Учебник системный анализ - Антонов

I

) I

,1

':,

i

1

, !

но, интервальный), часть сводится к выбору одной из нескольких под­

сказок, а часть представляет собой TeKcnI и Т.д.

Статистические методы анализа нечисловых данных нашли широ­

кое применение в экономике, социологии, при проведении экспертно­

го анализа. Дело в том, ЧТО в этих областях от 50 до 90% данных явля­

ются нечисловыми.

6.6. Характеристика и классификация

статистической информации

Классическая схема обработки результатов наблюдений, состоит в

предположении, что в каждом испытании реализуется наблюдаемый

признак. Например, при испытании объектов на надежность каждый

объект доводится до отказа. Такая схемаявляется идеализацией реаль­

но проводимых исследований. В реальной жизни, в особенности при

проведении обследования функционирующих объектов, информация,

поступающая на обработку, крайне ограничена. Например, при эксплу­ атации объектов их стараются не доводить до отказа. Более того, на

предприятии, как правило, существует система предупредительных

профилактических мероприятий, суть которых заключается в том, что­ бы не допустить возникновение отказов изделий в процессе их функ­

ционирования. Даже при организации специальных экспериментов с

целью определения характеристик надежности партии иСпытываемой

продукции не удается всю партию довести до отказа, так как для этого

потребовалось бы большое время проведения эксперимента. Аналогич­

ные данные поступают на обработку и в других областях проведения

исследований. Например, в области социологии или психологии для

части испытуемых рассматриваемый признак может наблюдаться, для

части - нет (скажем, при определении среднего возраста вступления в

брак часть анкетируемых может ответить, что до настоящего времени в браке не состоит). При проведении исследований в медицине у части больных за время наблюдения исследуемый признак может не реали­

зоваться. Так, если анализируется воздействие некоторого препаратана состояние больного и фиксируется время, в течение которого наступа­

ет ~ыздоровление, то у одних пациентов процесс выздоровления может

поити быстро, удругих медленнее, ау некоторойчасти завремя наблю­

дения он может не наступить. Возможно он реализуется в дальнейшем,

но вывод о результатах исследования формируется в данный момент

времени и часть наблюдений, таким образом, является не доведенной

до конца. Но, несмотря на то, что для части объектов исследования яв-

182

ляются не доведены до конца, в них содержится полезная информация, которую необходимо использовать при обработке результатов наблю­

дений. Данные, для которых имеется неопределенность в наблюдени­

ях за реализацией исследуемого признака, называются цензурирован­

ными данными.

Цензурирование - это процесс возникновения неопределенности момента реализации признака объекта (в теории надежности момента

отказа), причем интервал неопределенности считается известным. Ин­

тервалом неопределенности называется интервал времени, внутри ко­

торого произошла либо произойдет реализация наблюдаемого призна­

ка объекта, при этом точное значение времени реализации признака

объекта неизвестно.

Поняmuе о цензурuрованной выборке

Рассмотрим основные понятия и определения, применителъно к ин­

формации, поступающей на обработку на примере задачи оценивания

показателей надежности.

В процессе анализа надежности приходится сталкиваться с ситуа­

циями, когда определенная часть объектов или систем не отказывает за

период наблюдения, а другая часть отказывает, но моменты отказов точно неизвестны. В таких ситуациях возникает необходимость прове­ дения статистического анализа надежности на основе специфических

выборок, основной особенностью которых является отсутствие сведе­

ний о моментах отказов контролируемой части изделий. Это явление

носит название цензурированных данных, а получаемые в результате

выборки - цензурированными выборками (ЦВ).

Под данными, применительно к задачам надежности, понимают

фиксированные значения наработок изделий, полученные по результа­

там испытаний или эксплуатационных наблюдений. Данными цензури­ рованной выборки являются наработки как отказавших объектов, так и неотказавших объектов, а также интервалы времени, в течение которых объект отказал, но момент отказа точно неизвестен.

Цензурированной выборкой называется выборка, элементами которой являются значения наработки до отказа и наработки до цензу­ рирования, либо только значения наработки до цензурирования. Как было отмечено ранее, цензурирование - это процесс возникновения неопределенности момента отказа объекта, причем интервал неопреде­ ленности известен аналитику. Интервал неопределенности - интер­ вал наработки, внутри которого произошел либо произойдет отказ объекта, причем точное значение наработки до отказа неизвестно. Этот

183

1: '

!

1 1

I

11

1.1

I!

;11

Необходимо обратить внимание на то, что цензурирование интер­

валом является наиболее общим видом цензурирования, так как при

устремлении правой границы интервала к бесконечности этот вид цен­

зурирования превращается в цензурирование справа, а при устремле­

нии левой границы интервала к нулю - в цензурирование слева. При

устремлении границ интервала друг к другу цензурирование исчезает.

Рассмотрим понятие «наработка». Полная наработка - это нара­

ботка изделия до отказа. Неполная наработка - наработка объекта от начала испытаний или эксплуатации до прекращения испытаний или эксплуатационных наблюдений до отказа. Условная наработка при

цензурировании слева - это значение интервала, измеряемого в еди­

ницах наработки, в пределах которого произошел отказ. Эта наработка

названаусловной потому, что объект может не работать в пределах всего

интервала, так как отказ может наступить в некоторой части этого ин­

тервала. Наработка при цеизурировании интервалом складывается

из неполной наработки и условной наработки при цензурировании слева.

Причины появления цензурированных данных

Отметим причины появления цензурированных данных на приме­

ре обработки результатов наблюдений с целью определения характери­

стик надежности объектов. Причиной появления цензурированных дан­

ных в данном случае является специфика организации функциониро­ вания объектов, состоящая в том, чтореально функционирующие объек­ ты в процессе работы до отказа стараются не доводить. На предприя­

тии регулярно проводятся планово-профилактические работы (ППР),

цель которых состоит в восстановлении работоспособности объектов.

В большинстве случаев схема функционирования элементов следую­

щая: в период проведения ППР объекты выводят из работы и на их ме­

сто ставят новые. Работоспособность снятых объектов восстанавлива­ ется до первоначального уровня; если есть необходимость, производят их ремонт, настройку, чистку и прочие мероприятия. При проведении

следующих ППР эти устройства ставятся в систему, аобъектыI' которые

находились в работе, выводят для проведения восстановительных ме­

роприятий. Особенностью функционирования является также наличие контроля исправности работы элементов, их замена при достижении

определенной наработки, независимо от того, отказал элемент к дан­

ному моменту или нет.

Рассмотрим более детально причины возникновения цензурирован-

ных данных.

185

11

1,'

I

I!I

11

Глава 7

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ

ИНФОРМАЦИИ

7.1. Оценивание показателей систем и определение

их точности

При решении вопросов построения моделей систем особую акту­

альность имеет задача формирования исходной информации о парамет­

рах элементов, входящих в состав системы. От точности и достовер­

ности исходной информации зависит точность оценок анализируемых

характеристик систем, точность расчетов по оптимизации стратегий

функционирования и правил их обслуживания, решение проблем, связан­

ных с прогнозированием поведения системы в будущем, и другие воп­

росы. При формировании исходной информации о параметрах элемен­

тов, как правило, за основу берется информация, получаемая в ходе проведения обследования систем и изучения опыта ее эксплуатации.

Иными словами за основу берется информация о поведении комплек­

тующих элементов системы в процессе ее функционирования. Анализ исходных показателей элементов, узлов, составных частей,

который производят на этапах эксплуатации, испытаний, конструкторс­

ких разработок, выполняется в целях разрешения следующих вопросов:

1)определения фактических значений исследуемых характеристик

комплектующих элементов в условиях их реальной эксплуатации;

2)выявления взаимосвязи изучаемых характеристик элементов и

условийихэксплуатации, анализавлияния наисследуемыепоказатели вне-

3) прогнозирования поведения вновь создаваемого оборудования. Таким образом, для решения указанных задач, в первую очередь,

необходимо организовать контроль за поведением оборудования в ре­

альных условиях его эксплуатации. В дальнейшем информация, полу­ чаемая в процессе эксплуатации объектов, используется для построе­ ния моделей систем, в отношении которых проводится анализ.

188

При проведении экспериментальных исследований большую роль играет информация, полученная в результате наблюдений за объекта­ ми, поведение которых имеет вероятностную природу. Изучение таких

систем осуществляется по результатам реализации выходных парамет­

ров, являющихся случайными величинами. Наиболее общей характе­

ристикой, описывающей поведение одномерной случайной величины,

является ее плотность распределенияf(t). Зная плотность распреде­

ления случайной величины, можно однозначно определить такие харак­

теристики, как вероятность реализации некоторого события, интенсив­ ность наступления события, среднее время между реализациями собы­ тий и пр. Приведем формулы, позволяющие оценить соответствующие

показатели.

Вероятность реализации события за время t определяется по фор­

муле

I

Q(t) =F(t) =Jf(t)dt.

о

На практике часто находит применение величина, определяемая

через функцию распределения следующим образом:

P(t) = 1- F(t).

Например, в теории надежности так определяется вероятность бе­ зотказной работы.

Среднее время между реализациями событий определяется из соот­

ношения

- -

ТМ = Jtf(t)dt = JP(t)dt.

оо

Интенсивность наступления события можно определить по формуле

лсt) = f(t) = dF(t) _1_ =_ dP(t) _1_.

Таким образом, зная плотность или функцию распределения случай­

ной величины, можно перейти к определению характеристик сложной

системы. На практике функция распределения бывает неизвестна. Ее

приходится восстанавливать по статистическим данным реализации

случайной величины. Поскольку статистика о результатах наблюдений

всегда присутствует в ограниченном виде, восстановление функции

распределения возможно с некоторой долей достоверности. Следова­

тельно, если функция распределения оценена с определенной ошибкой,

189

11,

i i

I

11I

то и вычисление характеристик системы будет также осуществляться с ошибкой.

Точность оценивания показателей сложных систем характеризует­ ся величиной дисперсии. Пусть необходимо произвести оценивание не­ которого показателя Покажем, как определяется дисперсия в его оценке. Будем считать, что показатель R(t) определяется через функ­ цию распределения. Пусть функция распределения зависит от двух па­

раметров <1 и р. Примерами двухпараметрических функций являются

нормальное распределение, усеченное нормальное, логарифмически нормальное, гамма-распределение, распределение Вейбулла и ряд дру­

гих. Итак, пусть F(t) = F(t, <1, р). Соответственно оцениваемый показа­

тель сложной системы можно представить как функционал от

F(t) = F(t, <1, р):

R(t) = R[F(t,a,~)] = R(t,a,~).

РазложимоценкуR(t) в рядТейлоравточке<1, р и ограничимсятре­

мя членами:

К обеим частям данного выражения применим операцию вычисле­

ния дисперсии

D[R(t)] == [дR(t)]2D[a.] +[дR(t)]2D[~]+ 2 дR(t)дR(t)coy(a.,~)

да д~ да д~ ,

где соу(а, ~) - ковариация между параметрами &. и ~. Таким образом,

для оценки дисперсии некоторого показателя необходимо определить ча­

стные производные данного показателя по параметрам закона распре­

деления и дисперсии в оценке параметров закона распределения.

Рассмотрим вопросы определения частных производных для пока­

зателей, введенных выше для конкретных законов распределения. Оп­

ределение дисперсии оценок параметров законов распределения будет

описано далее.

В качестве примера рассмотрим определение частных производных

оцениваемого показателя по параметрам закона распределения для

нормального закона.

190

Нормальное распределение

Плотность нормального закона распределения имеет вид

fN(t,т,cr)= г;:;1-::. ехр(t-т)2)

2'

,,2ха 2а

Соответственно функция распределения записывается следующим об­

разом:

Определим один из показателей надежности - вероятность безот­

казной работы:

Среднее время между реализациями событий определяется по форму­

ле

Соответственно частные производные определяются как

191

I

,I!

,I

I

И, наконец, для интенсивности наступления события имеем

1-_I_fexp

J2пcr о

Выражения для частных производных имеют вид

дЛN(t,т,cr) fN (t,т,cr)~(1-FN(t,т,cr))-fN (t,т,cr)[1-FN(t,т,cr)]~ .

Таким образом, представлены формулы для определения соответ­ ствующих производных показателей по параметрам закона распреде­ ления для нормального закона. Обобщением нормального закона рас­

пределения является усеченное нормальное распределение. Рассмот­

рим применение одностороннего усеченного нормального распределе­

ния в задачах оценивания показателей сложных систем. В ряде задач

системного анализа случайные параметры положительно определены. Примером могут служить задачи теории надежности, в которых слу­

чайные параметры имеют область определения от О до 00, например,

наработка до отказа - величина положительно определенная. В этом

случае нормальный закон распределения применять для описания дан­ ных случайных величин неправомерно. В таких ситуациях применяют

усеченное слева нормальное распределение. Рассмотрим данный слу­

чай применительно к оцениванию показателей надежности.

192

Одностороннее усеченное нормальное распределение

Плотность распределения усеченного нормального закона с одно­

сторонним усечением слева в точке О имеет вид

_сехр( (х- Jl)2 ), х>О;

Соответственно функция распределения запишется как

Fy.H(t,Jl,b) == .J;пЬ!ехр[ (X;:)2 Jdx.

Перейдем к определению вероятностных показателеЙ. Вероятность бе-

Введем обозначения:

Соответствующие производные имеют вид

д~н(t,Jl,Ь) _ ~Q-~R.

дJl - Q2

1.

..

l'

I

I

,11

"

"

I

,

11

I i

I

: :

, ,

Q; =- ~ехр(-~)+~[Ф(Fъ)+0,5J

Среднее время между реализациями событий определяется по форму-

ле ,

Обозначим числитель через L.

Соответствующие производные вычисляются по формулам

Наконец, интенсивность наступления событий равна

Введем обозначение

м =ехр(_ (t~~)2 }

Определим производные интенсивности по параметрам

_д~-".::..н(t_,J.I._Ь_) = M~(Q-R)-(Q-R)~M.

M~ =t~~exp(_(t~~)2} (Q-R)~ =ехр(-(t~~)21

и последнее выражение

194

дЛу.н(t,fJ.,Ь) _ M;(Q-R)-(Q-R)~M

где соответствующие составляющие определяются по формулам

(Q-R)~ = t2-Ь~ехр(-(t2-Ь~/)+ ..rл _ ..rл ф(t-Jb~).

Логарифмически-нормальное распределение Логарифмически-нормальному закону распределения подчиняется

случайная величина (, логарифм которой распределен по нормальному закону. ПЛотность распределения логарифмически-нормального закона

имеет вид

Функция распределения имеет вид

где В = Ь2• Запишем формулы для определения показателей надежности

Рл.н(t,~,В)=l-Inllехр( - x~:)2 I)ш.

Соответствующие производные имеют вид

Для определения средней наработки до отказа используют формулу

Тлн(t.~.В)= ехр(~+~).

195

13"

'1 II

li

Производные равны

Выражение для определения интенсивности отказов имеет вид

Распределение Вейбулла

Плоmость распределения ·ВеЙбулла имеет вид

f,(t,a,b)~~(~ге>р[-(~J)

функцияраспределения

FB(t,a,b) = l-ехр[-(~J].

196

т-

'\ где а - параметр масштаба; Ь - параметр формы распределения Вей­

булла.

Запишем выражение для вероятности безотказной работы

Вычислим производные данного выражения по параметрам распреде­

ления:

дPB~~a,b)=~(~Jln(~}xpl-(~J; дPB~~a,b)=-(~Jln(~}xpl-(~Jj.

Средняя наработка до отказа определяется по формуле

Соответствующие производные равны

Интенсивность отказа равна

Лв(t,а,Ь)= ~(~г

Производные по параметрам имеют вид

Соответствующие производные равны

дТг(а, л) _ а. дТг(а, л) 1

Интенсивность отказов записывается

г " [l-г~:)[ха-lеХР(-'Ах)dx]г(а)'

смотрены наиболее часто используемые в системном анализе законы

распределения. Получены формулы для определения основных показа­

телей систем и вычислены первые частные производные показателей

по параметрам соответствующих законов распределения. Следующим

вопросом, который требует решения, является вопрос оценивания па­

раметров выбранного закона распределения. Рассмотрим, как решает-

ся данная задача.

11

I

I

7.2. Использование метода максимального правдоподобия для оценивания

параметров законов распределения

Метод максимального правдоподобия широко используется при оце­ нивании параметров сложных систем. Этот метод служит основой про­

цедур проверки статистических гипотез и доверительного интерваль­

ного оценивания. Оценки характеристик, получаемые методом макси­ мального правдоподобия, обладают рядом важных свойств, таких как несмещенность, асимптотическая эффективность, состоятельность [35].

Рассмотрим применение метода максимального правдоподобия для решения задач оценивания параметров законов распределения. Вид закона распределения исследуемой случайной величины будем предпо­

лагать известным.

Определим функцию правдоподобия параметра 8 как неотрицатель­

ную вещественную функцию L(8, t), заданную на множестве ехт, про­ порциональную функции плотности распределения:

;=1

где е - область определения вектора параметров 8; Т- область опре­ деления наблюдаемой случайной величины t, по результатам наблюде­

ния .за которой про-изводится оценивание параметров 8; ~ - реализа­

ция случайной величины t; 8 - в общем случае вектор параметров за­

кона распределения.

Оценкой максимального правдоподобиядля заданной функции прав­

доподобия L(8, t) является функция в(Т) , удовлетворяющая соотноше­

нию[36]:

це(Т),Т}=supLCe,T).

ее6

Поскольку 10 L(8, t) при фиксированных тl' т2, ••• , тn достигает макси­ мума при том же значении 8, что и L(8, t), значения 8 можно опреде­

лять, решая уравнение

alnL(e,T) =0.

де

для величины 10 L(8, t) используют обозначение 1(8, t).

200

Одним из важных достоинств метода максимального правдоподо­ бия является то, что он позволяет получить асимптотически нормал~­

ные и эффективные оценки параметров функции распределения СЛУЧ~­ ной величины t. для этого необходимо, чтобы выполнялся ряд условии,

называемых условиями регулярности [32].

Для каждого 8, принадлежащего некоторому невырожденному ин-

тервалу е, существуют производные

для каждого 8 из е ИJ.:fеем

\af:t)\ < F;(t); \д2~~?,t)\< F2 (t); \a31na~;e,t)\< H(t),

где F\(t), F (t), H(t) - некоторые функции, удовлетворяющие следую-

2

конечен и положителен.

Используя методмаксимального правдоподобия при наличии~оль-

ших объемов выборки, можно произвести оценивание дисперсии век­

тора оценок 8. для этого составляется информационная матрица Фи-

шера