05_differentsiruemost

§5.5. Исследование поведения функций.

5.5.1.Условия монотонности функции.

Теорема 13. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (a; b) функция f(x) возрастала (убывала) необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной, т. е. f′(x) > 0 (неположительной, f′(x) 6 0).

Доказательство.

Необходимость. Если функция f(x) возрастает на (a; b), то для любой точки x0 (a; b) при x > 0 имеемy = f(x0 + x) − f(x0) > 0. Поэтому xy > 0 и переходя к пределу при x → 0, получим f′(x) > 0.

Достаточность. Пусть a < x1 < x2 < b. Тогда, по формуле Лагранжа f(x2) − f(x1) = f′(ξ)(x2 − x1), где x1 < x2. Так как x2 − x1 > 0, то при f′(x) > 0 на (a; b) (откуда следует, что, в частности, f′(ξ) > 0) будем иметь f(x1) 6 f(x2) т. е. функция f(x) возрастает.

Отметим, что условия f′(x) > 0 и f′(x) < 0 (следствие 4 из теоремы Лагранжа) не являются необходимыми для строгого возрастания (строгого убывания) дифференцируемой на интервале функции, что показывают примеры функций y = x3 и y = −x3. Первая из них строго возрастает, а вторая строго убывает на всей числовой оси, но при x = 0 их производные обращаются в нуль.

Следствие 1. Если функция непрерывна на некотором интервале и имеет всюду в нём положительную (отрицательную) производную, кроме, быть может, конечного числа точек, в которых производная обращается в нуль или не существует, то функция строго возрастает (строго убывает).

Доказательство непосредственно следует из теоремы 13: достаточно её последовательно применить ко всем промежуткам, на которые разбивается заданный интервал указанным конечным множеством точек.

5.5.2.Необходимые и достаточные условия экстремума.

Теорема 14. Пусть x0 является точкой экстремума функции f(x), определённой в некоторой окрестности точки x0. Тогда либо производная f′(x0) не существует, либо f′(x0) = 0.

Доказательство. Действительно, если x0 является точкой экстремума для функции f(x), то найдётся такая окрестность V (x0), что значение функции f(x) в точке x0 будет наибольшим, или наименьшим на этой окрестности. Поэтому если в точке x0 существует производная, то она, согласно теореме Ферма равна нулю.

Геометрический смысл теоремы 14 заключается в следующем: в точках экстремума функции f(x) касательная к её графику параллельна оси абсцисс, если существует f′(x0) = 0; параллельна оси ординат, если f′(x0) бесконечна; существуют не совпадающие левая и правая касательные, если f′(x0 − 0) ≠ f′(x0 + 0).

Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, или не существует, называют критическими. Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, называют стационарными.

Теорема 15 (Первый достаточный признак существования экстремума функции).

Пусть x0 - критическая точка непрерывной функции f(x). Если f′(x) при переходе через точку x0 меняет знак с «+» на «-», то x0 - точка локального максимума; если f′(x) при переходе через точку x0 меняет знак с «-» на «+», то x0 - точка локального минимума; если f′(x) при переходе через точку x0 не меняет знак, то x0 не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть x0 - критическая точка, причём f′(x) > 0, для всех x V_ (x0 − 0) и f′(x) < 0, для всех

т. е. точка x0 является точкой локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального минимума.

Если f′(x) сохраняет знак в окрестности точки x0, то в этой окрестности функция монотонна, т. е. x0 не является точкой локального экстремума.

Теорема 16 (Второй достаточный признак существования экстремума функции).

Стационарная точка x0 функции f(x), дважды дифференцируемой в V (x0), является точкой локального минимума если f′′(x0) > 0, и точкой локального максимума, если f′′(x0) < 0.

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы и f′′(x0) > 0. Тогда f′(x) в V (x0) возрастает, но f′(x0) = 0, следовательно, в V (x0) f′(x) меняет знак с «-» на «+». Согласно теореме 15, точка x0 является точкой локального минимума функции f(x).

Если f′′(x0) < 0, то f′(x) в V (x0) убывает, но f′(x0) = 0, следовательно, в V (x0) производная функции f′(x) меняет знак с «+» на «-». Тогда, согласно теореме 15, точка x0 является точкой локального максимума функции f(x).

Пример 1. Найти локальные экстремумы функции f(x) = x4 − x2 .

4 2

Решение. Данная функция определена, непрерывна и дважды дифференцируема на R. Определим стационарные точки f(x). Поскольку f′(x) = x3 − x, то

x3 − x = 0 x1 = 0, x2 = −1, x3 = 1.

Найдём значения f′′(−1), f′′(0), f′′(1). Учитывая, что f′′(x) = 3x2 − 1, получаем f′′(0) = −1 < 0, т.е. x1 = 0 – точка локального максимума функции: max f(x) = 0; f′′(−1) = 2 > 0, следовательно x2 = −1 – точка локального минимума

Теорема 17 (Третий достаточный признак существования экстремума функции).

Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема в точке x0 и f′(x0) = f′′(x0) = . . . = f(n−1)(x0) = 0, f(n)(x0) ≠ 0. Тогда:

1)если n - чётное и f(n)(x0) < 0, то x0 - точка локального максимума;

2)если n - чётное и f(n)(x0) > 0, то x0 - точка локального минимума;

3)если n - нечётное, то x0 - не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Разложим функцию f(x) в окрестности точки x0 по формуле Тейлора (n − 1)-го порядка. С учетом условия имеем

В силу непрерывности f(n)(x) в точке x0 в достаточно малой окрестности V (x0) производная f(n)(x) имеет тот же знак, что и f(n)(x0). Рассмотрим возможные случаи:

т. е. при четном n и f(n)(x0) > 0 в точке x0 функция f(x) имеет локальный минимум.

т. е. если n - четное, и f(n)(x0) < 0, то в точке x0 функция имеет локальный максимум.

3. Если же f(n)(x0) ≠ 0 и n - нечетное, то из формулы (5.27) следует, что функция f(x) в точке x0 экстремума не имеет, поскольку f(x0) меняет знак при переходе через точку x0.

5.5.3.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

вают глобальным максимумом и глобальным минимумом соответственно, или просто глобальным экстремумом. Глобальный экстремум непрерывной функции f(x) на отрезке [a; b] существует в силу теоремы Вейерштрасса. Точками глобального экстремума могут быть точки локального экстремума или концы отрезка. Таким образом, получаем правило отыскания глобального экстремума функции на отрезке [a; b];

1)находим критические точки функции на интервале (a; b):

2)вычисляем значения функции f(x) в этих точках и значения f(a) и f(b).

5.5.4.Выпуклость и точки перегиба.

( ) ( )

f x1 + t(x2 − x1) > f(x1) + t · f(x2) − f(x1) , t [0; 1].

Теорема 18. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда для любых x1 и x2 из (a; b) выполнено неравенство

Умножив обе части неравенства (5.30) на t, а неравенства (5.31) на 1−t и сложив получившиеся при этом неравенства,

Отсюда при x = x1 + t(x2 − x1) получим

()

f tx2 + (1 − t)x1 6 tf(x2) + (1 − t)f(x1), t [0; 1],

т.е. (5.28).

Аналогично доказываются необходимые и достаточные условия выпуклости вверх на интервале непрерывно дифференцируемой функции f(x).

Составим уравнение касательной к графику непрерывно дифференцируемой функции f(x) в точке x1:

Y = f(x1) + f′(x1)(x − x1).

Тогда правая часть неравенства (5.29) есть Y (x2) и, значит, f(x2) > Y (x2). Отсюда и из теоремы 18 получаем:

Следствие 2. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда все

Теорема 19 (достаточное условие выпуклости).

Если f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b) и f′′(x) > 0, x (a; b), то на (a; b) функция f(x) выпукла вниз.

Если же f′′(x) < 0, x (a; b), то на (a; b) функция f(x) выпукла вверх.

( )

Доказательство. Пусть x1 - любая точка на (a; b). К графику функции f(x) в точке x1, f(x1) проведём касательную

Y (x) = f(x1) + f′(x1)(x − x1).

Функцию f(x) разложим по формуле Тейлора

f(x) = f(x1) + f′(x1)(x − x1) + f′′(ξ) (x − x1)2, 2!

где ξ (x1; x).

Рассмотрим разность f(x) − Y (x) = 12 f′′(ξ)(x − x1)2, которая представляет собой разность ординат кривой f(x) и касательной Y (x) в точке x. В силу непрерывности f′′(x), если f′′(x1) > 0, то и f′′(ξ) > 0 в достаточно малой окрестности

V (x1) точки x1, а потому и f(x) − Y (x) > 0, x V (x1). Аналогично, если f′′(x1) < 0, то f(x) − Y (x) < 0, x V (x1).

На основании следствия получаем, что в первом случае функция выпукла вниз, во втором - выпукла вверх.

Определение 3. Пусть функция f дифференцируема в точке x0. Точка x0 называется точкой перегиба функции f, если при переходе через точку x0 функция меняет характер выпуклости.

Теорема 20 (необходимое условие точки перегиба). Если функция f(x) имеет непрерывную в точке x0 производную f′′(x) и x0 – точка перегиба, то f′′(x0) = 0.

Доказательство. Если бы в точке перегиба x0 выполнялось неравенство f′′(x0) > 0 или f′′(x0) < 0, то в силу непрерывности f′′(x) существовала бы окрестность точки x0, в которой f′′(x) > 0 или f′′(x) < 0. По теореме 19 в этой окрестности функция была бы выпукла вниз или вверх соответственно, что противоречит наличию перегиба в точке x0.

Из теоремы 20 следует, что точками возможного перегиба функции f(x) могут быть точки x0 в которых f′′(x0) = 0, либо точки, в которых f′′(x) не существует, в частности она бесконечна.

Теорема 21 (первое достаточное условие перегиба). Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки x0 и при переходе через точку x0 производная f′′(x) меняет знак, то точка x0 является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство. Пусть, к примеру, f′′(x) > 0 при x < x0 и f′′(x) < 0 при x > x0. Тогда по теореме 19 функция f(x) выпукла вниз на интервале (x; x0) и выпукла вверх на интервале (x0; x), т.е. x0 – точка перегиба.

Теорема 22 (общее достаточное условие перегиба). Пусть в точке x0 для функции f(x) выполнены условия

f′′(x0) = f′′′(x0) = . . . = f(n−1)(x0) = 0

и в точке x0 существует непрерывная производная f(n)(x0), n > 2, причём f(n)(x0) ≠ 0. Если n – нечётное число, то в точке x0 функция f(x) имеет перегиб.

Доказательство. Разлагая f(x) по формуле Тейлора n − 1-го порядка с учетом условия получаем

где n – нечётное.

В силу непрерывности f(n)(x) в точке x0 существует окрестность этой точки, в которой производная f(n)(x) сохраняет знак, совпадающий со знаком f(n)(x0). Поэтому можем считать, что знаки f(n)(x0) и f(n)(ξ) совпадают. Тогда

из равенства (5.33) получаем, что при переходе x через x слева направо график функции располагается по разные

( ) 0

стороны от касательной, т.е. в точке x0, f(x0) имеется перегиб.

5.5.5.Асимптоты графика функции.

Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из пределов f(x0 +0) или f(x0 − 0) равен ∞.

Прямая y = kx+b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(x) при x → +∞ или x → −∞

Существование асимптоты графика функции означает, что при x → +∞ или x → −∞ функция f(x) отличается от линейной функции y = kx + b на бесконечно малую функцию, или что разность ординат функции f(x) и прямой y = kx + b в точке x стремится к нулю при x → +∞ или x → −∞.

Теорема 23. Для того что бы прямая y = kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при x → +∞ или x → −∞, необходимо и достаточно существование конечных пределов

Достаточность. Пусть существуют пределы (5.35). Тогда из второго равенства получаем f(x)−kx = b+α(x), α(x) → 0, x → +∞, откуда f(x) = kx + b + α(x), т.е. прямая y = kx + b - наклонная асимптота графика функции f(x) при x → +∞.

5.5.6. Построение графика функции.

Из вышеизложенного вытекает следующая схема построения графика функции:

1)находим область определения графика функции;

2)исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность;

3)исследуем функцию на монотонность и экстремум;

4)находим промежутки выпуклости и точки перегиба;

5)отыскиваем асимптоты графика функции;

6)для уточнения хода графика функции находим точки пересечения его с осями координат;

7)по полученным данным строим график функции.

5.6.3. Неравенство Минковского.

Пусть xi > 0, yi > 0, i = 1, n. Тогда

можен лишь в случае коллинеарности векторов (x1, . . . , xn), (y1, . . . , yn).

При n = 3 и p = 2 неравенство Минковского (6.42), очевидно, является неравенством треугольника в трехмерном евклидовом пространстве.