ТВиМС лекция№1
.pdf
Теорема
Пусть события A è B несовместны. Тогда вероятность их суммы A + B равна сумме их вероятностей:
P(A + B) = P(A) + P(B):
Как следствие можно получить формулу:
|
|
) |
|
P(A): |
1 = P(E) = P(A + A) = P(A) + P(A) |
P(A) = 1 |
|||
Пример
В ящике 30 шаров 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность извлечения цветного шара.
A = fкрасных шарg, B = fсиний шарg, то есть A + B = fцветной шарg. Имеем
P(A + B) = P(A) + P(B) = 1030 + 305 = 13 + 16 = 12:
Теорема
Пусть события A è B несовместны. Тогда вероятность их суммы A + B равна сумме их вероятностей:
P(A + B) = P(A) + P(B):
Как следствие можно получить формулу:
|
|
) |
|
P(A): |
1 = P(E) = P(A + A) = P(A) + P(A) |
P(A) = 1 |
|||
Пример
В ящике 30 шаров 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность извлечения цветного шара.
A = fкрасных шарg, B = fсиний шарg, то есть A + B = fцветной шарg. Имеем
P(A + B) = P(A) + P(B) = 1030 + 305 = 13 + 16 = 12:
Теорема
Пусть события A è B несовместны. Тогда вероятность их суммы A + B равна сумме их вероятностей:
P(A + B) = P(A) + P(B):
Как следствие можно получить формулу:
|
|
) |
|
P(A): |
1 = P(E) = P(A + A) = P(A) + P(A) |
P(A) = 1 |
|||
Пример
В ящике 30 шаров 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность извлечения цветного шара.
A = fкрасных шарg, B = fсиний шарg, то есть A + B = fцветной шарg. Имеем
P(A + B) = P(A) + P(B) = 1030 + 305 = 13 + 16 = 12:
Теорема
Пусть теперь события A è B совместны. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них:
P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB):
Пример
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что хотя бы один из приборов сломается?
A1 = fпервый прибор сломаетсяg,
A2 = fвторой прибор сломаетсяg, тогда A1 + A2 = fхотя бы один сломаетсяg.
P(A1+A2) = P(A1)+P(A2) P(A1A2) = 0; 3+0; 25 0; 3 0; 25 = 0; 475:
Теорема
Пусть теперь события A è B совместны. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них:
P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB):
Пример
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что хотя бы один из приборов сломается?
A1 = fпервый прибор сломаетсяg,
A2 = fвторой прибор сломаетсяg, тогда A1 + A2 = fхотя бы один сломаетсяg.
P(A1+A2) = P(A1)+P(A2) P(A1A2) = 0; 3+0; 25 0; 3 0; 25 = 0; 475:
Теорема
Пусть теперь события A è B совместны. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них:
P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB):
Пример
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что хотя бы один из приборов сломается?
A1 = fпервый прибор сломаетсяg,
A2 = fвторой прибор сломаетсяg, тогда A1 + A2 = fхотя бы один сломаетсяg.
P(A1+A2) = P(A1)+P(A2) P(A1A2) = 0; 3+0; 25 0; 3 0; 25 = 0; 475:
Теорема
Пусть теперь события A è B совместны. Тогда вероятность появления хотя бы одного из них:
P(A + B) = P(A) + P(B) P(AB):
Пример
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что хотя бы один из приборов сломается?
A1 = fпервый прибор сломаетсяg,
A2 = fвторой прибор сломаетсяg, тогда A1 + A2 = fхотя бы один сломаетсяg.
P(A1+A2) = P(A1)+P(A2) P(A1A2) = 0; 3+0; 25 0; 3 0; 25 = 0; 475:
Условной вероятностьюP(BjA) называется вероятность события B, вычисленная в предположении, что событие A уже наступило. Если A и B независимы, òî P(BjA) = P(B) è P(AjB) = P(A).
Теорема
Справедлива следующая формула
P(AB) = P(A) P(BjA):
Если A и B независимы, то формула примет вид
P(AB) = P(A) P(B).
Пример 1
Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает 2 вопроса, содержащиеся в вытянутом билете.
A1 = fзнает 1ый вопросg, A2 = fзнает 2ой вопросg. A = A1A2.
40 39
P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2jA1) = 50 49 0; 64:
Пример 2
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что сломается только один из приборов?
A1 = fсломается первыйg, A2 = fсломается второйg.
|
|
|
|
|
|
A = A1A2 |
+ A1A2 искомое. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
P(A) = P(A1A2 |
+ A1A2) = P(A1A2) + P(A1A2) = |
||||
|
|
|
|
|
|
= P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2) = 0; 3 (1 0; 25)+(1 0; 3) 0; 25 = 0; 4:
Пример 1
Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает 2 вопроса, содержащиеся в вытянутом билете.
A1 = fзнает 1ый вопросg, A2 = fзнает 2ой вопросg. A = A1A2.
40 39
P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2jA1) = 50 49 0; 64:
Пример 2
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что сломается только один из приборов?
A1 = fсломается первыйg, A2 = fсломается второйg.
|
|
|
|
|
|
A = A1A2 |
+ A1A2 искомое. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
P(A) = P(A1A2 |
+ A1A2) = P(A1A2) + P(A1A2) = |
||||
|
|
|
|
|
|
= P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2) = 0; 3 (1 0; 25)+(1 0; 3) 0; 25 = 0; 4:
Пример 1
Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает 2 вопроса, содержащиеся в вытянутом билете.
A1 = fзнает 1ый вопросg, A2 = fзнает 2ой вопросg. A = A1A2.
40 39
P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2jA1) = 50 49 0; 64:
Пример 2
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что сломается только один из приборов?
A1 = fсломается первыйg, A2 = fсломается второйg.
|
|
|
|
|
|
A = A1A2 |
+ A1A2 искомое. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
P(A) = P(A1A2 |
+ A1A2) = P(A1A2) + P(A1A2) = |
||||
|
|
|
|
|
|
= P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2) = 0; 3 (1 0; 25)+(1 0; 3) 0; 25 = 0; 4:
Пример 1
Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что он знает 2 вопроса, содержащиеся в вытянутом билете.
A1 = fзнает 1ый вопросg, A2 = fзнает 2ой вопросg. A = A1A2.
40 39
P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2jA1) = 50 49 0; 64:
Пример 2
Вероятность поломки первого прибора 0; 3, а вероятность поломки второго 0; 25. Чему равна вероятность того, что сломается только один из приборов?
A1 = fсломается первыйg, A2 = fсломается второйg.
|
|
|
|
|
|
A = A1A2 |
+ A1A2 искомое. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
P(A) = P(A1A2 |
+ A1A2) = P(A1A2) + P(A1A2) = |
||||
|
|
|
|
|
|
= P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2) = 0; 3 (1 0; 25)+(1 0; 3) 0; 25 = 0; 4:
Формула полной вероятности
Иногда в испытании естественно возникает полная группа
H1; H2; : : : ; Hn события попарно несовместны и непременно наступает одно из них. Вероятности этих событий известны. Одновременно рассматривается A.
Теорема
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + : : : + P(Hn)P(AjHn):
Формула полной вероятности
Иногда в испытании естественно возникает полная группа
H1; H2; : : : ; Hn события попарно несовместны и непременно наступает одно из них. Вероятности этих событий известны. Одновременно рассматривается A.
Теорема
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + : : : + P(Hn)P(AjHn):
Пример
На первом станке изготовлено 20 деталей, из них 7 с браком; на втором 30 деталей, из них 4 с браком, на третьем 50, из них 10 с браком. С общего конвейера наудачу берут деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
A = fдеталь с бракомg, H1 = fдеталь с первого станкаg, H2 = fдеталь со второго станкаg,
H3 = fдеталь с третьего станкаg.
P(H1) = |
20 |
|
|
|
= |
1 |
; P(H2) = |
30 |
= |
3 |
; P(H3) = |
50 |
= |
1 |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 + 30 |
+ 50 |
5 |
100 |
10 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
||||||||||
P(AjH1) = |
7 |
; P(AjH2) = |
4 |
; P(AjH3) = |
10 |
= |
1 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
30 |
50 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + P(H3)P(AjH3) =
= 15 207 + 103 304 + 12 15 = 10021 = 0; 21:
Пример
На первом станке изготовлено 20 деталей, из них 7 с браком; на втором 30 деталей, из них 4 с браком, на третьем 50, из них 10 с браком. С общего конвейера наудачу берут деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
A = fдеталь с бракомg, H1 = fдеталь с первого станкаg, H2 = fдеталь со второго станкаg,
H3 = fдеталь с третьего станкаg.
P(H1) = |
20 |
|
|
|
= |
1 |
; P(H2) = |
30 |
= |
3 |
; P(H3) = |
50 |
= |
1 |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 + 30 |
+ 50 |
5 |
100 |
10 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
||||||||||
P(AjH1) = |
7 |
; P(AjH2) = |
4 |
; P(AjH3) = |
10 |
= |
1 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
30 |
50 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + P(H3)P(AjH3) =
= 15 207 + 103 304 + 12 15 = 10021 = 0; 21:
Пример
На первом станке изготовлено 20 деталей, из них 7 с браком; на втором 30 деталей, из них 4 с браком, на третьем 50, из них 10 с браком. С общего конвейера наудачу берут деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
A = fдеталь с бракомg, H1 = fдеталь с первого станкаg, H2 = fдеталь со второго станкаg,
H3 = fдеталь с третьего станкаg.
P(H1) = |
20 |
|
|
|
= |
1 |
; P(H2) = |
30 |
= |
3 |
; P(H3) = |
50 |
= |
1 |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 + 30 |
+ 50 |
5 |
100 |
10 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
||||||||||
P(AjH1) = |
7 |
; P(AjH2) = |
4 |
; P(AjH3) = |
10 |
= |
1 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
30 |
50 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + P(H3)P(AjH3) =
= 15 207 + 103 304 + 12 15 = 10021 = 0; 21:
Пример
На первом станке изготовлено 20 деталей, из них 7 с браком; на втором 30 деталей, из них 4 с браком, на третьем 50, из них 10 с браком. С общего конвейера наудачу берут деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
A = fдеталь с бракомg, H1 = fдеталь с первого станкаg, H2 = fдеталь со второго станкаg,
H3 = fдеталь с третьего станкаg.
P(H1) = |
20 |
|
|
|
= |
1 |
; P(H2) = |
30 |
= |
3 |
; P(H3) = |
50 |
= |
1 |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 + 30 |
+ 50 |
5 |
100 |
10 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
||||||||||
P(AjH1) = |
7 |
; P(AjH2) = |
4 |
; P(AjH3) = |
10 |
= |
1 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
30 |
50 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + P(H3)P(AjH3) =
= 15 207 + 103 304 + 12 15 = 10021 = 0; 21:
Пример
На первом станке изготовлено 20 деталей, из них 7 с браком; на втором 30 деталей, из них 4 с браком, на третьем 50, из них 10 с браком. С общего конвейера наудачу берут деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
A = fдеталь с бракомg, H1 = fдеталь с первого станкаg, H2 = fдеталь со второго станкаg,
H3 = fдеталь с третьего станкаg.
P(H1) = |
20 |
|
|
|
= |
1 |
; P(H2) = |
30 |
= |
3 |
; P(H3) = |
50 |
= |
1 |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 + 30 |
+ 50 |
5 |
100 |
10 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
||||||||||
P(AjH1) = |
7 |
; P(AjH2) = |
4 |
; P(AjH3) = |
10 |
= |
1 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
30 |
50 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + P(H3)P(AjH3) =
= 15 207 + 103 304 + 12 15 = 10021 = 0; 21:
Пример
На первом станке изготовлено 20 деталей, из них 7 с браком; на втором 30 деталей, из них 4 с браком, на третьем 50, из них 10 с браком. С общего конвейера наудачу берут деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?
A = fдеталь с бракомg, H1 = fдеталь с первого станкаg, H2 = fдеталь со второго станкаg,
H3 = fдеталь с третьего станкаg.
P(H1) = |
20 |
|
|
|
= |
1 |
; P(H2) = |
30 |
= |
3 |
; P(H3) = |
50 |
= |
1 |
: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20 + 30 |
+ 50 |
5 |
100 |
10 |
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
||||||||||
P(AjH1) = |
7 |
; P(AjH2) = |
4 |
; P(AjH3) = |
10 |
= |
1 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
30 |
50 |
5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
P(A) = P(H1)P(AjH1) + P(H2)P(AjH2) + P(H3)P(AjH3) =
= 15 207 + 103 304 + 12 15 = 10021 = 0; 21: