18. Обобщенное правило множителей Лагранжа в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств.

Ф-ей Лагранжа в з.(1), (2) наз. ф-ия

Вектор наз. в-ом множ-лей Лагранжа,-обобщенным в-ом мн-лей Лагранжа.

Т-ма1(обобщ.правило мн.Л.) Пусть точка явл реш-м з.(1),(2), и пусть ф-циинепр-но диф. В окрестности т.,тогда сущ. Такие числа что

Д-во. Т.к. в рав-ах (3) - ЛЗ.Предпол-м прот-ое. Пусть система векторов (4) ЛНЗ.Тогда их кол-во не превосходит размерности пространства, т.е.. Если, то систему в-ов(4) дополним нек-ми векторами так обр., чтобы получ.с-ма в-ов (5)оставалась ЛНЗ. Построим ф-ии, зав-щие от переменныхx и t: ,;.Рассм.

Тогда по т-ме о неявныхдля ф-циях найд. ,для которой вып.усл.1)Т.е. ф-ия удовлетворяет ограничениям з-чи и прит.е. нашли такую ф-юудовл-щую огран-ям з-чи в кот., знач. цел.ф-ии строго<чемтому ,что-явл. реш-м з.(1),(2). Зам1. Поиск точек мин-ма начинается с реш-я с-мы уравн-й относительно -переменной величины, состоящей из урав-й(3) и урав-й из (2).

Если есть решение с-мы(3), тоявл. реш-м ур.(3). Т.е.множ-ли Лагранжа удовл-щие соотнош.(3) опред-ся с точностью до постоянного множителя, поэтому при реш-ии с-мы необ-х условий согласно обобщ-му правилу множ-лей Лагранжа дост-но рассм-ть случаи

19. Классическое правило множителей Лагранжа в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств. Необходимые условия второго порядка в задаче оптимизации типа равенств.

(1) (2)

Опр. Задача (1),(2) наз нормальной в точке , если среди обобщенных векторов множ-лей Л., соотв. в точкенет таких для кот., то векторв таком случае наз. норм-ным.

Опр. Точка наз. обыкновенным планом для задачи (1)-(2), если -ЛНЗ(3). Усл. (3) наз. условием Люстерика.

Т-ма1Оптим. план для з.(1),(2) явл нормальнам тогда и только тогда, когда он обыкновенный.

Д-во:Пусть -оптим. норм. план. Это значит, что сущ. вектораСреди которых Предположим, что при этом не явл. обыкновенным, это означает– ЛЗ.Тогда соотнош.(4) возможно при усл. , что-нормальный план.

Пусть план явл. обыкнов., тогда вектора-ЛНЗ. Планявл. оптимальным, то согласно обобщ-му правилу множ-лей Лагранжа сущ. множитель (,),что вып. рав-во . Предпол., что планне явл. не явл. нормальным. Но в силу того, что среди множ-лей Л. есть не нулевые из (5) следует что градиенты огран-ий ЛЗ, что противоречит обыкновенности плана.

Т-ма2(классич. правило мн. Л.) Пусть оптим. План з-чи (1),(2) и пусть при ,ограничений-ЛНЗ. Тогда сущ. ед-ный в-р множ-лей Л. (), такой, что справедливы рав-ва(6).

Док-во. В усл. т-мы 2 план явл обыкн., след-но по т-ме 1 норм., тогда 1 из усл.(6) есть усл. из обобщ-го правила множлей Л. при условии,. , 2 из (6) совпадает с системой ограничений.

Т-ма3.(необх. Усл. 2-го порядка) Пусть ф-я зад. (1)-(2) дважды непрерывно диф., если т. явл. т. лок. мин-ма этой з-чи и явл. обыкн-й т. с-мы огран-й иесть соотв. В-р множ-лей Л., тогда квадр-я форма, составленная по вторым произ. ф-ции Л. по переменным задачи выполненным в т. не отриц. опред. Для всех в-ров удовл. условиям(7), т.е. для всех в-ров удовл.(7) выполн.(8).