- •Математическое программирование
- •Часть 2
- •30 Мая 2013, протокол № 10
- •Тема 2 транспортная задача линейного программирования (тз) 4
- •Закрытая и открытая модели транспортной задачи
- •2.2 Решение транспортной задачи
- •Алгоритм решения транспортной задачи
- •Нахождение начального опорного плана методом «минимального элемента»
- •Нахождение начального опорного плана методом «северо-западного угла»
- •Нахождение начального опорного плана методом Фогеля
- •Проверка на оптимальность невырожденного опорного плана методом потенциалов
- •Переход к новому опорному плану
- •Цикл пересчета
- •Тема 3 задача о назначениях
- •3.1 Математическая модель задачи о назначениях
- •Закрытая и открытая модели задачи назначениях
- •3.2 Решение задачи о назначениях
- •Алгоритм венгерского метода решения задачи о назначениях
- •Тема 4 динамическое программирование
- •4.1 Задача оптимального распределения ресурсов
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •4.1.11–4.1.16
- •4.2. Задача об оптимальной стратегии замены оборудования
- •I этап. Условная оптимизация.
- •II этап. Безусловная оптимизация.
- •4.2.1–4.2.10
- •Список использованной литературы
- •Математическое программирование
- •220114, Минск, ф.Скорины, 8/2
4.2. Задача об оптимальной стратегии замены оборудования
Известно, что оборудование со временем изнашивается, стареет физически и морально. В процессе эксплуатации падает производительность, и растут эксплуатационные расходы на текущий ремонт. Со временем возникает необходимость замены оборудования, так как его дальнейшая эксплуатация обходится дороже, чем замена. Отсюда задача о замене оборудования может быть сформулирована следующим образом.
Разработать оптимальную стратегию замены оборудования возраста лет в плановом периоде продолжительностьюлет, если известны:
–стоимость продукции, производимой в течение года на оборудовании возраста лет ();
–ежегодные расходы, связанные с эксплуатацией оборудования возраста лет ();
–остаточная стоимость оборудования возраста лет;
–стоимость нового оборудования и расходы, связанные с его установкой, наладкой и запуском.
Поставленную задачу нужно рассмотреть как многошаговую.
На этапе условной оптимизации будем находить максимальную прибыль за последний год планового периода эксплуатации оборудования возраста tлет, за два последних года, за три последних года и т.д., и наконец, за весь плановый период.
В начале каждого года имеется две возможности – сохранить оборудование и получить прибыль или заменить его и получить прибыль. Прибыль от использования оборудования в последнем-м году планового периода запишется в следующем виде
(4.4)
а прибыль от использования оборудования в период с -го по-й год
(4.5)
где – прибыль от использования оборудования в период с-го по-й год.
В случае, если оба управления («сохранение» и «замена») приводят к одной и той же прибыли, то целесообразно выбрать управление «сохранение».
На этапе безусловной оптимизации определяется оптимальная стратегия замены оборудования на протяжении всего планового периода.
Пример 3.2
Найти оптимальную стратегию замены оборудования возраста 3 года на период продолжительностью 10 лет, если для каждого года планового периода известны стоимость продукции, производимой с использованием этого оборудования, и эксплуатационные расходы(таблица 4.7). Известны также остаточная стоимость, не зависящая от возраста оборудования и составляющая 4 ден. ед., и стоимость нового оборудования, равная 18 ден. ед., не меняющаяся в плановом периоде.
Таблица 4.7
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
31 |
30 |
28 |
28 |
27 |
26 |
26 |
25 |
24 |
24 |
23 |
|
8 |
9 |
9 |
10 |
10 |
10 |
11 |
12 |
14 |
16 |
18 |
Решение
I этап. Условная оптимизация.
1-й шаг.. Начнем процедуру условной оптимизации с последнего, десятого года планового периода. Найдем максимальную прибыль, получаемую от оборудования возрастаt() лет за последний год планового периода. Функциональное уравнение (4.4) с учетом числовых данных примера принимает вид
Тогда
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Полученные результаты занесем в таблицу 4.8 (первая строка).
2-й шаг.. Найдем максимальную прибыль, получаемую от оборудования возрастаt() лет за последние два года (9-ый и 10-ый) планового периода. Функциональное уравнение (4.5) с учетом числовых данных примера принимает вид
Тогда
Т. к. оборудование возраста 6 лет следует заменить, то и на более старом оборудовании работать будет не целесообразно, т. е. можно сразу записать
.
Полученные результаты занесем в таблицу 4.8 (вторая строка).
3-й шаг.. Найдем максимальную прибыль, получаемую от оборудования возрастаt() лет за последние три года (с 8-го по 10-ый) планового периода. Функциональное уравнение (4.5) с учетом числовых данных примера принимает вид
Тогда
Т. к. оборудование возраста 4 года следует заменить, то и на более старом оборудовании работать будет не целесообразно, т. е. можно сразу записать
.
Полученные результаты занесем в таблицу 4.8 (третья строка).
4-й шаг.. Найдем максимальную прибыль, получаемую от оборудования возрастаt() лет за последние четыре года (с 7-го по 10-ый) планового периода. Функциональное уравнение (4.5) с учетом числовых данных примера принимает вид
Тогда
Здесь оба управления («сохранение» и «замена») приводят к одной и той же прибыли, то целесообразно выбрать управление «сохранение».
Т. к. оборудование возраста 4 года следует заменить, то и на более старом оборудовании работать будет не целесообразно, т. е. можно сразу записать
Полученные результаты занесем в таблицу 4.8 (четвертая строка).
Продолжая вычисления описанным способом, постепенно заполняем всю таблицу 4.8. При этом области «сохранения» и «замены» разделим жирной линией (таблица 4.8).
Таблица 4.8
|
| ||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | |
|
23 |
21 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
13 |
10 |
9 |
9 |
|
44 |
40 |
37 |
35 |
33 |
31 |
30 |
30 |
30 |
30 |
30 |
|
63 |
58 |
54 |
51 |
49 |
49 |
49 |
49 |
49 |
49 |
49 |
|
81 |
75 |
70 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
|
98 |
91 |
86 |
85 |
84 |
84 |
84 |
84 |
84 |
84 |
84 |
|
114 |
107 |
104 |
102 |
101 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
|
130 |
125 |
121 |
119 |
117 |
116 |
116 |
116 |
116 |
116 |
116 |
|
148 |
142 |
138 |
135 |
134 |
134 |
134 |
134 |
134 |
134 |
134 |
|
165 |
159 |
154 |
152 |
151 |
151 |
151 |
151 |
151 |
151 |
151 |
|
182 |
175 |
171 |
169 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
168 |
Итак, максимальная прибыль, которую можно получить от оборудования возраста 3 года за весь плановый период составит ден. ед.