Колебание жидкости в трубке.

Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной  U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).

Рис.4.8. Колебания жидкости в трубке

В состоянии равновесия верхний уровень воды расположен на высоте l. Воду вывели из положения равновесия и она совершает колебания, переливаясь из одного колена трубки в другое. Для определения частоты (или периода) этих колебаний воспользуемся законом сохранения энергии. В качестве координаты, характеризующей положение воды, выберем величину x − отклонение уровня воды в одном колене от положения равновесия. Если площадь поперечного сечения трубки S постоянна по ее длине, то скорость течения жидкости будет одинакова и равна производной от введенной координаты . Следовательно, кинетическая энергия движущейся жидкости равна

где− плотность воды,− ее объем (пренебрегая частью жидкости, находящейся в нижней части трубки, которую будем считать малой). Потенциальная энергия тела в поле тяжести земли равна произведению массы тела, ускорения свободного падения и высоты центра масс, поэтому в рассматриваемом случае

,

где первое слагаемое – это потенциальная энергия жидкости в левом части трубки, второе − в правой. Если пренебречь неизбежными потерями механической энергии из-за сил вязкого трения, то сумма кинетической и потенциальной энергии жидкости постоянна, поэтому

Из этого уравнения следует, что движение жидкости подчиняется уравнению гармонических колебаний 

с круговой частотой и периодом. Описать движение жидкости на основании уравнений динамики в данном случае сложнее.

Свободные колебания в контуре

Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда q_o и затем подключили к нему катушку индуктивности. Такую процедуру легко осуществить с помощью цепи, схема которой показана на рис.4.9: сначала ключ замыкают в положении 1, при этом конденсатор заряжается до напряжения, равного ЭДС источника, после чего ключ перебрасывают в положения 2, после чего начинается разрядка конденсатора через катушку.

Рис.4.9. Колебательный контур

Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае напряжение на конденсаторе равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора

,

где – напряжение на конденсаторе,– ЭДС самоиндукции в катушке.

Используем определение силы тока

.

Закон Кирхгофа примет вид

.

Разделим обе части этого уравнения на L

.

–циклическая частота собственных колебаний контура.

По своей форме это уравнение совпадает с уравнениями, следующими из закона сохранения энергии при механических колебаниях. Так как, уравнения, описывающие колебания электрического заряда конденсатора, аналогичны уравнениям, описывающим механические колебания, то можно провести аналогию между процессами, протекающими в колебательном контуре, и процессами в любой механической системе. На рис. такая аналогия показана для колебаний пружинного маятника. В этом случае аналогами являются: заряд конденсатора − смещение и сила тока − скорость движения маятника .

Рис. 4.10. Аналогия процессов свободных электрических и механических колебаний

Рассмотрим процесс колебаний заряда и электрического тока в контуре. В начальный момент времени конденсатор заряжен, сила электрического тока равна нулю, вся энергия заключена в энергии электрического поля конденсатора (что аналогично максимальному отклонения маятника от положения равновесия). Затем конденсатор начинает разряжаться, сила тока возрастает, при этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует возрастанию тока; энергия конденсатора уменьшается, переходя в энергию магнитного поля катушки (аналогия – маятник движется к положению равновесия с возрастанием скорости движения). Когда заряд на конденсаторе становится равным нулю, сила тока достигает максимального значения, при этом вся энергия превращается в энергию магнитного поля (маятник достиг положения равновесия, скорость его максимальна). Затем магнитное поле начинает убывать, при этом ЭДС самоиндукции поддерживает ток в прежнем направлении, при этом конденсатор начинает заряжаться, причем знаки зарядов на обкладках конденсатора противоположны начальному распределению (аналог − маятник движется к противоположному начальному максимальному отклонению). Затем ток в цепи прекращается, при этом заряд конденсатора становится опять максимальным, но противоположным по знаку (маятник достиг максимального отклонения), после чего процесс повторятся в противоположном направлении.

Плазменные колебания.

В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов.

Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтральности.

Выделим в плазме плоский слой площадью и толщинойи предположим, что заряды одного знака вышли на одну из плоскостей, ограничивающих слой, т.е. произошло разделение зарядов (например, за счет тепловых флуктуаций Такое самопроизвольное разделение зарядов возможно, если потенциальная энергия заряженной частицы и ее кинетическая энергия теплового движения равны, т.е.

Рис.4.11. Схема плазменных колебаний

Плоский слой можно рассматривать как конденсатор, напряжение на котором , заряд равен заряду электронов, ушедших вследствие тепловой флуктуации на одну из плоскостей рассматриваемого слоя из объема слоя, т.е., а емкость.

В электрическом поле при разделении зарядов на них будет действовать сила . Смещение зарядов из положения равновесия на расстояниеприведет к возникновению электрического поля напряженностью

.

где е – заряд, n – плотность заряда.

По второму закону Ньютона (знак «-» обусловлен тем, что сила, действующая на электрон, направлена в сторону, противоположную направлению смещения от положения равновесия, а электрон в процессе движения «проскакивает» положение равновесия – возникают колебания). Отсюда. Это уравнение описывает описываетколебательные движения заряженных частиц в плазме с собственной круговой частотой :

называемой плазменной или ленгмюровской частотой. Отметим, что ленгмюровская частота зависит от массы заряженных частиц.

Величина -характерное время, за которое плазма может отреагировать на внешнее воздействие. (Например, при резком включении внешнего поля распространение поля в плазме установится за время порядка ).

Контрольные вопросы

1. Какое движение называют колебательным? Что понимают под колебанием тела?

2. Какие колебания называют свободными? Приведите примеры.

3. Какие колебания называют вынужденными? Приведите примеры.

4. Объясните опыт, устанавливающий связь между вращательным и колебательным движениями.

5. Какие колебания называют гармоническими? Запишите уравнение гармонического колебания?

6. Что понимают под амплитудой колебания?

7. Что понимают под периодом колебаний? Запишите формулу для нахождения периода.

8. Что понимают под частотой колебаний? Запишите формулы линейной и циклической частоты колебаний. В каких единицах они измеряются.

9. Запишите формулу связи между циклической и линейной частотой.

10. Что понимают под фазой гармонического колебания? (начальной фазой?)

Что такое маятник? (математический маятник?)

Сделав рисунок, иллюстрирующий процесс колебаний математического маятника, докажите, что они являются гармоническими.

Напишите уравнение свободных колебаний математического маятника.

Запишите формулы периода свободных колебаний математического маятника и циклической частоты.

Какой маятник называют пружинным маятником?

Проиллюстрируйте процесс свободных колебаний пружинного маятника, объясните этот процесс.

Запишите формулы для периода свободных колебаний и циклической частоты пружинного маятника. Объясните процесс превращения энергии при гармоническом колебательном движении на примере пружинного или математического маятника.

Как определяется полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела в моменты его прохождения точки равновесия и крайних точек движения?

Почему в реальных условиях свободные колебания маятника затухают? При каких условиях колебания могут стать незатухающими?

Как определяется период колебаний жидкости в сообщающихся сосудах.

Выведите формулу для свободных колебаний горизонтального пружинного маятника

Выведите формулу для свободных колебаний вертикального пружинного маятника

Выведите формулу для свободных колебаний математического маятника

Выведите формулу для свободных колебаний физического маятника

Выведите формулу для свободных колебаний математического маятника с пружиной

Выведите формулу для свободных колебаний жидкости в трубке.

Выведите формулу для свободных колебаний электрического колебательного контура

Выведите формулу для свободных колебаний в плазме.

http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0