Учебник системный анализ - Антонов

Еслиудаетсяпостроитьобобщенныйкритериальныйпоказатель,то

метод поиска Оптимального решения будет аналогичен методу оптими­

зации в случае единственного критерия. В зависимости от вида I\.'рите­

риального показателя в качестве метода решения могут быть исполь­

Зованы прямые оптимизационные процедуры, в Случае невозможности

аналИтического решения используются численные методы.

Условная маl<симизация

Вторым способом решения задач выбора в условиях наличия не­

Скольких критериальных показателей является сведение задачи к за­

даче условной максимизации. Данный метод решения задач выбора

целесообразно применять в тех случаях, когда заведомо известно, что

частные критерии неравнозначны междусобой, одни из них более важ­ ны, чем другие. В этом случае происходит выделение основного глав­ ного критерия, остальные рассматриваются как вспомогательн~е, до­

ПОЛнительные к выделенному. Такое разделение l\.'Ритериев ПОЗволяет

сформулировать задачу принятиярешений какзадачу определения ус­

ловного экстремума:

х' =arg(maxf(x)/q,(X)~Ci' i=l, 2, ...,р),

где черезf(х) обозначен основной критерий; Qi(X) - вспомогательные

или второстепенные критериальные функции. В ограничениях могут иметь место раЗЛИчные сочетания знаков: от строгого равенства до строгого неравенства. Например, если Вспомогательный критерий ха­

рактеризует стоимость затрат, то разумнее задавать их верхний уро­

вень и формулировать задачу с ограничениями в виде неравенств. Для

решения задач в такой постановке разработаны специальные методы математическогопрограммирования, рассмотренные вгл. 2 работы [57].

Нахождение nаретовСl<ого множества

Следующий способ многокритериального выбора состоит в срав­

нении альтернатив между собой по всем сформированным критериям

и Выделении ПОДМножества наилучших альтернатив. В данном подхо­

де отказываются от поиска одной единственной наилучшей альтерна­

тивы. Решающее правило в этом случае строится на основе аксиомы

В. Парето, которая формулируется следующим образом: «Если взада­

че принятия решений частные критерии независимы по предпочтению

и значение каждого из них желательно увеличивать, то из двух альтер­

натив, характеризуемых набором частных l\.'Ритериев, предпочтитель-

402

нее та, для которой выполняются соотношения Q\i(X) ~ Q2i(X~ по всем i,

где первый индекс хараl\.'Теризует номер стратегии, второи индекс -

номер частного l\.'Ритерия. То есть первая альтернатива предпочтитель­ нее второй только в том случае, когда значен~я ее частных критериев не меньше значений частных l\.'Ритериев второи альтернативы. Если все значения частных l\.'Ритериев одной альтернативы равны значениям кри­ териев другой, то альтернативы равнозначны». Таким образом, пред­ почтение одной альтернативе перед другой можно отдавать только если первая по всем критериям лучше второй. Если же предпочтение хотя бы ПО одному критерию расходится с предпочтением по другому, то

такие альтернативы признаются несравнимыми. В результате попарного

сравнения альтернатив все худшие по всем критериям альте~нативы от­

брасываются, а все оставшиеся несравнимые между собои принима­

ются. Если все максимально достижимые значения частных критери­

ев не относятся к одной и той же альтернативе, то принятые альтерна­ тивы образуют множество Парето и выбор на этом заканчивается. При необходимости выбора единственной альтернативы следует привлекать дополнительные соображения: либо корректировать систему предпоч­ тений, либо обращаться к услугам экспертов, либо воспользоваться ме­

тодами, рассмотренными ранее (построение обобщенного l\.'Ритерия или

сведение задачи к задаче поиска условного экстремума).

13.3. Выбор в условиях неопределенности

Рассмотренные до настоящего времени задачи осуществления

выбора формулировались таким образом, что последствия сделан~ого выбора предполагались однозначно определенными. Выбор ОДНОИ из альтернатив был связан с известным однозначным следствием. В этом

случае проблема выбора состояла в сравнении разных вариантов, Т.е.

альтернатив. .

Вреальной практике в большинстве случаев приходится иметь дело

сболее сложной ситуацией, когда выбор альтернативы неоднозначно определяет последствия сделанного выбора. Адекватное реальности

описание проблемы практически всегда содержит различного рода нео­

пределенности, отражающие то естественное положение, в котором

находится исследователь: любое его знание относительно инеточно.

Принято различать три типа неопределенностеЙ. С одной CTOPO~Ы это

неопределенности природы. К данному виду неопределенн?стеи отно­

сят факторы, неизвестные исследователю. Далее неопределенности про­

тивника. Нередки ситуации, когда исследователь принимает решения в

условиях, при которых результаты его решений не строго Однозначны.

Они зависят от действий других ЛИц (партнерьв, ПРОТИВНИI\.UВ и т.п.),

которые он не может учесть или предсказать. И, наконец, существуют так называемые неопределенности целей. Такая ситуация возникает в

Случае, когда при принятии решений формулируется несколько целей, которые в общем случае могут противоречить друг другу. В этом слу­

чае мы приходим к многокритериальной задаче выбора. Подходы к

принятиюрешения вусловияхмногокритериальнойзадачирассмотре­

ны в преДыдущем параграфе.

Существуеттакжеклассификациянеопределенностейпосоотноше­

нию альтернатив и исходов. Различаютнеопределенности ДИСI\.-ретного и непрерывного типа, стохастические ираСплывчатые неопределенно­

сти.

Рассмотрим следующую ситуацию: имеется набор ВОЗМожных ис­

ходову Е ~,из KOТOP~IXодин окажется совмещеннымс выбраннойаль­

тернагивои, но какои именно - в момент выбора неизвестно, а станет ясным позже, когда выбор уже сделан и изменить ничего нельзя. Бу­

дем предполагагь, что с каждой альтернативой Х связано одно и то же

Множество исходов У, дЛЯразных альтернатив одинаковыеисходы име­

ют разное значение. В случае ДИСI\.-ретного набора альтернатив и исхо­

дов та~ую ситуацию можно изобразить с помощью матрицы, представ­

леннои в табл. 13.1:

Таблица 13.1

В этой матрице все Возможные исходы образуют вектору = (У!,... ,

Уm), числа qij выражают оценку ситуации, когда сделан выбор альтер­

нативы Х; и реализовался исход у.. В I\.uнкретных случаях числа q. мо- ГУТ Иметь различныи~ смысл: этоJ Может быть «выигрыш», «потерюij >,

«платежи» и т.п. Если все строки qj = (q/!' ... , qtm) при любых i одинако­

вы, то проблемы выбора нет. Если же строки матрицы различны, воз­

никает вопрос, каl\.УЮ альтернативу предпочесть" не зная заранее ка-

кои~ из исходов реализуется.

404

Аналогичная ситуация возникает в случае, когда множества Х и У непрерывны. В этом случае зависимость между альтернативами и ис: ходами задается в виде функции qC?c, у), Х Е Х, У Е Ус соответствующеи постановкой вопроса о выборе Х.

Введенных до настоящего времени параметров недостаточно для формальной постановки задачи выбора. При различной КОНI\.-ретизации этой задачи она приобретает различный смысл и требует различных методов решения. Методологичесl\.UЙ базой для решен~я Tal\.UГO рода задач является теория игр. Метод решения КОНI\.-ретнои задачи будет зависеть от характера воздействующих на ситуацию факторов, не за­ висящих от лица, принимающего решения. Здесь необходимо различать

уже отмеченные ранее неопределенности пр~ироды и неопределеннос­

ти противника. В задачах выбора с природнои неопределенностью счи­

тается, что исходы у = (у!'...' Уm) есть возможные состояния природы.

Желательность каждой альтернагивы Х; зависит от того, каково состо­

яние природы, но узнать это состояние исследователь сможет лишь

после того, как сделан выбор.

В задачах выбора с неопределенностью противника предполагает­

ся что исходы У - это множество альтернатив, на I\.UTOPOM выбор осу­

щ~етвторойигрок.Вотличиеотприроднойнеопределенностиигрок

преследует свои интересы, отличные от интересов исследователя (пер­

вого игрока). При этом матрица Q= \\qjj\\' хараl\."Теризующая оценки си­

туаций с точки зрения системного исследователя или лица, принимаю: щего решения, выбирающего х, уже недостаточна для описания всеи

ситуации. Необходимо задагь вторую матрицу и = \\ин\\ ,описывающую

систему предпочтений с позиции противника. ЗаданиеХ У, Q и иназы­ BaeTcя нормальной формой игры. Расхождение между матрицами Q и иопределяет степень антагонизма лица, принимающего решения, и :го противника. Остановимся на анализе природных неопределенностеи и неопределенностей противника.

Природные неоnределенносmu

Рассмотрение природных неопределенностей начнем с примера.

Пусть перед системным аналитиком стоит задача проложить маршрут океанского лайнера и распорядиться запасом горючего так, чтобы суд­ но как можно быстрее дошло до пункта назначения. При этом извест­ но, что время нахождения в пути будет существенно зависеть от погод­

ных условий на трассе в момент ее прохождения. В данном случае по­ годные условия представляют собой природную неопределенность. Ситуация типична для ряда задач принятия решений. Рассмотрим ее

Подход основан на применении принципа наилучшего гарантированного

результата. Суть его состоит в следующем. Так как для любой альтер­

нативы х справедливо неравенство

таха /(х,а) ~ /(х,а) ,

то и для любого а Е Gа будет справедливо соотношение

f' =min,max a /(х,а) ~ min, /(х,а).

Чи~ло/", о~еделенное данным способом, назьmается гарантирован­

HO~ оценкои, ~ соответствующая альтернатива х = х· - гарантирован­ нои стратегиеи в том СМысле, что каково бы ни было значение пара­

метра неопредел:нности а, выбор х = х' гарантирует, что при любом а

значение целевои функции будет не меньше, чем/".

то в результате будет получен частный случай задачи со многими ак­

тивными партнерами. Общий случай ситуации со многими субъектами гораздо сложнее и требует для своего анализа целый ряд специфичес­ ких гипотез. Поясним это на примере двух субъектов. Итак, пусть два субъекта А и Б, располагающие возможностью выбора векторов х и у,

стремятся к достижению своих целей, которые будем записывать в виде

Лх,у)~тах, <p(x,y)~тax, хЕ Х, УЕ У.

В частном случае может оказаться, что / (Х, у) = - <р(х, у); такую

ситуацию называют антагонистической. Антагонистические ситуации

были предметом множества исследований и сделались основным объек­ том изучения в теории игр. Чисто антагонистическая ситуация являет­ ся в известном смысле вырожденной. Наиболее типичен конфликт, в

11

I

Общий случай нетождественности интересов (целей) партнеров

(субъектов) называют конфликтом. При изучении конфликтных ситуа­ ций, Т.е. при изучении возможных способов выбора, удобно отождеств­

лять исследователя с одним из субъектов. Условимся называть лицо, принимающее решение субъектом А.

В связи с тем, что исход выбора зависит от выбора субъекта Б, необходимо принять ту или иную гипотезу о его поведении, которое, в свою очередь, будет зависеть от характера информированности субъек­ та Б. Здесь возможно существование нескольких гипотез (нескольких

случаев).

1) Каждый из субъектов не имеет никакой информации о выборе, который сделал другой субъект. В этом случае имеется возможность

найти гарантированную оценку. Для субъекта А она будет выражаться

формулой

f* =max,minyf(x,y),

для субъекта Б - формулой

<р* == таху min, <р(х,у).

Решая сформулированные задачи, определяют векторы х" и у", ко­ торые реализуют значенияf" и <р". Такое решение означает, что сделав

выбор х = х", лицо, принимающее решение, при любых условиях (лю­

бом выборе у Е У) гарантирует, что значение целевой функцииf(х, у)

будет не меньше, чемf".

В этой ситуации могут быть предложены различные варианты рис­ ка. Например, имеется возможность принять гипотезу о том, что дру­ гой субъект использует гарантирующую .стратегию у = у". Тогда необ­

ходимо делать другой выбор:

f* =тах, f(x,y*).

В этом случае определяется вектор х = х\ И соответствующее зна­

чение функцииf= р. При этомр ~ f, но если противник сделает иной выбор, например, у == уl, то может оказаться, чтоf(хl, у1) <f". В дан­

ной ситуации следует иметь в виду, что риск есть риск, и если исследо­ ватель сформулировал гипотезу и она оказалась неверной, то и резуль­

тат может оказаться не тем, который ожидается.

2) Вторая ситуация характеризуется тем, что исследователь во

время принятия решения имеет информацию о выборе субъекта Б, Т.е.

ему известно выбранное субъектом Б значение у.

408

,.

) .

Тогда стратегию (выбор) х следует искать в виде функции х = х(у).

Данная стратегия может быть определена эффективно, для этого тре­

буется решить задачу оптимизации

f(2) =тах, f(x,y).

Решая данную оптимизационную задачу, определяем искомую страте­ гию х == х(у). Для этого случая можно также вычислить гарантирован­

ный результат (он будет отличен отf О):

j =minymaxxf(x,y)

и во всех случаях j ~ f *.

Заметим, что выбирая свою стратегию - вектор х - лицо, принима­

ющее решение, никак не можем повлиять на выбор, который сделал

другой субъект.

3) Предположим теперь, что субъект Б в момент принятия своего решения будет знать выбор лица, принимающего решение (субъектаА);

например, субъектА обязан сообщить свое решение субъекту Б. В этом случае исключается возможность оказать влияние на выбор, который

сделает субъект Б. В самом деле, если исследователь знает целевую

функцию субъекта Б, то естественно сделать предположение о том, что субъект Б будет делать выбор из условия

<р= таху <р(х, у).

Решая данную задачу исследователь может определить отклик

субъекта Б на свой выбор, который, согласно сформулированной гипо­

тезе, будет оптимальной стратегией субъекта Б:

у = у(х).

Теперь имеется возможность распорядиться выбором вектора х. Подставляя последнее выражениев формулудля целевой функцииf(х,у),

можно получить

f(x,y(x» == F(x).

Свой выбор исследователь может сделать из условия

рз) = F(x).

Итак, информация о том, что субъектБ будет знать выбор лица, при­

нимающего решения, а также гипотеза о том, что субъект Б выберет

свою оптимальную стратегию, позволяют так воздействовать на его выбор, чтобы он в максимальной степени соответствовал целям иссле­

дователя.

409

обеспечивающую наибольшее значение этой оценки:

Х· = arg тах/ minj q/j.

Эта альтернатива называется оптимальной по максиминному кри­

терию. Если платежную матрицу определить не через выигрыш, а че­

рез проигрыш, то тот же принцип рассмотрения приводит к минимакс­

ному критерию. Минимаксный критерий использует оценочную функ­

цию, соответствующую позиции крайней осторожности. Правило выбора

решения в соответствии с минимаксным критерием можно интерпре­

тировать следующим образом: матрица платежей, на основании кото­

рой осуществляется поиск оптимального решения, дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов qir каждой строки. Выб­

рать надлежит те варианты Х/' в строках которых стоят наибольшие

значения q/r этого столбца.

Допущение пусть даже малой вероятности а. принятия ошибочного решения не исключает возможности риска. Полное устранение риска при принятии решений практически даже и не требуется; мало того,

определенная степень риска вводится сознательно, так как принятие

решения без риска, например, с предельно пессимистической позиции, как правило, невыгодно. Однако при этом разумный риск следует отли­ чать от риска азартного игрока. Любой риск, во-первых, должен учи­

тываться по возможности полно, описываться количественными харак­

теристиками и ограничиваться, а во-вторых, ни в коем случае не пре­

вышать уровень, при котором результат достигается с достаточной на­

дежностью. В качестве опорного для оценки риска принимается реше­

ние, получаемое на основании минимаксного критерия, так как данное

решение соответствует позиции крайней осторожности.

Влитературе встречается различное понимание термина «риск» и

внего иногда вкладывают довольно сильно отличающиеся друг от друга

трактовки. Однако общим во всех этих представлениях является то, что

под риском понимают неуверенность, произойдет ли нежелательное

событие и возникнет ли неблагоприятное состояние. Проблемы риска,

тем не менее, часто приходится решать, и выбор варианта решения в

общем случае, так или иначе, связан с риском. Поэтому попытаемся

найти такое определение риска, которое в достаточной степени соот­

ветствовало бы содержанию рассматриваемых задач и в то же время отвечало бы общей концепции теории принятия решений.

С понятием риска часто связывается представление о возможных

или грозящих событиях с катастрофическими последствиями и поте­

рями. Отсюда следует точка зрения, что такого события следует из­

бежать любой ценой. При ожидаемых потерях, связанных с жизнью и

здоровьем, это представление выражено особенно резко, и оно ясно

формулируется в соответствующих инструкциях, например по технике безопасности. Конечно, нужно четко сказать, что полностью свобод­ ной от риска техники, несмотря на самые большие затраты, не суще­

ствует. Однако техническим задачам далеко не всегда сопутствуют

такие отягчающие обстоятельства. Ущерб вследствие решения, при­

нятого с учетом риска, может оказаться ничтожно малым по сравне­

нию с затратами на то, чтобы избежать такого ущерба. Учитывая не­

обходимость количественных оценок, можно предложить следующую

формулировку понятия риска: величинариска, связанная с реализацией

нежелательного события или состояния, есть произведение величины

последствий реализации события на меру возможности его наступле­

ния.

Обозначим через А некоторое нежелательное событие или состоя­

ние, которое может произойти. Пусть данное событие характеризуется

некоторой вероятностью наступления Р(А) и некоторыми последствия­

ми U(А). Тогда риск, связанный с наступлением событияА, будет опре­

деляться следующим образом:

R(A) '"U(А) Р(А).

Последствие в принципе нежелательного события или состояния

может в соответствии со своей величиной описываться и оцениваться

специфическими параметрами. Диапазон при этом весьма широк - от

экономических до этических ценностей. Мерой возможности наступле­

ния события служит вероятность q его наступления.

При угрозе материальным ценностям степень риска измеряют в

денежном выражении. Если различные последствия нежелательного

события одинаковы или очень велики, то для сравнения достаточно

рассматривать одни соответствующие вероятности. Наряду с этим может быть угроза ценностям, которую нельзя выразить количествен­

но, например, когда последствия события нельзя предусмотреть дос­ таточно полно. Примером могут служить последствия выхода из строя прибора, используемого в различных областях народного хозяйства,

которые поставщик оценить не может. В этом случае мерой риска ос­ тается принять вероятность превышения предела нагрузки. При риске, связанном со здоровьем, последствия могут быть частично оценены количественно в таких категориях, как простой в работе или расходы на оплату подменяющего персонала и Т.П. При риске, связанном с ле­

тальным исходом, количественные оценки последствий в большинстве

случаев отсутствуют. При существовании угрозы жизни люди в насто­ ящее время почти всегда, тем не менее, работают. Особые проблемы

возникают в случаях, когда опасность грозит и людям, и материальным

ценностям одновременно, и желательно меру такого риска сравнить с

другими рисками. Риск может быть явно связан с факторами, не под­

дающимися учету. Так, эстетический вред, наносимый построенным

сооружением уникальному ландшафту, практически невозможно оце­

нить.

Заключительная оценка риска бывает проста, когда имеют дело

только с угрозой материальным ценностям, а возможный ущерб выра­

жен количественно. При угрозе материальным ценностям и невозмож­ ности количественно выразить возможный ущерб нужно этот ущерб

оценить приблизительно и продолжать рассмотрение, мирясь с таким

недостатком информации. Поскольку нецелесообразно идти на сколь

угодно большие затраты, чтобы устранить риск полностью, нужно оце­

нить угрозу людям. Субъективные оценки сильно отклоняются от из­ вестных частот реализации тех или иных нежелательных событий. Зна­ чения риска субъективно привлекательной деятельности обычно зани­

жаются. Риск события, на которое оценивающему трудно или невозмож­

но оказать влияние, наоборот, обычно переоценивается. Риск события катастрофического характера, как правило, тоже получает более вы­ сокую оценку. Кроме того, субъективные оценки меняются со време­ нем. В результате из-за этих некорректностей субъективные оценки не могут быть положены в основу технических решений.

Сравнение рассматриваемой рискованной ситуации с возникавши­

ми в прошлом аналогичными ситуациями дает для оценки риска более

надежные исходные данные. Проблема оценки этим, однако, все же не

решается. В отдельных случаях, конечно, можно довольствоваться

требованием, чтобы допустимый риск был заведомо ниже имевшего

1,

1,

место в аналогичных ситуациях ранее. Но в других случаях, особенно при очень высоком уровне затрат, проблема остается нерешенноЙ. Тре­ бование четко ограничить допустимые вероятности реализации неже­ лательного события наталкивается на препятствия, обусловленные

следующими положениями:

• такого рода границы должны быть независимыми от экономичес­

ких затрат, но аналогичная независимость должна существовать так­

же для угрозы безопасности людей и материальным ценностям;

•лицо, принимающее решения, должно для подобных границ прини­

мать общее решение, учитывающее всю специфику частных случаев;

•одно лишь утверждение, что такие границы будут соблюдаться, может освободить лицо, принимающее решение, от обязанности ана­

лизировать ситуацию дальше и направлять свои усилия на дальнейшее снижение угрозы безопасности людей. При этом возможны случаи, КOIДa ценой очень небольших затрат опасность может быть еще больше сни­

жена, а этим пренебрегают, поскольку границы уже установлены;

• утверждение, что выдерживаются определенные границы, пред­

полагает качественное единство данных, что на самом деле недости­

жимо, так как имеют место проблемы самого различного типа;

• ограничения допустимого риска зависят от времени и меняются с

изменениями технических и экономических возможностей общества. Угроза безопасности людей чаще всего состоит из многих состав­

ляющих риска, например, из основного существующего риска, риска

вследствие ошибок и риска, на который идут сознательно при извест­

ных условиях.

Любой математический алгоритм оценки риска должен исходить из

того, что твердо установлен экономический эквивалент угрозы. Этот

эквивалент должен быть обоснован в том смысле, что он соответству­

ет затратам, которые общество при данных условиях может себе по­ зволить, чтобы предотвратить или уменьшить угрозу. Необходимо вос­ препятствовать тому, чтобы, с одной стороны, ценой больших затрат был уменьшен и без того незначительный риск, а с другой - чтобы оставался большой риск, который может быть устранен снебольшими затратами. Установить такой эквивалент - еще не значит добиться успеха. И при многоцелевых решениях эквивалент такого типа не уда­ ется получить без влияния субъективных факторов. Тем не менее, эти

эквиваленты делают более ясным риск при принятии решения и помо­

гают лучше определить ответственность за выполненную оценку. Ре­

шения, связанные с риском, BceIДa остаются для исследователя сомни­

теllЬНЫМИ, так как нельзя заранее определить затраты для четкого раз­

деления во всех случаях оправданного и неоправданного риска. Про-

контролировать, был ли оправдан данный риск, удается BceIДa только после наступления нежелательного события, и возможно это только при оправданных убытках.

Примеры формирования риска в задачах

системных исследований

Техиический риск. Технические объекты подвергаются опасно­

сти при возрастании нагрузки. Если при этом будет превзойден предел (например, прочности), произойдет выход объекта из строя. В данном

частном случае под риском целесообразно понимать вероятность на­

ступления определенного сочетания неблагоприятных событий. Риск

целесообразно описывать вероятностью при следующих условиях:

а) если последствия выхода из строя объекта нельзя выразить эко­

номическими показателями;

б) если экономические соображения играют подчиненную роль; в) если экономические последствия важны, но не поддаются коли­

чественной оценке;

г) если последствия столь велики, что без особых рассуждений

нужно минимизировать вероятность выхода объекта из строя.

Технический риск характеризуется, таким образом, вероятностью

превышения предела. Если Х и У- случайные переменные, причем Х

характеризует нагрузку, а У - несущую способность, то для техничес­

кого риска справедливо соотношение

Rm = р(Х> У).

Если существуютплотности распределения нагрузки и несущей спо­

собностиfjх) иf/у), то при независимостиХ и У можно записать

о -

Rт = J(J !x(u-v)!y(u)du)dv.

Если, к"роме того, известна зависимость плотностей распределения от времениfjх, t) иf/у, t), то получим

Rт = Jо (J- !x(u-v,t)!y(u,t)du)dv.

Зависимость плотности распределения нагрузки от времени отра­

жает характер воздействия факторов во времени на исследуемый

объект. Зависимость плотности распределения несущей способности от времени отражает процессы старения в самом исследуемом объекте.

415

Таким образом, задача определения технического риска сводится к

определению плотностей распределения нагрузки и несущей способно­

сти.

Технико-экономический риск. В данном пункте рассмотрим случай, когда последствия при конкретных нагрузке Хи несущей спо­

собности Уможно описать функцией h(x, у). На первый взгляд кажется

важным рассмотреть критический случай, когда х > у, Т.е. когда уро­

вень нагрузки превышает несущую способность. Это условие можно

было бы выразить в виде h(x, у) = о для х ::; у и однозначно оценить

критический случай х>у простым утверждением, что при этом h(x,y) = 1.

Однако реальные данные из практики показывают, что первые призна­

ки разрушения появляются еще до достижения нагрузкой несущей спо­

собности, и, наоборот, в других случаях, при нагрузке, превышающей несущую способность, объект продолжает функционировать. Так что

ограничение функции h(x, у) всего двумя значениями О и 1 может ока­ заться слишком грубым описанием. Определим технико-экономичес­

кий риск R при независимости нагрузки Хи несущей способности Уи известных eплотностях распределенияjр) иj.Jy) ожидаемых случай­

ных величин следующим соотношением:

R. = f fh(u,v)fx(u)fy(v)dudv.

Для определенного данного значения х нагрузки условное матема­

тическое ожидание риска равно

R.(x) = fh(u,v)fy(v)dv.

Угроза безопасности людей. Если при анализе безопасности тех­ нических объектов существуют события Ai, при достижении которых возникает угроза здоровью обслуживающего персонала, описываемая

количественно функцией потерь h(Ai), то для описания функции риска

можно пользоваться выражениями, аналогичными тем, которые были

получены для технико-экономического риска. Если функцию потерь сформировать не удается, то в качестве меры риска допустимо исполь­

зовать вероятность наступления нежелательного события, как это было

сделано в случае технического риска. Дополнительно следует, однако,

рассмотреть еще ряд возможных случаев.

Угроза при эксплуатации технических средств определяется двумя

категориями влияний - событиями, представляющими угрозу, и попа­ данием в опасную зону. События, представляющие угрозу, и попадание

I

t

:.

",1.

!J'[,....

, i

I

f

I

I

в опасную зону - явления случайные. В предположении равномерности распределения событий во времени можно получить следующие выра­ жения для вероятности наступления собьrrия, представляющего угрозу:

Р(А) = ТА

Т

и для вероятности попадания в опасную зону:

Р(Е) = ТЕ .

Т

То есть вероятности выражаются как отношения интервалов вре­

мени. Здесь приняты следующие обозначения: ТА - суммарная продол­ жительность события, представляющего угрозу; ТЕ - продолжитель­ ность пребывания в опасной зоне; Т- рассматриваемый интервал вре­

мени, для которого принимается решение.

Если событие А, представляющее угрозу, и пребывание в опасной зоне Е независимы, то вероятность совместной реализации этих двух событий можно оценить по формуле

Р(АnЕ) = Р(А)Р(Е).

Эта формула говорит, что при данных значениях Р(А) и Р(Е) следу­

ет считаться с вероятностью совпадения опасностей, Т.е. одновремен­ ного наступления представляющего угрозу собьrrия и попадания в опас­

ную зону в рассматриваемый отрезок времени. Однако отсюда не сле­ дует, с какой вероятностью нужно ожидать реализации по меньшей мере одной угрозы. Поэтому при использовании величины как вероятности

угрозы возможны серьезные ошибки в интерпретации рассматриваемых

ситуаций.

13.5. Принятие решений в условиях стохастической

неопределенности

При решении вопросов системных исследований, таких как проек­

тированис автоматизированных систем, организация их эксплуатации и

т.п. возникает большое количество задач, в основе которых лежат ве­

роятностные модели объектов или процессов, описывающих исследуе­ мые явления. Примерами таких задач являются задачи оценивания параметров эффективности и надежности технических средств, прогно­

зирование поведения параметров системы, задачи, связанные с конт­

ролем работоспособности и диагностикой неисправностей при функци-

онировании систем и отдельных компонентов, задачи организации оп­

тимального обслуживания технических средств, задачи обоснования

срока службы отдельных элементов, узлов, подсистем. В большинстве

случаев существуют естественные вероятностные модели, отражаю­

щие реальный ход процессов динамического поведения объектов. Эти модели строятся на основе математических, физических или техничес­ ких закономерностей, отражающих функционирование отдельных объек­ тов, воздействие объектов друг на друга. В ряде случаев для построе­ ния вероятностной модели используется объективная информация о поведении объектов в процессе эксплуатации. ПО результатам обработки этой информации с помощью специальных методов математической

статистики производят построение зависимостей. Например, существу­

ющие методы проверки статистических гипотез позволяют обоснованно подойти к выбору законараспределения некоторой случайной величины на

основании реализовавIШIXСЯ значений.

И, наконец, существуют ситуации, когда построение вероятностной модели происходит субъективно, на основании интуиции и опыта сис­ темного аналитика. При построении вероятностной модели на основа­ нии субъективной информации необходимо тщательно анализировать комбинации состояний динамических объектов, возможность появле­

ния критических ситуаций, степень вероятности ситуаций. Необходимо

также привлекать информацию о сходных процессах, результатах при­ ближенных расчетов.

Следует заметить, что при построении вероятностных моделей про­ цессов предпочтение следует отдавать моделям, учитывающим объек­ тивные данные. Субъективные оценки необходимо применять, когда отсутствуют возможности для получения объективных данных. Одна­

ко в некоторых задачах учет субъективных вероятностей наряду с

объективной информацией бывает весьма полезным. При формирова­ нии субъективных вероятностей исследователь должен постараться выразить вероятности рассматриваемых событий через вероятности бо­ лее простых явлений, которые либо являются заданными, либо подда­ ются объективной оценке или вычислению.

Общей чертой всех подобных задач является необходимость вы­

бора на основании косвенных или прямых, но обязательно «зашумлен­ ных» данных. Основным предположением для формализации решения

задач такого типа является предположение о вероятностном характере

экспериментальных данных.

Методологической основой для решения задач выбора в такой по­

становке является теория оптимальных статистических решений. В

основе данной теории лежит понятие стаТистической функции риска.

Рассмотрим постановку задачи. Будем считать заданным вероят­

ностное распределение Р на множестве возможных исходов У, причем значение Р(у) определено для каждого исхода у. Предположим, что

системный аналитик, не зная результата развития системы, должен принять решение, последствия которого зависят от этого результата

(исхода). Пусть Х множество всех возможных решений, которые мо­

жет принять исследователь. Положим, что в результате выбора реше­

ния х и реализации исходау исследователь получает доход r, принадле­

жащий пространству всех возможных доходовR. Понятие «доход» обыч­

но определяют через полезность, которая служит для численного вы­

ражения предпочтений лица, принимающего решения.

Элементы множества R, которые названы доходами, могут быть весьма сложными объектами. Приведем примеры: множество билетов

на различные концерты; множество возможных экономических состо­

яний фирмы в определенный момент времени в будущем, измеряемых

разностью ее денежных доходов в будущем и в настоящий момент; множество экономических состояний государства и Т.д.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий понятие дохода в задачах

системных исследований. Пусть решается задача выбора варианта

реализации структуры сложной системы. Группа проектировщиков дол­ жна принять решение о выборе одного варианта реализации системы

управления из нескольких рассматриваемых. В качестве множества

доходов, получаемых от реализации того или иного варианта, могут служить денежные доходы, получаемые в результате внедрения сис­

темы выработки и принятия управляющих воздействий с использова­

нием конкретного варианта структуры системы по сравнению с тради­

ционным способом управления. Под доходом может также понимать­

ся длительность обработки запросов пользователей; длительность об­

работки результатов функционирования отдельных подразделений, на­

пример цехов; точность и достоверность выводов, полученных в резуль­

тате реализации управляющих воздействий и т.Д. Совокупность всех

этих составляющих образует вектор дохода конкретного варианта реа­

лизации структуры системы.

Для любого множества R у системного аналитика будут предпоч­

тения к тем или иным доходам. В некоторых ситуациях эти предпочте­

ния очевидны. Например, в случае денежных доходов, чем больше

доход, тем он предпочтительнее.

Сложнее сформулировать предпочтение в случае, когда доход -

векторная величина. При сравнении двух векторных доходов, если K~­

дая компонента первого вектора представляется более желательнои,

нежели соответствующая компонента второго вектора, то предпочте-

ние отдается первому вектору. Если первый выгоднее только в отно­ шении некоторых своих компонент, в то время как второй вектор пред­

почтительнее по другим компонентам, то какому из этих векторов от­

дать предпочтение, не очевидно. для окончательного решения вопроса

следовало бы приписать соответствующие веса отдельным компонентам.

При сравнении двух доходов r\ Е R и r 2 Е R пишут '\ -< '2' если r 2

предпочтительнее rl' и r j ::::: r 2 , если r j эквивалентен r 2, Т.е. имеет место

одинаковая выгодность. Если r\ не является более предпочтительным,

чем r 2 , то пишут r\ ~ r 2•

Предполагается, что на основе своих предпочтений среди доходов системный аналитик может задать полное упорядочение множества R. Другими словами налагаются следующие условия.

1.Если r \ и r 2 - произвольные доходы из множества R, то верно одно

итолько одно из следующих соотношений:

2.Если rl' r 2 и rз - доходы из R, причем r\ ~ r 2 и r 2 ~ rз, то r\ ~ rз.

Наконец, будем предполагать, что не все доходы в R эквивалентны

между собой, Т.е. исключается тривиальная ситуация, а именно, пред­

полагается, что So -< 10 хотя бы для одной пары So Е R, to Е R.

В большинстве задач аналитик не вполне свободен в выборе дохо­ да. Обычно он может лишь выбрать из некоторого класса возможных распределений вероятностное распределение на R, согласно которому будет определен его доход.

Например, ставится вопрос о выборе определенного технологичес­

кого процесса из двух или более возможных таких процессов. Хотя до­

ходы и можно точно выразить через производительность и издержки,

производственные характеристики различных процессов могут быть

описаны лишь вероятностью.

Другой пример. Системный аналитик хочет получить информацию о значении некоторого параметра. Его доход - это количество инфор­ мации об этом значении, получаемое после эксперимента. Пусть он выбирает эксперимент из некоторого класса доступных ему, но инфор­ мация, которую он получит в каждом из экспериментов, носит случай­ ный характер. В любой задаче такого рода аналитик производит выбор

не непосредственно среди доходов из множества R, а среди вероятно­ стных распределений на R.

Вероятностное распределение на множестве доходов задают в том

случае, когда величина, определяющая доход, имеет характер непре­

рывной случайной величины. Так, в задаче выбора определенного тех­

нологического процесса из нескольких возможных вариантов для каж-

дого процесса могут быть известны средние характеристики. Однако

в реальной эксплуатации характеристики технологического процесса

могут изменяться в широких пределах. На них оказывает влияние ряд

факторов, таких как наJIИчие ресурсов для стабильной работы предпри­

ятия психологический климат в коллективе, состояние здоровья работ­

ник~в, занятых в данном производстве и т.п. Таким образом, доход,

получаемый от реализации конкретного варианта технологического про­

цесса, будет величиной случайной, зависящей от большого количества

факторов.

То же можно сказать и в случае решения задачи выбора варианта

структуры системы управления. Допустим, что проектные документы

гарантируют некоторые характеристики качества функционирования системы, такие как быстродействие системы, объем информации, пе­ редаваемой по каналам связи, объемы памяти и т.д. Но необходимо отдавать отчет в том, что эти характеристики являются средними. Они

могут существенно меняться в зависимости от характеристик конкрет­

ных технических средств, например, характеристик надежности. Так,

частые отказы одной системы приводят к снижению характеристик ка­

чества, в то время как надежная работа другой системы позволяет

поддерживать ее характеристики качества на достаточно высоком уров­

не. В данном случае вектор дохода, получаемого от эксплуатации сис­

темы, будет величиной случайной, зависящей от вероятности безотказ­

ной работы технических средств (впрочем, как и от ряда других фак­

торов).

Функции полезности

Таким образом, величина дохода, получаемого от реализации того

или иного варианта решения, является случайной величиной, зависящей от различных факторов. В случае благоприятного стечения факторов

можно получить максимальный доход от выбора определенной альтер­

нативы. В случае неблагоприятного стечения факторов получают ми­

нимальный доход. Естественно, что будет некоторое количество про­

межуточных доходов, зависящих от вероятности реализации того или

иного набора факторов.

Поскольку доходы могутиметь различное выражение (денежное вы­

ражение дохода, быстродействие системы, объем памяти и т.п.) необ­

ходимо обеспечить возможность их сравнения. Как было указано ра­

нее нужно иметь систему предпочтений, систему весовых коэффици­

ентов, с помощью которых можно было бы производить сравнение ва­

риантов реализации различных альтернатив, когда они описываются век-