Учебник системный анализ - Антонов

,111

,

1111

1')'

Рис. 11.7. Граф переходов замкнутой системы (процесс размножения и гибели)

d

dt Pk(t) = -(Лk +J.l.k)Рk(t)+ЛнРн(t)+J.l.k+IРk+l(t); k ~ 1.

Используя эти уравнения, можно перейти к частным случаям ис­

следования систем, если определить все Лk и !J.k'

Замкнутые системы при n > т. Пусть n - потенциальное число требований, участвующих в процессе массового обслуживания; т - число каналов; !J. - интенсивность обслуживания требования одним кана­ лом. Будем считarь, что все каналы идентичны. Интенсивность входяще­ го потока зависит от числа поступивших требований. Если k - число по­

ступивших требований, то \ = (n - k)Л.

Интенсивность обслуживания системы также зависит от числа тре­ бований и вычисляется как

Граф переходов, соответствующий этому случаю, идентичен изоб­ раженному нарис. 11.7; при этом интенсивности переходов будут иметь

значения

1..0 =nЛ,Л1 = (n-l)Л"",Лn_1 =1..;

J.l.1 = J.I.,J.l.2 = 2J.1.,···,J.l. m = mJ.I.,···,J.l. n = mJ.I. .

Дифференциальные уравнения для данного графа состояний:

-d РО(t) = -nлРо(t) +J.l.P1(t); dt

d

dt Рn(t) = -ЛРn_1(t) +mJ.I.Pn (t).

( Для установившегося режима получим стационарное решение:

используя обозначения ТМО

00 = Pk +1 • '1' = ?: ,

после элементарных преобразованииу по~учим·.

, 1'1

, , 11:

,!

11

1,11'1

1,11

I !'

I1

откуда имеем

k=m+l

пия,3. Среднее число требований, находящихся в системе оБСлужива-

4. Среднее число свободных каналов в устаНОВившемся режиме

m-l

N o = L(m-k)pk •

11.5.Пример расчета надежности Системы

сограниченным количеством запасных элементов

Характерным примеро~ таких~~~~источникамиПОВышенногориска.

I

1,:

.,1

"

, i

Рассмотрим функционирование объекта с запасными элементами более подробно. В начале работы элемент находится с вероятностью 1 в состоянии (n, 1) (в наличии имеется n запасных элементов, объект работоспособен). В случайный момент времени с интенсивностью от­

каза A(t) элемент переходит в состояние (n, О) (n запасных элементов,

объект в состоянии отказа, начинается замена элемента). С интенсив­ ностью восстановления !J.(t) объект переходит в состояние (n - 1, 1) ((n - 1) запасной элемент, объект работоспособен), из этого состояния возможны переходы в состояние (n,1) с интенсивностью восстановле­ ния v(t) (ремонт окончен, в резерве опять n элементов) или в состояние

(n - 1, О) с интенсивностью A(t) (ремонт не закончен до наступления

следующего отказа) и так далее. Состояние (О, О) является пог.лощаю­ щим и означает отказ объекта и отсутствие запасных элементов.

Рассмотренная стратегия функционирования может быть описана марковским процессом и представлена в виде системы дифференциаль­

ных уравнений

dP . (t)1 dt = -Л(t)Рn.1(t) +v(t)P _ ; (t); n1 n 1

dPn.o(t)1 dt =-Jl(t)Рn.о(t) +л(t)Рn;(t);

dP;.1 (t)1 dt =Jl(t)P;+1.0 (t) +V(t)P;_I.1 (t) - (л(t)+V(t»P;.1 (t);

dPo.o(t)/dt =Л(t)Ро/t).

в большинстве случаев систему (11.13) можно упростить, если по­

ложить параметры модели A(t), !J.(t), v(t) постоянными величинами. Для

электронных блоков и элементов после завершения периода приработ­

ки параметр потока отказов можно считать константой: A(t) = А. Ана­

логичные допущения можно сделmъ и для величин !J.(t) = /l, v(t) =v. Тогда система (11.13) может быть записана в виде

366

dPn1 (t)ldt = -ЛРn,l(t)+vРn_1.1(t); dPn.o(t)1 dt = -IlРn.о(t)+лРn,1(t);

...................................................

dpi.o(t)1 dt = лР;/t)-JlPi,О(t);

...................................................

dP (t)ldt=JlP1,o(t)-(л+v)Ро;(t);

0.1

dpo.o(t)/dt =лРо/t);

i=I ...n-l.

В общем случае при больших n решение системы вызывает значи­

тельные трудности. В частныХ случаях, задаваясь конкретным значе­ нием n _ числа запасныхэлементов, решение системы можно получить

аналитически. Покажем возможность аналитического решения для

случая одного запасного элемента. Запишем систему дифференциаль-

ных уравнений:

dP11. (t)ldt = -ЛРl,l(t)+vРоl(t); dP10 (t)ldt = -JlP1.0(t) +ЛР1.1(t);

dP ,1 (t)1 dt =JlP1.0(t) - (л+у)Ро,1(t); O

dPo,o(t)/ dt = лРо;(t),

преобразуем эту систему с помощью преобразований Лапласа

(р+л)R(р)ц -vR(Р)О,1 = 1;

(P+Il)R(P)I,O -ЛR(Р)I.1 =0;

(р+Л+v)R(Р)О.I-IlR(Р)I,о = о;

pR(p)o,o -лR(Р)о,1 =0;

решим данную систему относительно R;/p), получим

367

(Ан~итическое выражение корней через л, !J. и v не приводится, в силу

своеи громоздкости.) После применения операции обрагного преобра­ зования Лапласа получим следующие результаты:

для системыдифференциальныхуравненийтипа(11.14) стационар­ ного режима не существует, так как при времени работы, стремящем­ ся к бесконечности, вероятность попасть в поглощающее состояние

стремится к единице.

Однако систему (11.14) можно упростить, если записать условно-

стационарное состояние. Для этого положим равным нулю все произ­

водные, стоящие в левых частях уравнений, кроме последнего. В ре­ зультате такого допущения мы сознательно увеличиваем ошибку ито­

гового результата, но такой подход, с одной стороны, позволяет суще­ ственно упростить решение, с другой стороны, сохраняет зависимость

вероятностей от времени.

В итоге получим систему

0= -АР.,I(t) +VP._1•1(t);

0= -JlP.,о(t) +ЛР.;(t);

............................................

0= JlP;+I,O(t) +VP;_I,I (t) - (л+У)Р;,I(t);

0= лР;,1(t) - JlP;,o (t);

............................................

0= JlPI,O(t) - (л +У)Ро,1(t);

dPo,o (t)/dt =лРо;(t);

i =l ...n-l.

Произведем элементарные преобразования, запишем итоговый ре­

зультат

......................................

Р _Jl p .

iJ -i ;,0'

Р=~p -~p .

Л11;,1;+1,0 ;-1,1'

......................................

369

л

Рn-11. =-V Рn.о'

и такдалее, Воспользовавшись условием нормировки можно записать

,я одного запасного элемента

с= ЛJl+л2 +ЛV+JlV

для двух запасных элементов

Таким образом, получено простое решение задачи расчета надеж­ ности объекта с ограниченным количеством запасных элементов, в случае возобновляемого ЗИП с заданными распределениями наработ­

ки до отказа, времени восстановления и ремонта. Рассмотрена страте­

гия функционирования системы, имеющей запасные элементы, в кото­

рой восстановление отказавшего элемента осуществляется путем его замены из числа запасных, отказавший элемент ремонтируется случай­

ное время и после ремонта возвращается в зип. Данная схема функ­ ционирования элемента максимально приближена к стратегии, имею­

щей место в практике функционирования систем, важных для безопас­

ности атомных станций.

В заключение можно отметить, что предложенная стратегия явля­ ется обобщением модели «размножения и гибели»; она более объек­ тивно отражает процесс функционирования объектов, так как учитыва­ ет пребывание системы в неработоспособном состоянии во время за­ мены отказавшего элемента. Это обстоятельство является очень важ­ ным, когда речь идет об объектах повышенного риска.

,1,

Глава 12

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ВСИСТЕМНОМ АНАЛИЗЕ

12.1.Организация ВЫЧИслительного процесса

Прирешениилюбойзадачисистемного анализапредполагаетсявы­

полнение трех этапов: на первом этапе строится модель исследуемой

системыI' на втором - осуществляется формулирование цели исследо­

вания и постановка задачи и, наконец, на третьем - ВЫПолняется соб­ ственно решение поставленной матемаТической задачи. Суть первых

двух перечисленных этапов состоит в формализации объекта исследо­

ванияиформализованномпредставлениицелиисследования. Врезуль­

тате выполняемых действий разрабатываются модели: с одной сторо­

ны модель объекта исследования, с другой - модель целей исследова­

H~, выражениемкоторойявляются критериииограничениязадачи. Тре­ тии этап заключается в решении сформулированных задач, получении

числовыхрезультатов и исследовании решений. для грамотного прове­

дения вычислительных процедур требуется глубокое знание математи­

ческих методов, искусство организации ВЫчислительных процедур

неформальноеОТношениекпровоДимым вычислениям, котороеподра~

зумевает привлечение исследовательского, творческого мышления

ВажнооСознавать,чтошавнаяцельрасчетовнечисла, апониманиеCYT~

исследуемых явлений и процессов. Иными Словами за числами необ­

ходИмо видеть существо проблемы.

Остановимся на некоторых вопросах, которые необходимо иметь в

виду при вуыполнении третьего, заключительного этапа Системных ис­

~:едовани~. Однимизпервыхвопросов, накоторыйтребуетсяответить,

едующии: «Будут ли рассчитанные величины соответствовать тре­

буемым реЗультатам системного анализа?». В первую очередь следу­

ет заметить, что нельзя ожидать от закаЗчика работ по системному

~нал~зу Точного ответа навопрос, что он хочет Получить в результате.

же ыло отмуечено ранее, что заказчик формулирует проблему в об­

щем. С другои стороны вполне естественным является тот факт что

при проведении системных исследований на ряде стадий или дa~e в

372

11.1

.'1'

i 11

ление некоторых показателей системы, то возможно предсказать зна­

чения этих показателей в моменты времени равные нулю и бесконеч­ ности. Учет такой информации может привести к уточнению модели или

послужить для проверки правильности полученных результатов.

Иногда критический подход к анализу неизвестной ситуации может

вызвать новые формулировки задачи, которые в свою очередь приве­ дут к более г.лубокому пониманию исследуемых процессов. В процес­ се такого анализа может также быть обнаружено, что были сделаны

излишне ограничительные предположения относительно модели и что

ИХ можноvлегко устранить. Во всяком случае, следует понять роль ог­

раничении и включить в вычисления проверки, которые покажут цен­

ность тех или иных предположений. Анализ входной информации, осо­ бых точек и специфических особенностей системы и ее частей может вызвать новые требования к содержательному оформлению выходной информации.

Только после того как проведен всесторонний и тщательный анализ

исходной информации и продуманы требования к выходной информации, необходимо приступать к обдумыванию организации вычислительного процесса. На данном этапе в первую очередь необходимо выбрать метод решения поставленной задачи. Следует иметь в виду, что анали­ тическое решение часто гораздо лучше численного, а оценка ошибок может быть выполнена более точно.

Принятый план вычислений должен использовать как можно боль­

ше первоначальных данных. Математические приближения по форму­

лам должны соответствовать характеру принятой модели. План вычис­ лений должен включать как верификацию программ, так и проверку правильности ИТОГОВОГО результата. Необходимо, чтобы бьmа вычис­

лена или получена из других источников некоторая избыточная инфор­

мация, чтобы на ее основе можно бьmо выполнить проверки результа­ тов. И наконец, необходимо постараться объяснить любые полученные решения, верные или неверные, пусть это даже будет связано с затра­

тами времени на выяснение факта их правильности.

Следует отметить еще одно обстоятельство, почти неизбежно в процессе вычислений появляется новая информация, которая может привести к необходимости внесения изменений в первоначальный план. Но прежде чем вносить изменения, требуется выяснить причины появ­ ления этой информации. Дает ли данное изменение что-то новое об ис­ пользуемой модели? Нет ли необходимости ввиду появления новых

данных вновь подойти к вопросу о проверке построенной модели? Изменения не должны вноситься поспешно, им следует посвятить

столь же тщательное обсуждение, как и разработке первоначального

плана. Следует помнить, что если все идет как задумано, ~o ценноСТЬ

такого расчета не очень велика. Как раз из неожиданностеи могут воз­ никнуть новые идеи ирешения. Таким образом, к ситуации, когдапри­

ходится вносить изменения в первоначальный план, следует относИть­

ся скорее как к счастлиВОЙ возможностИ, чем как к неудаче. Естествен­

но, что если такая ситуация возникла из-занедоработок наранних эта­

пах, то это будетлишнимпримером ценностИ предварительного обду-

мыванияВсегда. соблазнительно, взявшись за решение задачи, быстро вне-

стИ мелкиеизменения, не заботясьо последствиях иосложненИях,осо­

бенно еслирезультаттребуетсяполучить копределенномусроку. Ивсе­

таки спешка в этот момент может свести на нет всю прежнюю тща-

тельную работу.

Отметим еще раз, что цель расчетов не числа, а понимание, следо-

вательно, специалист, который должен этого понимания достиГНУТЬ, обязан знать, как осуществляется процесс вычисления. Если он не по­

нимает, что делается, то мало вероятно, чтобы он извлек из вычисле­

ний что-нибудь ценное. Он видит голые цифры, в то время как их ис­ тинное значение может оказаться скрытым в вычисленияХ. Результат,

который получается в процессе вычислений, завиСИТ от того, что по­

ступает на вход моделИ, и оттого, что с этими данными делают. Если

непониматьпромежуточныепроцессы,весьмалеГКОперепутатьэффек­

тЫиспользованнойпри вычисленияхмоделисэффектами, обусловлен­

ными всевозможнымИ аппроксимациями, приближениями иТ.П.

Часто процесс вычисления проливает свет на саму обрабатывае­

мую модель. Вычисления являются cpeДCTBO~ получения числовых результатов, но они также представляют собои орудие разума для ис­

следования мира. Если ставиТСя задача понять суть происходящих яв­

лений, автор модели должен следить за вычисленИЯМИ. Это не означа:

ет выполнение всей мелКОЙ работы, но если он не будет в достаточнои

степени понимать все, что делает машина, он вряд ли сумеет осмыс­

лить даже правильно построенные вычисленИЯ. v

Следует еще раз отметить, что объектом системныХ исследовании

являются сложные системы различной природы. Поэтому постановкИ

задач системноГО анализавесьмасложны. Причемсложность обуслав­

ливаетСЯ рядом факторов, это и большое количествО параметроВ мо­ дели, и сложность самих моделей, многокритериальность задач при

наличии многих ограничений и т.д. Ввиду ЭТОГО прирешении задач си­

стемных исследований большое применение находятчисленные мето­ ды. На рассмотрении некоторых наиболее важных и часто применяе-

мых остановиМСЯ далее.

375

12.2. Метод последовательных приближений

MeTO~последовательных приближений применяется для решения

уравнении или Систем уравнений в случаях, когда искомые параметры

не могут быть выражены в явном виде. В общем случае будем пред­

полагать, что имеется некоторая функция F(x) и необходимо найти та­

кие значения аргумента х, для которых

Функция F(x) может иметь какой угодно вид, она может быть ал­

гебраической или трансцендентной, единственное, что будем предпо­

лагать - это ее дифференцируемость.

В общем случае функции, которыми оперируют в задачах Систем­

ных исследований, не имеют аналИтических формул для своих корней.

Поэтомупуиходитсяпользоватьсяприближенными методаминахожде­

ния корнеи, которые в основном состоят из двух этапов:

1)нахождениеприближенного значениякорня'

2)уточнение приближенного значения до нек~торой заданной сте­

пени точности.

Приближенное значение корня уравненияF(x) = О часто бываетиз­

вестно изуфизических соображений. Еслиэто значение неизвестно, его

можно наити с Помощью грубого анализа функции. В качестве рекомен­ дации можно предложить следующий метод. Определяются два такие

значения х, для K~TOPЫX F(x) имеет противоположные знаки, Т.е. опре­

деляются такие х и х., для которых

F(x) > О и F(x.) < О.

Тогда междух· и х. есть по крайней мере однаточка, гдеF(x) = О. В качестве исходного приближения для нахождения корня F(x) можно

ВЗять

хо = 0,5 (х· + х.).

Рассмотрим теперь процедуры, ОТНОСящиеся ко второму этапу _

уточнению первоначального приближения. Численный метод, в котором

производится последовательное уточнение первоначального грубого

приближения, называется методом итераций. Каждый шаг в таком

методе называется итерацией. Если при последовательных итерациях получаются значения, которые все ближе и ближе приближаются к ис­

тинному значению корня, то говорят, что метод итеративного решения

сходится. Одним из методов получения решения с Помощью итератив­

ных процедур является метод последовательных приближений.

376

Метод последовательных приближений. Сформулируем поста­ новку задачи. Имеется система уравнений вида (12.1). Необходимо

определить вектор параметров Х = (Х)' Х2'"'' xk), при котором функция

(12.1) достигает максимума.

Вначале рассмотрим применение метода последовательных прибли­ жeHий для случая, когда требуется определить один параметр. Преоб­ разуем уравнение (12.1) к следующему виду: G(x) = х. Это преобразо­ вание можно получить, прибавив к правой и левой частям уравнения

(12.1) искомую величину х, Т.е.

Пусть хо будет исходным приближенным значением корня уравнения (12.2). Тогда в качестве следующего приближения принимается значение

х) = F(xo) + Хо'

На втором шаге в качестве приближения возьмем

Х2 = F(x)) + x t •

Продолжая этот процесс дальше, в качестве n-го приближения прини­

маем значение

хn = F(xn _t ) + xn _t '

Процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнута задан­

ная точность решения уравнения. Правило остановки можно задать

следующим образом: вычислительный процесс заканчивается, когда

выполняется соотношение Ixn- xnJ ~ Е, где Е - заданная точность вы­

числения.

Представляет интерес рассмотрение метода последовательных при­

ближений для двухпараметрического случая. Случай оценки двух па­

раметров имеет прикладное значение в статистических задачах, когда

исследуемые процессы описываются законом распределения с неизве­

стными параметрами. Для определения параметров приходится решать,

например, уравнение правдоподобия. Часто систему уравнений макси­ мального правдоподобия трудно решить в явном виде. Даже для экс­ поненциальных семейств система уравнений правдоподобия может быть нелинейна и трудна для решения, как это происходит при оценке параметров распределения Вейбулла. Двухпараметрические распреде­ ления, например нормальное, Вейбулла, гамма-распределение, находят

широкое применение в теории надежности.

При оценивании двух параметров закона распределения необходи­

мо решать систему

Xl : F(xl'x 2 )+X1 ;

{ Х2 - F(Xl'X 2 )+X2 •

Задавая вектор начального приближения (XIO,x~), находим первые

приближенные оценки:

Повторяем эту процедуру до 'тех пор, пока разность

(Ix; -х;-II,lх; -x;-II) не попадаетв е-окрестность. Иными словами, дол­

жны совместно выполняться соотношения:

н -x;-II ~E,

IX;-X;-II~E.

Значения (x1n ,х; ) принимаются за искомую оценку вектора вычис­

ляемых параметров.

Усовершенствованный метод последовательных приближе­ ний. Этот метод разрабатывался в целях обеспечения более быстрой

сходимости оценок Более быстрая Сходимость по сравнению с обыч­ ным методом последовательных приближений достигается за счет того,

что при каждой итерации делается большая поправка к очередному

значению параметра Х;, Иначе говоря, вместо того, чтобы полагать

применяют следующую формулу:

378

Формула итеративного метода приобретает в этом случае следующий

вид:

хn_1 -Хn-2

Метод Ньютона-Рафсона. Метод основан на разложении функ­

ции F(x) в окрестности а

Rx) = F(x l ) + (а - x t) F '(x l ) = О.

Произведем элементарные преобразования в данном уравнении, полу­

чим

а = х _ F(x) .

F'(x)

Заменим искомый параметр его первым приближением, получим

Далее организуем итеративный процесс

Если начальное приближение Хо выбрано близко к корню уравнения (12.1) и если производная F'(x) для i=l, 2, ... не равна нулю, то последо­

вательность, порожденная соотношением (12.3) сходится к а.

12.3. Численное интегрирование

Задачи, в которых требуется вычислить интегралы, возникают на

разных этапах решения задач системного анализа. Иногда удается найти аналитическую формулу, Т.е. выразить неопределенный интеграл в виде

комбинаций алгебраических и трансцендентных функций, после чего

остается вычислить значение определенного интеграла, подставив в

формулу пределы интегрирования.

В большинстве случаев не удается найти никакой аналитической

формулы или же она получается настолько сложной, что вычисля:ь

интеграл с ее помощью труднее, чем другими способами. В таких си­

туациях приходится применять различные методы численного интегри-

379

рования, которые основаны на том, что интеграл представляется в виде

предела суммы площадей. Далее вычисляют эту сумму с достаточно

высокой степенью точности.

Рассмотрим постановку задачи. Пусть необходимо вычислить оп­

ределенный интеграл

ь

1 == ff(x)dx

а

при условии, что а и Ь конечны иf(х) является непрерывной функцией

Х во всем интервале а ~ Х ~ Ь. Представляют интерес также те случаи,

когда один или оба предела интегрирования бесконечны, либо когда подынтегральная функция имеет особенности внутри интервала интег­

рирования или на его концах.

Общий подход к решению задач численного интегрирования будет

следующим. Определенный интеграл/ представляет собой площадь, ог­

раниченную кривойf(х), осью Х И прямыми Х = а их = Ь. Задача зак­

лючается в вычислении интеграла. При этом интервал интегрирования

разбивается намножество более мелких подынтервалов, приближенно

вычисляется площадь каждой полоски, получающейся при таком раз­

биении. Далее площади полосок суммируются.

Существует множество методов вычисления определенных интег­

ралов, основанных на таком разбиении и последующем суммировании. Рассмотрим некоторые из них.

Метод прямоугольников. Пусть интервал [а, Ь] разбит на мно­

жество подынтервалов [X j , xj +1). Будем считать, что на рассматривае­

мом подынтервале интегрируемая функция почти КOHcтaнTa:j(x)::::: const.

Тогда для данного подынтервала можно положить: /; "" (Х;+l - Х)f (~), где ~ - произвольная точка на рассматриваемом подынтервале. Если в

качестве такой точки взять среднюю точку подынтервала, получим формулу

1.'" (х. _х.)!(Х;+1 -xj )

•. +1 . 2 .

Далее, производя суммирование по всем подынтервалам, получим фор­

мулу интегрирования по методу прямоугольников

где n - количество подынтервалов на отрезке интегрирования.

380

1

I

\.

11~

Ij

I

I

Метод трапеций. В отличие от метода прямоугольников, где пред­

полагалось, что интегрируемая функция на каждом подынтервале близ­ ка к константе, в методе трапеций принимается допущение, что функ­ ция на каждом подынтервале может быть приближена линейной функ­

цией. При таком предположении интеграл заменяется площадью тра­

На рис. 12.1 приведена иллюстрация рассмотренных методов ин­

тегрирования путем замены определенного интеграла конечной суммой,

а именно показано увеличенное представление элемента площади, ограни­

ченной функциейf(х), осью Х и прямыми Х = Х.I их = Х.1+1 . Пунктирной линией выделенатрапеция, которой заменяется площадь под кривой ин-

тегрирования. В центре отрезка тонкой прямой линией отмечена высо­

та прямоугольника, которая используется в качестве сомножителя в

методе прямоугольников.

Ошибка интегрирования методом трапеций. При интегриро­

вании с использованием формулы (12.5) возникает ошибка, равная сум­

ме площадей между кривой У = f(x) и хордами, соединяющими точки

У; = f (Х) и У;+\ = f (X;+I)' Оценим ошибку, разлагая функцию У = f (Х) в

ряд Тейлора в точкахХ; и Х;+l'Это разложение позволит получить урав­ нение исходной кривой в виде, удобном для сравнения точного значе­

ния интеграла с приближенным, вычисленным по формуле (12.5). Рассмотрим разложение функции У = f(x) в ряд Тейлора в окрест­

ности точки Х = Х( Предположим, что интегрируемая функция имеет

у

Рис. 12.1. Иллюстрация численного интегрирования методом трапеций

381