ТВиМС лекция№1

Плотностью

распределения вероятностейXСВвточке x

называется предел отношения вероятности попадания значений

этой СВ в интервал (x; x + x) к длине x этого интервала, когда

x ! 0:

f (x) =

lim

P(x < X < x + x)

:

x!0

x

Отсюда следует формула f (x) = F 0(x).

График функции f (x) называется

кривой распределения

.

Пример

0;

x

6

1;

f (x) = 8

0;

x 6 1;

2

;

2x;

1 6 x 6 0;

F (x) = 81 x

1 6 x 6 0;

>

>

<0;

x > 0:

<1;

x > 0:

>

Плотностью

распределения вероятностейXСВвточке x

называется предел отношения вероятности попадания значений

этой СВ в интервал (x; x + x) к длине x этого интервала, когда

x ! 0:

f (x) =

lim

P(x < X < x + x)

:

x!0

x

Отсюда следует формула f (x) = F 0(x).

График функции f (x) называется

кривой распределения

.

Пример

0;

x

6

1;

f (x) = 8

0;

x 6 1;

2

;

2x;

1 6 x 6 0;

F (x) = 81 x

1 6 x 6 0;

>

>

<0;

x > 0:

<1;

x > 0:

>

Плотностью

распределения вероятностейXСВвточке x

называется предел отношения вероятности попадания значений

этой СВ в интервал (x; x + x) к длине x этого интервала, когда

x ! 0:

f (x) =

lim

P(x < X < x + x)

:

x!0

x

Отсюда следует формула f (x) = F 0(x).

График функции f (x) называется

кривой распределения

.

Пример

0;

x

6

1;

f (x) = 8

0;

x 6 1;

2

;

2x;

1 6 x 6 0;

F (x) = 81 x

1 6 x 6 0;

>

>

<0;

x > 0:

<1;

x > 0:

>

f (x) =

8

2x;

x

1 6 x 6 0;

0;

6 1;

>

<0;

x > 0:

0

>

0

x

3

0

:

M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2

1 =

3

0

3

(

1)

3

1

2

= 2

= 2(0 +

) =

:

3

3

3

3

0

0

4

0

M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2

x

1 =

4

0

4

( 1)

4

1

1

= 2

= 2(0

) =

;

4

4

4

2

f (x) =

8

2x;

x

1 6 x 6 0;

0;

6 1;

>

<0;

x > 0:

0

>

0

x

3

0

:

M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2

1 =

3

0

3

(

1)

3

1

2

= 2

= 2(0 +

) =

:

3

3

3

3

0

0

4

0

M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2

x

1 =

4

0

4

( 1)

4

1

1

= 2

= 2(0

) =

;

4

4

4

2

f (x) =

8

2x;

x

1 6 x 6 0;

0;

6 1;

>

<0;

x > 0:

0

>

0

x

3

0

:

M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2

1 =

3

0

3

(

1)

3

1

2

= 2

= 2(0 +

) =

:

3

3

3

3

0

0

4

0

M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2

x

1 =

4

0

4

( 1)

4

1

1

= 2

= 2(0

) =

;

4

4

4

2

f (x) =

8

2x;

x

1 6 x 6 0;

0;

6 1;

>

<0;

x > 0:

0

>

0

x

3

0

:

M(X ) = Z 1 x ( 2x)dx = 2 Z 1 x2dx = 2

1 =

3

0

3

(

1)

3

1

2

= 2

= 2(0 +

) =

:

3

3

3

3

0

0

4

0

M(X 2) = Z 1 x2 ( 2x)dx = 2 Z 1 x3dx = 2

x

1 =

4

0

4

( 1)

4

1

1

= 2

= 2(0

) =

;

4

4

4

2

M(X ) =

+

;

D(X ) =

( )2

:

2

12

1

(x a)2

f (x) =

p

e

2 2

;

2

где a и параметры распределения.

P(a < X < a ) =

a2 a

a1 a

;

1

2

где (x) интегральная функция Лапласа

(x) = p2

x

e t

=2dt:

Z0

1

2