ТВиМС лекция№1

Теория вероятностей и математическая статистика

Лекции по курсу высшей математики для студентов дневного отделения Часть 1. Основы теории вероятностей

Володин Юрий Владимирович

к.ф.-м.н., доцент кафедры математики и информатики РГСУ

Февраль 2012 г.

Литература

Жукова Г.С.

Математика для стдудентов социальных и социально-гуманитарных специальностей. Ì.: ÐÃÑÓ, 2010.

Жукова Г.С.

Математика для студентов экономических специальностей. Часть II.

Ì.: ÐÃÑÓ, 2010.

Рушайло М.Ф.

Теория вероятностей и математическая статистика. Ì.: ÐÃÑÓ, 2010.

Элементы комбинаторики

Комбинаторика раздел математики, изучающий комбинации конечных множеств из элементов различной природы.

Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств различны. Мы будем изучать комбинации этих элементов различающихся количеством и/или порядком . Например, из тр¼х букв A, B, C будем составлять двухбуквенные слова:

1.не учитывая порядок букв, получим AB, AC и BC;

2.учитывая порядок букв, получим AB, BA, AC, CA, BC, CB;

3.учитывая порядок и допуская повторения, получим AA, AB, BA, BB, BC, CB, CC, AC, CA.

Правила подсч¼та

Правило суммы.

Если объект A может быть выбран из некоторой совокупности объектов m способами, а объект B n способами, то выбрать A èëè B можно m + n способами.

Например: в коробке 3 тв¼рдых карандаши и 2 мягких, всего 5 вариантов выбора карандаша.

Правило произведения.

Если объект A может быть выбран из некоторой совокупности объектов m способами, а затем объект B может быть независимо выбран n способами, то выбрать пару объектов A è B можно m n способами.

Например: добраться из города М в город П можно 3 способами, а из города П доехать до пос¼лка С есть 2 возможных способа. Следовательно, из М в С можно оказаться 6 способами.

Комбинации

Перестановками

называются комбинации, отличающиеся лишь порядком, не составом входящих элементов.

Для n различных элементов число перестановок

Pn = n! = 1 2 3 n:

Для пустого множества с числом элементов n = 0 принято

Например: число перестановок 3 книг на полке равно

P3 = 3! = 1 2 3 = 6:

Сочетаниями

из n по k различных элементов называются комбинации, отличающиеся лишь составом входящих элементов.

Число различных сочетаний из n по k элементов обозначают Cnk . Èòàê, Cnk число способов, которыми можно выбрать из n группу

в k элементов (порядок выбора безразличен).

Например: число назначений на три одинаковые должности из 5 кандидатов находится

Размещениями

из n по k различных элементов называются комбинации,

отличающиеся не только составом, но и порядком выбираемых элементов.

Число размещений из возможных n элементов в подгруппу из k элементов, обозначается Akn и находится по формулам

Например: число назначений на три различные должности, если имеется выбор из 5 кандидатов равно

A35 = 5 4 3 = 60:

Размещения с повторениями

такие комбинации, где допускается повторение элементов в наборе.

Число размещений с повторениями из n элементов в подгруппу из

k

k элементов, обозначается An и находится по формуле

Например: сколько вариантов для дней рождения 3 человек?

Примеры

Пример 1

Найти число диагоналей в правильном n-угольнике.

Cn2 n

Например, в квадрате получим C42 4 = 42!3 4 = 122 4 = 2 диагонали.

Пример 2

Сколько можно составить всевозможных 7мизначных телефонных номеров?

Номера имеют вид XXX-XX-XX.

Свойства сочетаний

1.Cn0 = Cnn = 1

2.Cn1 = Cnn 1 = n

3.Cnk = Cnn k

4.Cnk = Cnk 11 + Cnk 1

5.Cn0 + Cn1 + Cn2 + : : : + Cnn = 2n

Например, C50 = 1, C43 = 4, C42 = C31 + C32 = 3 + 3 = 6.

Основные понятия теории вероятностей

называется раздел математики, изучающий закономерности в массовых случайных событиях. Испытанием называется реализация определ¼нного комплекса условий, который может воспроизводиться неограниченное число раз (подбр. монеты). Результатом испытания является

События принято обозначать большими латинскими буквами A, B, C,. . .

Событие может быть:

1. достоверным (событие, которое обязательно произойд¼т, E);

2. невозможным (заведомо непроисходящее событие, E);

3. случаным (может произойти, либо не произойти). Например, подбрасывание кубика. События:

fвста¼т на реброg fвыпадает два очкаg.

E = , A =

A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.

A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.

A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.

A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.

A. Они несовместны и образуют полную группу fA; Ag.

Классическое определение вероятности

Пример

Бросают игральный кубик, выигрышем считается выпадение 5 или 6 очков. Сколько примерно будет выигрышей в серии из 150 игр?

Вероятностью

события A называется число, обозначаемое P(A) и вычисляемое

где n число всех возможных элементарных исходов в испытании, а m число тех из них, которые благоприятствуют наступлению события A.

Так как всегда m 6 n, то 0 6 P(A) 6 1.

Классическое определение вероятности

Пример

Бросают игральный кубик, выигрышем считается выпадение 5 или 6 очков. Сколько примерно будет выигрышей в серии из 150 игр?

Вероятностью

события A называется число, обозначаемое P(A) и вычисляемое

где n число всех возможных элементарных исходов в испытании, а m число тех из них, которые благоприятствуют наступлению события A.

Так как всегда m 6 n, то 0 6 P(A) 6 1.

Классическое определение вероятности

Пример

Бросают игральный кубик, выигрышем считается выпадение 5 или 6 очков. Сколько примерно будет выигрышей в серии из 150 игр?

Вероятностью

события A называется число, обозначаемое P(A) и вычисляемое

где n число всех возможных элементарных исходов в испытании, а m число тех из них, которые благоприятствуют наступлению события A.

Так как всегда m 6 n, то 0 6 P(A) 6 1.

Пример 1

В лифт 9-этажного дома вошли 5 незнакомых человек. Найти вероятность того, что они выйдут на разных этажах.

A = fлюди выйдут на разных этажахg;

P(A) = mn ;