4.1 Задача оптимального распределения ресурсов

Пусть на реконструкцию и модернизацию основного производства объединению выделяется некоторый объем материальных ресурсов Х. ИмеетсяNпредприятий, между которыми нужно распределить данный ресурс. Обозначим черезприбыль, которому приносит народному хозяйству выделениеj-му предприятиюединиц ресурса. Предполагается, что размер прибыли зависит как от выделенного количества ресурса, так и от предприятия. Причем прибыль, получаемая предприятиями измеряется в одних и тех же единицах и общая прибыль объединения состоит из прибылей отдельных предприятий. Необходимо найти оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями, при котором общая прибыль объединения будет максимальной.

Поставленную задачу нужно рассмотреть как многошаговую.

На этапе условной оптимизации будем рассматривать эффективность вложения средств на одном (например, на первом предприятии), на двух предприятиях вместе (на первом и втором), на трех предприятиях вместе (на первом, втором и третьем) и т. д., и наконец, на всех Nпредприятиях вместе. Задача состоит в определении наибольшего значения функциипри условии, что.

Воспользуемся рекуррентным соотношением Беллмана (4.1), которое для данной задачи приводит к следующим функциональным уравнениям при :

Здесь функция определяет максимальную прибыль первого предприятия при выделении емуxединиц ресурса, функцияопределяет максимальную прибыль первого и второго предприятий вместе при выделении имxединиц ресурса, функцияопределяет максимальную прибыль первого, второго и третьего предприятий вместе при выделении имxединиц ресурса и т. д., и наконец, функцияопределяет максимальную прибыль всех предприятий вместе при выделении имxединиц ресурса.

На этапе безусловной оптимизации определяется оптимальный план распределения ресурсов между предприятиями.

Пример 4.1.

Для увеличения объемов выпуска пользующейся повышенным спросом продукции четырем предприятиям производственного объединения выделены средства в размере 50 млн. руб. Каждому из предприятий может быть выделено: 0, 10, 20, 30, 40 или 50 млн. руб. При этом ежегодный прирост выпуска продукции каждым из предприятий в зависимости от капиталовложений известен и приведен в таблица 4.1.

Таблица 4.1

Объем выделенных средств x(млн. руб.)	Ежегодный прирост выпуска продукции (млн. руб.), в зависимости от объема выделенных средств
0	0	0	0	0
10	3	5	2	4
20	6	8	5	7
30	9	12	11	10
40	14	15	14	13
50	17	18	18	17

Найти оптимальный план распределения средств между предприятиями, обеспечивающий максимальный ежегодный прирост выпуска продукции производственным объединением.

Решение