05_differentsiruemost

Функция f(x) называется n раз дифференцируемой в точке x X, если в этой точке у нее существуют все производные до n-го порядка включительно.

Если f(x) дифференцируема n раз в каждой точке x X и f(n)(x) является непрерывной функцией на X, то f(x) называется n раз непрерывно дифференцируемой функцией или функцией класса C(n)[X]. Множество непрерывных функций, определенных на X, обозначается C[X]. Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой.

Пример 1. Найти производную n-го порядка функции f(x) = sin x.

f′′(x) = (−2) · (4x + 3)−3 · 4,

f′′′(x) = (−2) · (−3) · (4x + 3)−4 · 42 = (−1)2 · 3! · (4x + 3)−4 · 42,

· · ·

f(n)(x) = (−1)n−1 · n! · 4n−1 · (4x + 3)−n−1.

Пример 3. Пусть y = f(x) - взаимно однозначная функция, для которой f′(x) ≠ 0. Вычислить вторую производную для обратной функции f−1.

5.3.2.Высшие производные параметрически заданных функций.

Пусть зависимость y от x задана через параметр t: x = φ(t), y = ψ(t), t T . Для нахождения второй производной параметрически заданной функции воспользуемся формулой первой производной. Тогда получаем новую параметрически заданную функцию

5.3.4. Дифференциалы высших порядков.

Пусть функция f : X → Y дифференцируема и df = f′(x)dx - ее дифференциал. Дифференциалом второго по-

( )

рядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка, который обозначается d2f, то есть d2f = d df .

()

Дифференциал n-го порядка есть dnf = d dn−1f .

Если x – независимая переменная, а dx – постоянная (не зависит от x) и функция f имеет n производных, то, учитывая, что

(dx)′ = (dx)′′ = . . . = (dx)(n) = 0,

последовательно находим:

df = f′(x)dx,

( ) ( )′

d2f = d f′(x)dx = f′(x)dx dx = f′′(x)(dx)2 = f′′(x)dx2

· · ·

( )

dnf = d f(n−1)(x)dxn−1 = f(n)(x)dxn.

дифференциалы более высокого порядка в этом случае инвариантностью не обладают. В самом деле, если x - независимая переменная, то

d2f = fxx′′ dx2.

Если же f = f(x), x = φ(t), то

( ) ( )

d2f = d df = d fx′ dx = dfx′ · dx + fx′ · d(dx) = fxx′′ dx2 + fx′ d2x,

что не совпадает с полученной выше формулой для d2f в случае независимой переменной.

§5.4. Основные теоремы дифференциального исчисления.

5.4.1.Теорема Ферма.

Определение 1. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0. Тогда x0 называется точкой локаль-

ного максимума (минимума) функции f(x), а значение в ней локальным максимумом (минимумом), если существует

( )

окрестность V (x0) точки x0, такая, что x V (x0) имеем f(x) 6 f(x0) f(x) > f(x0) .

Определение 2. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки x0. Тогда x0 называется точкой строгого

Определение 3. Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения функции в них - локальными экстремумами функции.

Для этой функции

x = −1 – точка строгого локального максимума; x = 0 – точка строгого локального минимума; x = 2 – точка локального максимума;

x > 2 – точки экстремума, являющиеся одновременно точками и локального максимума, и локального минимума, поскольку здесь функция локально постоянна.

Заметим, что если x0 точка строгого локального экстремума функции f(x), то приращение

сохраняет знак.

14 Глава 5. Дифференцируемость функции.

Теорема 6 (Ферма). Пусть функция f(x) определена на интервале (a; b) и в некоторой точке x0 (a; b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке x0 существует конечная производная f′(x0), то f′(x0) = 0.

Эти неравенства имеют место одновременно лишь при f+′ (x0) = f−′ (x0) = f′(x0) = 0.

Замечание 1. Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в следующем: если точка x0 (a; b) является точкой

максимума или минимума функции и существует f′(x ), то касательная, проведенная к графику функции в точке

( ) 0 x0; f(x0) параллельна оси Ox.

Замечание 2. Оба условия – интервал (a; b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны для справедливости теоремы Ферма. Действительно, пусть f(x) = |x|, x (−1; 1). В точке x0 = 0 функция f(x) имеет локальный минимум, но в ней она не дифференцируема. В данном случае условие существования производной в точке локального минимума нарушено и поэтому теорема Ферма не имеет места.

Пусть теперь f(x) = x3, x [−1; 1]. В точке x0 = 1 имеется краевой максимум, но f′(1) = 3 ≠ 0. Теорема Ферма не применима в данном случае, поскольку x = 1 / (−1; 1).

5.4.2. Теорема Ролля.

Теорема 7. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема в каждой точке интервала (a; b) и f(a) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка ξ, a < ξ < b, такая, что f′(ξ) = 0.

Доказательство. Если f(x) – постоянная на [a; b], то f′(x) = 0, x (a; b).

Пусть теперь f(x) не является постоянной функцией. Непрерывная на отрезке [a; b] функция по теореме Вейерштрасса достигает в некоторых точках отрезка [a; b] наибольшего и наименьшего значений. Поскольку f(x) не является

По теореме Ферма f′(ξ) = 0.

Замечание 3. Геометрический смысл теоремы Ролля следующий: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a; b]

Следствие 1 (Обобщенная теорема Ролля). Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема на отрезке [a; b]

Доказательство. Для простоты рассуждений ограничимся случаем n = 2, т.е. функция f(x) обращается в нуль в точках x0, x1, x2. Для определенности будем считать, что x0 < x1 < x2. Так как f(x0) = f(x1) = f(x2) = 0, то по теореме

Ролля существует ξ1 (x0; x1), что f′(ξ1) = 0, и существует, ξ2 (x1; x2), что f′(ξ2) = 0. Итак, на концах отрезка [ξ1; ξ2] выполнено условие f′(ξ1) = f′(ξ2) = 0. По теореме Ролля на отрезке [ξ1; ξ2] существует точка ξ в которой f′′(ξ) = 0.

5.4.3. Теорема Лагранжа.

Теорема 8. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), то существует по крайней мере одна точка ξ (a; b), такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

( )

φ(x) = (b − a)f(x) − f(b) − f(a) x.

Покажем, что функция φ(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно: 1) φ(x) непрерывна на [a; b], так как является суммой непрерывных на [a; b] функций; 2) φ(x) дифференцируема на (a; b), так как является суммой дифференцируемых на (a; b) функций; 3) φ(a) = φ(b) = bf(a) − af(b). Итак, φ(x) удовлетворяет условиям теоремы

Ролля, причем

( )

φ′(x) = (b − a)f′(x) − f(b) − f(a) .

По теореме Ролля существует точка ξ (a; b), такая, что φ′(ξ) = 0, т.е.

Равенство (4.10) называется формулой конечных приращений или формулой Лагранжа. Ее часто записывают в виде

()

f(b) − f(a) = f′ a + θ · (b − a) (b − a), 0 < θ < 1,

где θ – некоторое число, при котором a + θ · (b − a) = ξ.

Если принять a = x0, x − x0 = x, то формулу Лагранжа можно переписать следующим образом

Теорема Лагранжа имеет следующий геометрический смысл: на интервале (a; b) существует точка ξ, такая, что

( )

касательная к графику функции f(x) в точке ξ, f(ξ) параллельна секущей, проходящей через точки A и B.

Приведем некоторые следствия из теоремы Лагранжа.

Следствие 2 (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (a; b). Если f′(x) = 0, x (a; b), то функция f(x) постоянна на [a; b].

Доказательство. Пусть x0 – произвольная фиксированная точка из интервала (a; b), а x – любая точка этого интервала. К отрезку [x0; x] применим теорему Лагранжа для функции f(x): f(x) − f(x0) = f′(ξ)(x − x0) = 0, так как f′(ξ) = 0 в силу условия. Таким образом, f(x) = f(x0), x (a; b), т. е. f(x) – постоянная.

Следствие 3. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a; b], дифференцируема на (a; b) и f′(x) = g′(x), x (a; b). Тогда f(x) − g(x) = C, где C – постоянная.

Для доказательства достаточно применить к функции f(x) − g(x) следствие 2.

Следствие 4 (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на (a; b). Тогда, если f′(x) > 0, x (a; b), то f(x) строго монотонно возрастает на интервале (a; b). Если же f′(x) < 0, x (a; b), то f(x) строго монотонно убывает на (a; b).

Доказательство. Пусть f′(x) > 0, x (a; b), и x1 < x2, где x1 и x2 произвольные точки интервала (a; b). По теореме Лагранжа

f(x1) − f(x2) = f′(ξ)(x1 − x2), ξ (x1, x2).

Так как f′(ξ) > 0, x1 − x2 < 0, то f′(ξ)(x1 − x2) < 0. Тогда имеем f(x1) − f(x2) < 0 или f(x1) < f(x2), т.е. при 0 < f′(x) функция f(x) строго монотонно возрастает на (a; b).

Случай f′(x) < 0 рассматривается аналогично.

5.4.4.Теорема Коши.

Обобщением теоремы Лагранжа является теорема Коши.

Теорема 9. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:

1)непрерывны на отрезке [a; b];

2)дифференцируемы в интервале (a; b), причем g′(x) ≠ 0, x (a; b). Тогда существует по крайней мере одна точка ξ (a; b) такая, что

Доказательство. Составим вспомогательную функцию

Заметим, что g(b) ≠ g(a). Действительно, если бы g(b) = g(a), то для функции g(x) на отрезке [a; b] были бы выполнены все условия теоремы Ролля, и по этой теореме внутри отрезка [a; b] нашлась бы по крайней мере одна точка ξ, для которой g′(ξ) = 0, что противоречит условию теоремы. Следовательно g(b) ≠ g(a).

Покажем, что вспомогательная функция φ(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Действительно: 1) φ(x) непрерывна на [a; b] как сумма непрерывных на [a; b] функций; 2) φ(x) дифференцируема на интервале (a; b) как сумма дифференцируемых на (a; b) функций; 3) φ(a) = 0, φ(b) = 0 поэтому и φ(a) = φ(b).

Найдем

φ′(x) = f′(x) − f(b) − f(a) · g′(x), x (a; b). g(b) − g(a)

По теореме Ролля существует точка ξ (a; b) такая, что φ′(ξ) = 0, поэтому

Легко видеть, что если положить в формуле (4.11) g(x) = x, то все условия теоремы Коши будут выполнены, и формула Коши (4.11) перейдет в формулу Лагранжа (4.10). Таким образом, теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши.

5.4.5.Правило Лопиталя.

Остановимся на одном частном, но полезном приеме отыскания предела отношения функций, известном как правило Лопиталя.

Теорема 10 (Неопределенность вида 00 ).

Пусть:

1) функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

3) в промежутке (a; b] существуют конечные производные f′(x) и g′(x), причем g′(x) ≠ 0;

f′(x)

4) существует (конечный или бесконечный) предел lim ′ = K.

x→a+0 g (x)

Доказательство. Дополним определения функций f(x) и g(x), положив их при x = a равными нулю: f(a) = g(a) = 0. Тогда эти функции окажутся непрерывными во всем замкнутом промежутке [a; b]; их значения в точке a совпадают с пределами при x → a, а в прочих точках непрерывность вытекает из существования конечных производных. Применяя теорему Коши, получим

где a < c < x. То обстоятельство, что g(x) ≠ 0, т.е. g(x) ≠ g(a) есть следствие предложения g′(x) ≠ 0. Когда x → a, очевидно, и c → a, так что, в силу условия 4)

Таким образом, доказанная теорема сводит предел отношения функций к пределу отношения производных, если последний существует. Часто оказывается, что нахождение предела отношения производных проще и может быть осуществлено элементарными приемами.

Теорема 11 (Неопределенность вида ∞∞).

Пусть:

1)функции f(x) и g(x) определены в промежутке (a; b];

2)lim f(x) = +∞, lim g(x) = +∞;

Доказательство. Рассмотрим сначала случай конечного K.

Так как производная g′(x) не обращается в нуль, то она сохраняет знак, и функция g(x) изменяется монотонно. Из условия 2) тогда ясно, что g′(x) < 0 так как g(x) с убыванием x монотонно возрастая стремится к +∞. Можно считать, что всегда g(x) > 0.

x → a, первое слагаемое при этом стремится к нулю, и найдется такое δ > 0 (можно считать δ < η), что для a < x < a+δ первое слагаемое тоже станет меньше ε/2. Для указанных значений x будем иметь тогда

Так как (по крайней мере вблизи a), очевидно, и f(x) > 0 и g(x) > 0.

Отметим, что доказательство без существенных изменений распространяется и на случай a = −∞. Приведем несколько примеров раскрытия неопределенностей различного типа с помощью правила Лопиталя.