее обозначают f′(x).

Пример 1. Найти производную функции y = x3.

Решение. Поскольку

т.е (x3)′ = 3x2.

Определение 3. Функция y = f(x), определенная в некоторой окрестности V (x0) точки x0 R, называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение в этой точке , т.е.

y = f(x0 + x) − f(x0), x0 + x V (x0)

представимо в виде

y = A · x + o( x), x → 0,

где A некоторая постоянная.

Линейная функция A·x (от переменной x) называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается df(x0), или dy. Таким образом dy = A · x и y = dy + o( x), x → 0.

Для большей симметрии записи дифференциала приращение x обозначают dx и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом, дифференциал можно записать в виде

dy = A · dx.

Теорема 1. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в некоторой точке x0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом dy = f′(x0) dx.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x0, т.е y = A · x + o( x), x → 0. Тогда

Поэтому производная f′(x0) существует и равна A. Отсюда dy = f′(x0) dx. Достаточность. Пусть существует производная f′(x0), т.е. существует предел

lim y = f′(x0).

x→0 x

Тогда

y = f′(x0) + o( x), x → 0,

x

и, следовательно имеет место равенство:

y = f′(x0) x + o( x) · x, x → 0,

или

y = f′(x0) x + o( x), x → 0.

Таким образом, дифференцируемость функции f(x) в точке x0 равносильна существованию в этой точке конечной производной f′(x0).

Из доказанного следует, что коэффициент A в определении дифференциала определен однозначно, а именно A = f′(x0); тем самым и дифференциал функции в данной точке определен однозначно.

Теорема 2. Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке x0, т.е

y = A · x + o( x), x → 0.

что и означает непрерывность функции f(x) в точке x0.

Следствие 1. Если функция в некоторой точке имеет производную, то она и непрерывна в этой точке.

Обратим внимание на то, если функция в точке имеет бесконечную производную, то она может быть разрывной в этой точке.

Заметим, что утверждение, обратное теореме 2, неверно, т.е. из непрерывности функции f(x) в данной точке не следует ее дифференцируемость.

5.1.2. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Рассмотрим задачу о проведении касательной к произвольной плоской кривой. Пусть L – дуга плоской кривой, M0 – точка этой кривой, M0M – секущая. Если точка M движется по кривой к точке M0, то секущая поворачивается вокруг точки M0 и стремится к некоторому предельному положению M0T .

Определение 4. Касательной к кривой L в точке M0 называется прямая M0T , которая представляет собой предельное положение секущей M0M при стремлении по кривой точки M к точке M0.

Если предельного положения секущей не существует, то говорят, что в точке M0 провести касательную нельзя. Это бывает в случае, когда точка M0 является точкой излома или заострения кривой.

Пусть кривая L является графиком функции f(x) и точка M0(x0, f(x0)) L. Предположим, что касательная к

т.е. если кривая L является графиком функции f(x), то из равенства (1.2) следует геометрический смысл производной:

производная от функции f(x) при x = x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x0.

Тогда уравнение касательной

y − f(x0) = f′(x0)(x − x0)

или

Заметим, что в правой части уравнения (1.3) стоит дифференциал, поэтому геометрический смысл дифференциала состоит в следующем: дифференциал - это приращение ординаты касательной.

5.1.3. Механический смысл производной.

Рассмотрим функцию y = f(x), определенную и непрерывную в некоторой окрестности точки x0. Если аргумент x0 функции получает приращение x (положительное или отрицательное), такое, что x0 + x принадлежит той же окрестности точки x0, то соответствующее приращение функции f(x0) = f(x0 + x) − f(x0), средняя скорость изменения

функции vср = f(x0) , а мгновенная скорость ее изменения

x

v = lim f(x0) = f′(x0).

x→0 x

В этом состоит механический смысл производной, т.е. производная - математическая модель мгновенной скорости процесса, описываемого функцией f(x). В зависимости от содержательной сущности функции можно получить широкий круг математических моделей скорости протекания процессов. Рассмотрим некоторые из них.

1. Пусть материальная точка M движется неравномерно и y = s(t) – функция, устанавливающая зависимость пути от времени t. Тогда мгновенная скорость движения в момент времени t0 есть производная от пути s по времени t:

2. Пусть y = v(t) - функция, описывающая процесс изменения скорости неравномерного движения в зависимости от времени t. Тогда мгновенное ускорение материальной точки в фиксированный момент времени t0 есть производная от

3. Пусть y = Q(t) - функция, описывающая процесс изменения количества теплоты, сообщаемой телу при нагревании его до температуры T . Тогда теплоемкость тела есть производная от количества теплоты Q по температуре T :

4. Пусть y = (t) - функция, описывающая процесс изменения магнитного потока в зависимости от времени t. Тогда мгновенное значение электродвижущей силы индукции равно скорости изменения магнитного потока, т.е. производной от магнитного потока по времени t:

§5.2. Правила дифференцирования функции.

5.2.1.Дифференцирование и арифметические операции.

Теорема 3. Если функции f : X → R, g : X → R дифференцируемы в точке x X, то а) их сумма дифференцируема в x, причем

(f + g)′(x) = (f′ + g′)(x);

б) их произведение дифференцируемо в x, причем

(f · g)′(x) = f′(x)g(x) + f(x)g′(x);

в) их отношение дифференцируемо в x, если g(x) ≠ 0, причем

(f )′ (x) = f′(x)g(x) − f(x)g′(x) . g g2(x)

Доказательство. Обозначим x(= h. Тогда ) ( ) ( ) ( )

а) (f + g)(x + h) − (f + g)(x) = f(x + h) + g(x + h) − f(x) + g(x) = f(x + h) − f(x) + g(x + h) − g(x) =

( ) ( ) ( )

= f′(x)h + o(h) + g′(x)h + o(h) = f′(x) + g′(x) h + o(h) + o(h) = (f′ + g′)(x)h + o(h);

( ) ( )

б) (f · g)(x + h) − (f · g)(x) = f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x) = f(x + h) − f(x) g(x + h) + f(x) g(x + h) − g(x) =

( )( ) ( )

= f′(x)h + o(h) g(x) + g′(x)h + o(h) + f(x) g′(x)h + o(h) = f′(x)g(x)h + f(x)g′(x)h + o(h) =

()

=f′(x)g(x) + f(x)g′(x) h + o(h);

в) Поскольку функция, дифференцируемая в некоторой точке x X, непрерывна в этой точке, то, учитывая, что g(x) ≠ 0, на основании свойств непрерывных функций можем гарантировать, что при достаточно малых значениях h

Следствие 1. Производная от линейной комбинации дифференцируемых функций равна линейной комбинации производных этих функций.

Следствие 2. Если функции f1(x), f2(x), . . . , fn(x) дифференцируемы в точке x, то.

(f1 · f2 · . . . · fn)′(x) = f1′(x) · f2(x) · . . . · fn(x) + f1(x) · f2′(x) · . . . · fn(x) + . . . + f1(x) · f2(x) · . . . · fn′ (x).

Следствие 3. Из взаимосвязи производной и дифференциала следует, что теорема 3 может быть записана также через дифференциалы, т.е.

а) d(f + g)(x) = df(x) + dg(x);

в) d((f ·)g)(x) = g(x) · df(x) + f(x) · dg(x); с) d fg (x) =