ТВиМС лекция№1
.pdf
Формула Бернулли
Проводится n испытаний, в каждом из которых может наступить или не наступить событие A. При этом в каждом их испытаний A наступает с вероятностью p. Это схема Бернулли.
Рассмотрим событие
B = fв n испытаниях A произойд¼т ровно m разg. Его вероятность обозначают Pn(m).
Теорема
Pn(m) = Cnmpm(1 p)n m:
Пример
Вероятность того, что случайно взятое изделие окажется бракованным равна 0; 4. Чему равна вероятность того, что из 5
наугад взятых изделий бракованными окажутся а) ровно 3; б) не менее 3?
n = 5, p = 0;4, 1 p = 0;6
à) P5(3) = C53 0;43 0;65 3 = 53!4 3 0;43 0;62 0;23;
á) P5(m > 3) = P5(3) + P5(4) + P5(5) 0;31.
Пример
Вероятность того, что случайно взятое изделие окажется бракованным равна 0; 4. Чему равна вероятность того, что из 5
наугад взятых изделий бракованными окажутся а) ровно 3; б) не менее 3?
n = 5, p = 0;4, 1 p = 0;6
à) P5(3) = C53 0;43 0;65 3 = 53!4 3 0;43 0;62 0;23;
á) P5(m > 3) = P5(3) + P5(4) + P5(5) 0;31.
Пример
Вероятность того, что случайно взятое изделие окажется бракованным равна 0; 4. Чему равна вероятность того, что из 5
наугад взятых изделий бракованными окажутся а) ровно 3; б) не менее 3?
n = 5, p = 0;4, 1 p = 0;6
à) P5(3) = C53 0;43 0;65 3 = 53!4 3 0;43 0;62 0;23;
á) P5(m > 3) = P5(3) + P5(4) + P5(5) 0;31.
Пример
Вероятность того, что случайно взятое изделие окажется бракованным равна 0; 4. Чему равна вероятность того, что из 5
наугад взятых изделий бракованными окажутся а) ровно 3; б) не менее 3?
n = 5, p = 0;4, 1 p = 0;6
à) P5(3) = C53 0;43 0;65 3 = 53!4 3 0;43 0;62 0;23;
á) P5(m > 3) = P5(3) + P5(4) + P5(5) 0;31.
Дискретная случайная величина
Определение.
Случайна величина X называется дискретной, åñëè îíà
принимает не более, чем сч¼тное значений x1; x2; x3; : : :, то есть все е¼ значения можно занумеровать.
Пример
X = fчисло очков на верхней грани кубикаg случайная
величина, принимающая значения 1, 2, 3, 4, 5 и 6. |
|
|
Каждому значению xi СВ приписывают вероятности pi : |
|
|
pi = P(X = xi ). Совокупность всех значений СВ и |
|
|
соответствующих им вероятностей называется |
законом |
|
распределения |
. |
|
Пример
Найти закон распределения СВ
X = fчисло выпавших гербов при подбрасывании 2 монет g.
Возможны значения: x1 = 0, x2 = 1 è x3 = 2. Найд¼м их вероятности:
p1 = |
1 |
|
1 |
= |
1 |
; p2 |
= |
1 |
|
1 |
+ |
1 |
|
1 |
= |
1 |
; p3 |
= |
1 |
|
1 |
= |
1 |
: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||
Полученные значения принято записывать в виде таблицы:
X 0 1 2
p |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
2 |
4 |
||
|
Функцией распределения
называется функция, определяемая следующим соотношением
F (x) = P(X < x)
Пример
Найти функцию распределения для СВ из предыдущего примера.
X 0 1 2 |
|
841 |
; |
0 6 x 6 1; |
||||||||
|
|
|
|
|
> |
0; |
x |
6 |
0; |
|
||
|
|
|
|
F (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
4 |
2 |
4 |
|
> |
|
; |
1 |
|
x |
|
2; |
|
|
|
> |
4 |
6 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>1; |
x > 2: |
|
|||||
>
>
>
:
Функцией распределения
называется функция, определяемая следующим соотношением
F (x) = P(X < x)
Пример
Найти функцию распределения для СВ из предыдущего примера.
X 0 1 2 |
|
841 |
; |
0 6 x 6 1; |
||||||||
|
|
|
|
|
> |
0; |
x |
6 |
0; |
|
||
|
|
|
|
F (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
4 |
2 |
4 |
|
> |
|
; |
1 |
|
x |
|
2; |
|
|
|
> |
4 |
6 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>1; |
x > 2: |
|
|||||
>
>
>
:
Функцией распределения
называется функция, определяемая следующим соотношением
F (x) = P(X < x)
Пример
Найти функцию распределения для СВ из предыдущего примера.
X 0 1 2 |
|
841 |
; |
0 6 x 6 1; |
||||||||
|
|
|
|
|
> |
0; |
x |
6 |
0; |
|
||
|
|
|
|
F (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
4 |
2 |
4 |
|
> |
|
; |
1 |
|
x |
|
2; |
|
|
|
> |
4 |
6 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>1; |
x > 2: |
|
|||||
>
>
>
:
Функцией распределения
называется функция, определяемая следующим соотношением
F (x) = P(X < x)
Пример
Найти функцию распределения для СВ из предыдущего примера.
X 0 1 2 |
|
841 |
; |
0 6 x 6 1; |
||||||||
|
|
|
|
|
> |
0; |
x |
6 |
0; |
|
||
|
|
|
|
F (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
4 |
2 |
4 |
|
> |
|
; |
1 |
|
x |
|
2; |
|
|
|
> |
4 |
6 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>1; |
x > 2: |
|
|||||
>
>
>
:
Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание |
число, определяемое по формуле |
M(X ) = x1p1 + x2p2 + : : : + xnpn:
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найд¼м математическое ожидание для СВ из предыдущих |
||||||||||
примеров. Вспоминаем закон распределения |
|
|||||||||
|
X |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M(X ) = 0 41 + 1 |
21 + 2 41 = 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание |
число, определяемое по формуле |
M(X ) = x1p1 + x2p2 + : : : + xnpn:
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найд¼м математическое ожидание для СВ из предыдущих |
||||||||||
примеров. Вспоминаем закон распределения |
|
|||||||||
|
X |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M(X ) = 0 41 + 1 |
21 + 2 41 = 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание |
число, определяемое по формуле |
M(X ) = x1p1 + x2p2 + : : : + xnpn:
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найд¼м математическое ожидание для СВ из предыдущих |
||||||||||
примеров. Вспоминаем закон распределения |
|
|||||||||
|
X |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M(X ) = 0 41 + 1 |
21 + 2 41 = 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
Числовые характеристики ДСВ
Математическое ожидание |
число, определяемое по формуле |
M(X ) = x1p1 + x2p2 + : : : + xnpn:
Пример |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найд¼м математическое ожидание для СВ из предыдущих |
||||||||||
примеров. Вспоминаем закон распределения |
|
|||||||||
|
X |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
Получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M(X ) = 0 41 + 1 |
21 + 2 41 = 1. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
Дисперсия средний квадрат отклонения СВ от е¼ математического ожидания:
D(X ) = M X M(X ) 2 èëè D(X ) = M(X 2) M2(X );
ãäå
M(X 2) = x12p1 + x22p2 + : : : + xn2pn:
Пример
Найд¼м дисперсию для предыдущих примеров:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M(X |
) = 0 |
|
+ 1 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|||||||
X |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
4 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
D(X ) = M(X 2) M2(X ) = |
|
12 |
= |
: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
Дисперсия средний квадрат отклонения СВ от е¼ математического ожидания:
D(X ) = M X M(X ) 2 èëè D(X ) = M(X 2) M2(X );
ãäå
M(X 2) = x12p1 + x22p2 + : : : + xn2pn:
Пример
Найд¼м дисперсию для предыдущих примеров:
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
M(X |
) = 0 |
|
+ 1 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
= |
|
|
; |
|
|
|||||||
X |
|
0 |
|
1 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
4 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
4 |
|
2 |
|
4 |
|
D(X ) = M(X 2) M2(X ) = |
|
12 |
= |
: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
Непрерывная СВ
Определение.
СВ называется непрерывной, если все е¼ значения целиком заполняют какой-либо интервал.
Функция распределения F (x) = P(X < x) будет непрерывной и
дифференцируемой почти во всех точках прямой.
Для непрерывных СВ характерно свойство P(X = a) = 0.
P(a < X < b) = F (b) F (a)
Пример
Íàéä¼ì P( 12 < X < 2) =
F (x) = |
81 x2 |
; |
|
1 6 x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
> |
0; |
|
x |
6 1; |
= F (2) |
|
F ( |
|
1=2) = |
|
|
|
|
|
= 1 (1 ( 1=2)2) = 1=4: |
|||||
|
<1; |
|
x > 0: |
|
|
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непрерывная СВ
Определение.
СВ называется непрерывной, если все е¼ значения целиком заполняют какой-либо интервал.
Функция распределения F (x) = P(X < x) будет непрерывной и
дифференцируемой почти во всех точках прямой.
Для непрерывных СВ характерно свойство P(X = a) = 0.
P(a < X < b) = F (b) F (a)
Пример
Íàéä¼ì P( 12 < X < 2) =
F (x) = |
81 x2 |
; |
|
1 6 x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
> |
0; |
|
x |
6 1; |
= F (2) |
|
F ( |
|
1=2) = |
|
|
|
|
|
= 1 (1 ( 1=2)2) = 1=4: |
|||||
|
<1; |
|
x > 0: |
|
|
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Непрерывная СВ
Определение.
СВ называется непрерывной, если все е¼ значения целиком заполняют какой-либо интервал.
Функция распределения F (x) = P(X < x) будет непрерывной и
дифференцируемой почти во всех точках прямой.
Для непрерывных СВ характерно свойство P(X = a) = 0.
P(a < X < b) = F (b) F (a)
Пример
Íàéä¼ì P( 12 < X < 2) =
F (x) = |
81 x2 |
; |
|
1 6 x 6 0; |
|
|
|
|
|
|
|
> |
0; |
|
x |
6 1; |
= F (2) |
|
F ( |
|
1=2) = |
|
|
|
|
|
= 1 (1 ( 1=2)2) = 1=4: |
|||||
|
<1; |
|
x > 0: |
|
|
|
||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|