Тема 22

1. Агрегатные и средние индексы

После изучения этой темы вы сможете:

1. объяснить экономическое содержание и особенности рас­чета агрегатных индексов;

2. раскрыть методику взвешивания первичных и вторичных признаков в индексных системах;

3. показать особую роль средних индексов в статистике;

4. на примере Контрольного задания выполнить расчеты индексных показателей.

В зависимости от методологии расчета различают агрегатные и средние индексы. Первой в истории формулой для агрегатного индекса была формула французского экономиста Дюто (1735 г.), а для средних индексов- формула итальянского экономиста Карли (1751 г.).

Отдадим должное первопроходцам, но понятно, что речь должна идти о сводных (общих) индексах, о сопоставлении двух совокуп­ностей, агрегатов, разнородных элементов. Поэтому и сам индекс называ­ется агрегатным. По определению, это отношение суммы отчетных зна­чений индексируемого признака, взвешенных по соответствующим зна­чениям признака-веса, к сумме базисных значений индексируемого при­знака, взвешенных по тем же значениям признака-веса.

Агрегатная форма индекса является исходной и в отечественной практике остается самой распространенной. Она подкупает своей наглядностью, очевидным мате­риальным содержанием и экономическим смыслом самого индексного показателя как в целом, так и его числителя и знаменателя и даже отдель­ных их признаков в отдельности.

Агрегатные индексы стоимости продукции, цен и физического ее объема уже приводились в предыдущей Теме.

Каждый из них в полной мере отвечает сказанному выше об агрегат­ных индексах. Предложенное в индексах р и q взвешивание обусловлено экономическими соображениями.

Например, индекс цен применительно к ценам и тарифам на потребительские товары и услу­ги представляет собой общую сумму потребительских расходов населения в отчетном периоде. Агрегат в знаменателе - условная сумма расходов населения на тот же объем товаров и услуг по их базисным це­нам и тарифам. Это и позволяет разностью этих сумм рассчитать важный социальный показатель- экономию (при снижении цен и тарифов) или дополнительные расходы (при их повышении) населения от изменения цен и тарифов в отчетном периоде по сравнению с базисным. Соответст­венно, в индексе объема продукции индексируемый объем продукции соизмеряется с по­мощью базисных, сопоставимых цен. В целом, можно говорить об общей рекомендации, выработанной практикой: в расчетах агрегатных индексов при индексировании вторичных признаков взвешивание обычно произво­дится по отчетным весам, а первичных признаков - по базисным весам. Соблюдение этой рекомендации обеспечивает увязку сопряженных ин­дексов в системе, что повышает их аналитические возможности. На примере с экономией или с дополнительными расходами населения от изменения потребительских цен и тарифов можно было убе­диться еще в одной важной особенности индексов - они дают не только относительную характеристику изменений изучаемых явлений, но, как и обычные относительные величины, позволяют находить абсолютные разности числителя и знаменателя индексного показателя. Совместное ис­пользование обеих характеристик в факторном анализе повышает ком­плексность всего исследования.

Высказанная выше рекомендация о системе взвешивания первичных и вторичных признаков в индексных системах не является жестким тре­бованием. Практика показывает, что имеются достаточные основания взвешивать вторичные признаки, например, цену единицы продукции в сводном индексе цен как по отчетным, так и по базисным весам (объему продукции). Так они и появились в истории с интервалом в десять лет: базисно-взвешенный индекс цен- индекс Ласпейреса (1864 г.) и текуще-взвешенный индекс цен- индекс Пааше (1874 г.). В последующем появи­лись некоторые компромиссные варианты индексов, например, индексы Уолша и Эджворта, лишенные экономического смысла. Весьма ограни­ченное применение имеет и так называемый идеальный индекс Фишера (1922 г.), явившийся результатом геометрического скрещивания индексов Ласпейреса и Пааше. Современная практика международной и отечест­венной статистики при построении сводного индекса цен такова: индекс потребительских цен и тарифов рассчитывается как средний арифметиче­ский взвешенный индекс в варианте Ласпейреса, а индекс цен- дефлятор валового внутреннего продукта - как средний гармонический взвешенный индекс в варианте Пааше, и тому есть определенные обоснования.

Средние индексы в статистике представляют собой среднюю взве­шенную величину из индивидуальных индексов. Они рассчитываются по формулам среднего арифметического и среднего гармонического показа­телей (редко среднего геометрического), но в обоих случаях являются производными от агрегатных индексов. Агрегатному индексу цен с ба­зисными весами соответствует средний арифметический индекс цен с та­кими же весами.

Агрегатному индексу цен с отчетными весами соответствует средний гармонический индекс с такими же весами.

Как указывалось выше, оба средних индекса цен применяются в со­временной статистике. Будучи исчисленными на базе индивидуальных индексов цен, они позволяют определить влияние каждого из осредняемых индексов на общее значение индекса, в форме коэффициента или в процен­тах. Указанная особенность средних индексов делает их особенно привле­кательными в условиях выборочного наблюдения за ценами. Это уже дав­но поняла международная статистика, и к ее выводам и рекомендациям присоединилась отечественная статистика цен. Средние индексы имеют преимущество и в территориальных сравнениях вторичных признаков, когда на первом этапе вычисляются индивидуальные территориальные индексы, а затем происходит их осреднение. Но по-прежнему основной формой ин­декса остается агрегатная, хотя определенное индексное пространство уже принадлежит средним индексам (особенно при выборочных наблюдениях вторичных признаков). Такова диалектика современных индексов в стати­стике, и хотя трудно предсказать развитие событий, но в этой диалектике одно бесспорно: только индексные агрегаты лишены математического формализма и имеют реальное экономические содержание.

Существует правило построения агрегатных индексов: если индексируется (соизмеряется) качественный показатель, то весами к нему берется количественный в неизменном отчетном уровне; если индексируется количественный показатель, то весами берется качественный в неизменном базисном уровне.

Согласно этой теории агрегатный индекс цен (I_p) будет

.

Тогда агрегатный индекс объема продукции (I_q) равен

.

Чтобы выяснить формулу агрегатного индекса достаточно уточнить, какая (качественная или количественная) величина индексируется. Любой агрегатный индекс может быть преобразован в средний.

Индекс цен: ; отсюда . Подставим это вместо p₀ в (25). Получим:

- средний гармонический индекс цен.

По индексируемым качественным величинам строятся обычно средние гармонические индексы.

Индекс объема: ; отсюда . Подставим это вместо q₁ в Получим:

- средний арифметический индекс объема, который находится обычно по индексируемым количественным величинам.

Таблица 15

Пример:

Вид изделий	Объем, шт.		Цена, р.
	Базис	Отчет	Базис	Отчет
А	8	10	10	9,5	1,25	0,95
Б	20	22	8	9,0	1,10	1,13

Значит, объем продукции А увеличился на 25%, а цена снизилась на 5%; объем продукции Б повысился на 10%, цена повысилась на 13%. Что произошло с объемом по двум видам продукции?

Рассчитаем общие индексы объема:

агрегатный ;;

средний арифметический ..

Значит, по двум видам продукции объем возрос на 15%.

Рассчитаем общие индексы цен:

агрегатный ;

средний гармонический .

Значит, в среднем по двум видам продукции цены возросли на 6%.

Если необходимо рассчитать индекс товарооборота (I_pq), то его можно определить или . Здесь индексируются обе величины p и q.

В нашем примере: . Т.е., товарооборот возрос на 22%, при этом он увеличивался и за счет объема (на 15%) и за счет цен (на 6%).

Динамика многих общественных явлений может быть выявлена и охарактеризована при помощи сопоставления средних уровней. На величину показателей динамики средних уровней оказывают влияние как изменения отдельных значений усредняемого признака, так и изменения их удельных весов.

Пример

Индексный метод анализа динамики среднего уровня

Таблица 16

Группы рабочих	Базис		Отчет		Индексы средней заработной платы
	Число рабочих, млн.чел.	Среднемесячная зарплата, р.	Число рабочих, млн.чел.	Среднемесячная зарплата, р.
IV-VI разрядов	3,5	300	3,0	297	0,97
I-III разрядов	2,0	180	1,0	164	0,91
Итого	5,5	256	4,0	264	1,03

Данные таблицы показывают, что уровень заработной платы каждой группы рабочих в отдельности снизился (на 3 и 9%), но в целом возрос на 3%. Этот рост обусловлен увеличением удельного веса квалифицированных рабочих (в базисном периоде , а в отчетном ).

Индексы средних уровней, рассчитанные с учетом изменения структуры, называются индексами переменного состава (I_п.с.):

.

Если удельный вес отдельной группы обозначить как d_m, то индекс переменного состава примет вид

.

Индексы, представляющие собой отношение средних уровней, рассчитанных исходя из постоянной структуры, называются индексами постоянного состава:

.

Влияние структурных сдвигов оценивается с помощью индекса структурных сдвигов:

.

В нашем примере рассчитаем индексы постоянного состава и структурных сдвигов. Для этого рассчитаем и : и т.п.

Таблица 17

Группы рабочих
IV-VI разрядов	0,64	0,75
I-III разрядов	0,36	0,25

Значит, если бы удельный вес высококвалифицированных рабочих не изменялся, то в среднем заработная плата рабочих снизилась бы на 6%.

Значит, средняя заработная плата увеличилась за счет повышения удельного веса квалифицированных рабочих на 9%.

Контрольное задание:

По приведенным ниже данным о продаже продуктов на городском рынке определите:

1) индивидуальные индексы объема товарооборота и цен;

агрегатные индексы стоимости товарооборота, его физического объема и цен;

средний арифметический индекс физического объема товаро-

обо­рота в варианте Ласпейреса

2) средний гармонический индекс цен в варианте Пааше;

3. общую сумму экономии (дополнительных расходов) у населения в результате изменения цен.

Таблица 18

Продукция	Количество q		Цена за единицу, руб. p
	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период	Базисный период
А Б В	2890 47 4 332	2249 4445 67320	219 4 1058 1350	265 408 308