Учебник системный анализ - Антонов

Приведем формулы для определения дисперсии параметров зако­

нов распределения для двухпараметрических плотностеЙ. Пусть а и

~ - оцениваемые параметры плотностиf(а, ~, (). Пусть определены

элементы информационной матрицы

ii

l'

:1'

1,./(,"

ное распределение. Например, данное распределение широко исполь­

зуется в теории надежностидля описания случайной величины наработки

до отказа. Плотность экспоненциального распределения имеет вид

I,(л, (); функция распределения Fэ(л, () = 1 - ехр(-Лt). Параметр л назы­

вается интенсивностью отказов. Запишем функцию правдоподобия

~(л,t)=ЦлеХР(-Л1';)=лn ехр(-Л~1';}

Для определения оценки параметра л необходимо решить уравне-

ине

Перейдем к рассмотрению примеров применения метода макси­

мального правдоподобия для оценивания параметров некоторых зако­

нов распределения, имеющих важное значение в задачах системного

анализа.

202

После дифференцирования получаем оценку максимального правдопо­ добия параметра экспоненциального закона распределения

i=_n_.

tr.

1=1

Дисперсия оценки параметра л характеризует точность этого парамет­

ра и равняется

Для интенсивности отказов, зная оценку параметра и ее дисперсию,

можно определить доверительный интервал с заданной доверительной

вероятностью. Если обозначить верхнюю и нижнюю оценки интенсив­

ности отказов через "-в и ЛИ' то можно определить

где t - табулированная величина, которая зависит от уровня доверитель­

ной JJвероятности ~ и определяется обратным интерполированием рас­

пределения Стьюдента [37, табл. 6.2].

Определение среднего времени между реализациями событий про­ изводится по формуле

203

интервальные оценки равны

Вероятность безотказной работы определяется следующим обра­

зом:

Рэ(t,А) = exp(-At),

соответственно интервальные оценки вычисляются так:

~1(t,A) = ехр (-Анt);

РВ(t,A) = ехр (-Авt).

Рассмотрим далее пример оценивания параметров нормального

закона распределения.

Нормальное распределение

f(t,т,O') = ~1 ехр(т-t)2) v2nO' 20'2'

Функция правдоподобия имеет вид

для определения оценокмаксимального правдоподобия параметров

т и а2 необходимо решить систему уравнений

откуда получаем

204

Определим точность в оценивании данных параметров. для этого вычислим вторые производные функции правдоподобия по параметрам:

a2 1(т,0'2,t)

дт д0'2

Дискриминант информационной матрицы будетравен

Таким образом, рассмотрен метод оценки параметров законов рас­

пределения и определения точности в их оценке. Рассмотренные при­

меры определения параметров законов распределения имеют важное

прикладное значение. Как было указано, экспоненциальное распреде­

ление применяется в теории надежности для описания наработок до

отказа объектов. Область применения нормального закона распреде­

ления еще более широка. Он используется для описания погрешностей,

дрейфов параметров, наработок до отказа механических изделий, для

которых не удается выделить доминирующей причины, приводящей к

отказу, для описания времени обслуживания систем и т.Д.

7.3. Оценка вероятностных показателей систем путем

обработки цензурированных данных

Постановка задачи при обработке цензурированных выборок фор­

мулируется следующим образом. Пусть имеется выборка объема r = k+v, котораясодержитряд наблюдений за функционированием объек­ тов среализовавшимся признаком Т)' Т2,.. • , Tk (полные наработки), и ряд

205

I i

I

11

'11'

!"I

наблюдений с нереализовавшимся признаком т..:т;,...,т:. Пусть извес­

тен закон распределения времени до реализации наблюдаемого признака F(8, (). Оценим параметры закона распределения. Функция правдопо­ добия для выборки, содержащей цензурированные наработки при цен­ зурировании справа, запишется следующим образом:

для цензурированной выборки при цензурировании слева функция прав­ доподобия имеет вид:

Процедура получения оценок параметров аналогична изложенной в п. 7.2. А именно, необходимо прологарифмировать функцию правдопо­ добия, взять от нее производную по искомому параметру и приравнять ее нулю. Например, в случае цензурирования справа решение будет выглядеть следующ"м образом. Логарифм от функции правдоподобия

записывается в виде

[(е,Т)=L,ln ле,т)+L,ln(l- F(G,I;'».

j=1 I~

Возьмем производную от данного выражения по искомому параметру

дl(G,Т) = t alnf(G,Tj ) +t aln(l-F(G,I;'»

де j=1 де 1=1 де

и приравняем полученное выражение нулю. Если 8 - вектор порядка k, то необходимо взять k частных производных для получения системы уравнений

при решении которой находим эффективные несмещенные оценки па­ раметров закона распределения F(8, ().

Рассмотрим примеры оценивания параметров законов распределе­

ния.

Экспоненциальное распределение

Запишем функцию распределения F(л., () = 1 - ехр(-Лt) и плотность распределения/(л., () = л.ехр(-л.t) величины (. Пусть требуется опреде-

206

!

I!

1;1

1',

а = д2 Z(t,т,cr) о.

12дт да2

Вэтом случае ковариация между параметрами а и а2 равна нулю, а дис­

персии параметров определяются из выражений

Аналогичные действия выполняются в случае других законов рас­ пределения случайной величины, отражающей реализацию наблЮдае­ мого признака. Приведенные примеры иллюстрируюттот факт, что учет цензурированной информации приводит к существенному усложнению

процедуры вычисления параметров рассматриваемого закона распре­

деления. Но следует отметить, что сложность решения задачи оцени­

вания компенсируется точностью оценок, которую в итоге удается до­

стичь за счет учета цензурированной информации.

7.4. Оценивание показателей систем

по группированным данным

в ходе проведения наблюдений за функционированием систем в ряде

случаев исследователь не имеет возможности получать информацию о реализовавшихся значениях наблюдаемой случайной величины. Из­

вестными бывают лишь интервалы значений, в которые попал тот или иной результат наблюдения. Наиболее просто и ясно данную ситуацию

иллюстрирует пример с организацией и проведением исследований по

определению характеристик надежности элементов и систем.

,1 "

1"

I

Так при решении задачи анализа надежности реально функциониру­ ющих объектов осуществляется сбор информации о поведении объек­ тов в процессе их эксплуатации, в частности фиксируются отказы и

соответственно наработки объектов до отказа. Однако в большинстве

случаев доступной является лишь информация о том, что отказы про­

изошли в некотором интервале времени. Эro связано с тем, что отказы

устройств фиксируются не мгновенно, а в некоторые, наперед сплани­

рованные моменты контроля исправности функционирования оборудо­ вания или даже в моменты проведения плановых профилактических

работ. Практически мгновенно отказы выявляются унезначительной

группы устройств, имеющих встроенный контроль. В остальных случа­ ях у исследователя имеется информация о том, что отказ произошел в интервале времени между предыдущим и последующим контролем либо в интервале между очередными профилактиками.

Итак, пусть в системе спланированы моментыI контроля исправно­

сти функ-ционирования оборудования ~1' ~2"'" ~k' где О < ~1< ~<...< ~k<

< 00. в моменты контроля выявляется количество отказавших в интер­

вале времени [~/-1' ~J устройств, Т.е. наблюдаемыми случайными ве­

личинами являются целые неотрицательные числа, характеризующие

количество отказавших объектов на рассматриваемом интервале Nl'

Данные, представленные таким образом, называются группирован-

ными данными, которые являются частным случаем цензурированных

данных, причем этот случай называется цензурированием интервалом.

Функция правдоподобия в данном случае имеет вид [39]

Следует обратить особое внимание на граничные точки области оп­

ределения параметра ~j' В левой крайней точке ~o = О функция распре­ деления тождественно равнанулю: F(8,~), поэтому первый член сомно­

жителя (7.9) имеет вид

[F(e'~I)- F(e'~o)]N, == [F(e'~I)]NI.

в правой крайней точке ~k+l = 00 функция распределения тождественно

равна единице F(8'~k+I) == 1, поэтому последний член произведения (7.9)

равен

210

Интервал [~k' 00] по своему смыслу представляет собой интервал цен­

зурирования справа. В него попадают те элементыI' которые не отказа­ ли до последнего момента контроля ~k' Предполагается, что далее на­

блюдения не проводились, и элементыI' которые не отказали до момен­

та ~k' образуютвыборкуцензурированных справа наработок. С учетом'

этого окончательнО функцию правдоподобия можно записать следую-·

щим образом:

;=1

Прологарифмируем выражение (7.10):

l(e,{N; })==N In F(e'~I)+I,Ni+lln [F(e'~i+l)- F(e,~;)]+Nk+1 In [1- F(e'~k)]:

1

1=1

Покажем процедуру вычисления оценки параметра интенсивнОСТИ

отказа для экспоненциального законараспределения наработки. Функ-,

ция правдоподобия в этом случае будет выглядеть следующим обра7

зом:

i=1

Подставляя в (7.11) РКА.) = ехр(-ц,/_I) - ехр(ц,j)' получаем уравнение

для определения параметра л.экспоненциального закона распределения.

Получить решение данного уравнения можно численными мето~ами. Для приближенного решения может быть применен итеративныи ме­

тод Ньютона-Рафсона с начальным значением

'+1 У'

Л, =(6, (= ( "'f..N,t,/n J '

211

14*

;, .1

!

1,

I

,

,

"11,.

",1

,

Как видно из последнего выражения, даже в самом простом слу­

чае экспоненциального распределения наработки до отказа параметры

распределения приходится оценивать численными методами. Поэтому можно считать выражение (7.11) окончательным, дальнейшее преоб­ разование которого нецелесообразно. Процедура оценивания парамет­

ров закона распределения реализуется исключительно численными

методами.

7.5. Примеры оценки показателей законов

распределения

в данном параграфе приведем результаты вычисления параметров

законов распределения и определения точности в их оценке для ряда

законов, имеющих наиболее широкое применение в системном анали­

зе.

Вначале подведем некоторые итоги. Остановимся еще раз на обо­ значениях, используемых при расчете показателей:

е - параметр закона распределения; {TJ - реализации наблюдае­

мой случайной величины (наработки до отказов); F(e, Т) - функция рас­

пределения случайной величины,j(е,Т) - плотность распределения. Функция правдоподобия обозначается через L(e,n, логарифмическая

функция правдоподобия [(е,Т), причем [(е,Т) = ln L(e,n; k - объем вы­ борки полных наработок, v - количество цензурированныx данных, Т.е.

Тl' Т2,···, Tk - реализации полных и I;~...,т: - цензурированных нарабо­

ток.

Для группированных данных имеем следующую информацию: мо­

менты контроля исправности функционирования оборудования ~1' ~,••. ,

~k' где О < ~1< ~2<... < ~k <00. В моменты контроля выявляется количе­

ство отказавших в интервале времени (~;-1' ~J устройств, т.е. наблюда­

емыми случайными величинами являются целые неотрицательные числа, характеризующие количество отказавших объектов на рассмат­

риваемом интервале: Nl' N2 , ... , Nk+l; N, - число устройств, отказавших

в интервале (~/-1' ~J Как и ранее функцию правдоподобия для полных

наработок будем писать без индекса

k

L = Пf(е,7;);

;=1

для данных, имеющих наряду с полными цензурированные справа на­

работки, будем использовать обозначение

аналогично, для имеющих цензурированные слева наработки будем

писать

Lл == пле,I;)ПF(e,T;);

для цензурированных интервалом или группированных данных

i=l

После сделанных обозначений приведем результатыI оценивания па­ раметров законов распределения и оценок дисперсииданных показате-

лей.

Экспоненцнальное распределенне

1. Для полных наработок имеем:

це,Т)= Uеехр(-е7;)= ek ехр(-et7; );

;=1

Таким образом, в данном случае решение получается в явном виде.

2. Для данных, содержащих полные и цензурированные справа на-

работки:

L,. (6,Т)~Цехр(-6T;)U 6ехр(-6т.)~6' ехр(-еtт;}ХР(-6tТ,}

[(е,Т)= klne-e( t7; +tT;}

al(e,T) =~-(±7;+ f,T;)=O;

де е ;=1 j=1

!'1

'1,

,111

I

1

,1

1I

Витоге будем иметь следующие результаты.

1.для полных наработок:

k

4. для группированных данных:

~ = ±, N; [~; ехр(-e~,)- ~'-1 ехр(-e~H)];

де '=1 exp(-~'_I)-exp(-e~)

в случае равных интервалов группирования:

имеем в виду, что:

1,

J, .

параметров и определении точности в их оценке будем также в каче­

стве математического ожидания использовать обозначение 81'в каче­ стве среднего квадратического отклонения - 82'Приведем результаты вычислений.

1. В случае полных наработок имеем:

откуда получаем

218

i

I

!

Производя аналогичные действия для второго параметра, получим

~=_~+ke~-2el}); +});2 =0;

2

логарифмическая функция правдоподобия:

k

1= --ln(21t)- k lne2

2

и, наконец, частные производные определяются выражениями

в данном случае результar в явном виде получить не удается, поэтому

необходимо решать трансцендентные уравнения.

219

3. Для выборок, содержащих полные и цензурированные слева на­

работки, функция правдоподобия записывается

логарифмическая функция правдоподобия:

частные производные:

Для выборок, содержащих цензурированные слева наработки, де­

лаем тот же вывод, что и в предыдущем случае, а именно, решение

необходимо искать численными методами.

4. для группированных данных итоговые оценки получаются таким образом. Функция правдоподобия:

логарифмическая функция правдоподобия:

производные от нее по параметрам:

220

,

,.

Рассмотрим вопрос вычисления точности в полученных оценках. Определим вторые производные для случая, Korдa имеются в наличии

полные наработки.

Для всех остальных типов данных при расчете дисперсии получа­

ются результаты, не имеющие представления в явном виде. Поиск ре­

шения осуществляется численными методами, поэтому итоговые фор­

мулы не приводятся.

Усеченное нормальное распределенне

Плотность усеченного нормального распределения имеет следую­

щийвид:

221