Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.

Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за  наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиально различных способов создания колебательных систем незатухающих колебаний. Остановимся более подробно на рассмотрении незатухающих колебаний под действием внешней периодической силы. Такие колебания называются вынужденными. Продолжим изучение движения гармонического маятника (рис. 6.9 ). 

рис. 6.9

Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя  вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону

частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ω_o. Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле. Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид

Разделим его на массу шарика и используем прежние обозначения параметров системы. В результате получим  уравнение вынужденных колебаний:

где f_o = F_o/m − отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы к массе шарика. Общее решение уравнения (3) достаточно громоздко и, конечно, зависит от  начальных условий. Характер движения шарика, описываемого уравнением (3), понятен: под действием вынуждающей силы возникнуть колебания, амплитуда которых будет возрастать. Этот переходный режим достаточно сложен и зависит от начальных условий. По прошествии некоторого промежутка времени колебательный режим установится, их амплитуда перестанет изменяться. Именно установившийся режим колебаний, во многих случаях представляет основной интерес. Мы не будем рассматривать переход системы к установившемуся режиму, а сконцентрируем внимание на описании и изучении характеристик этого режима. При такой постановке задачи нет необходимости задавать начальные  условия, так как интересующий нас установившийся режим не зависит от начальных условий, его характеристики полностью определяются самим уравнением. С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении движения тела под действием постоянной внешней силы и силы вязкого трения 

По прошествии некоторого времени тело движется с постоянной установившейся скоростью  v = F_o/β, которая не зависит от начальных условий, и полностью определяется уравнением движения. Начальные условия определяют режим, переходный к установившемуся движению. На основании здравого смысла разумно предположить, что в установившемся  режиме колебаний шарик будет колебаться с частотой внешней вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3) следует искать в гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Для начала решим уравнение (3), пренебрегая силой сопротивления

 Попробуем найти его решение в виде гармонической функции

Для этого вычислим зависимости скорости и ускорения тела от времени, как производные от закона движения 

и подставим их значения в уравнение (4)

Теперь можно сократить на  cosωt. Следовательно, это выражение обращается в верное тождество в любой момент времени, при выполнении условия

Таким образом, наше предположение о решении уравнения (4) в виде (5)  оправдалось: установившийся режим колебаний описывается функцией

Отметим, что коэффициент A согласно полученному выражению (6) может быть, как положительным (при ω < ω_o), так и отрицательным (при ω > ω_o). Изменение знака соответствует изменению фазы колебаний на π (причина такого изменение будет выяснена чуть позже), поэтому амплитудой колебаний является модуль этого коэффициента |A|. Амплитуда установившихся колебаний, как и следовало ожидать, пропорциональна величине вынуждающей силы. Кроме того, эта амплитуда сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы. Схематический график этой зависимости показан на рис. 6.10

Рис. 6.10 Резонансная кривая

Как следует из формулы (6) и хорошо видно на графике, при приближении  частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплитуда резко возрастает. Причина такого возрастания амплитуды понятна: вынуждающая сила «во время» подталкивает шарик, при полном совпадении частот установившейся режим отсутствует − амплитуда возрастает до бесконечности. Конечно, на практике такого бесконечного возрастания наблюдать невозможно: во-первых, это может привести к разрушению самой колебательной системы, во-вторых, при больших амплитудах колебаний нельзя пренебрегать силами сопротивления среды.  Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса. Приступим теперь к поиску решения уравнения вынужденных колебаний с учетом силы сопротивления 

Естественно, что и в этом случае решение следует искать в виде  гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Легко заметить, что поиск решения в форме (5) в данном случае не приведет к успеху. Действительно, уравнение (8), в отличие от уравнения (4), содержит скорость частицы, которая описывается функцией синуса. Поэтому, временная часть в уравнении (8) не сократится. Следовательно, решение уравнения (8) следует представить в общей форме гармонической функции

в которой два параметра A_o и φ необходимо найти с помощью уравнения (8). Параметр A_o является амплитудой вынужденных колебаний, φ − сдвиг фаз между изменяющейся координатой и переменной вынуждающей силой. Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, функцию (9) можно представить в эквивалентной форме

которая также содержит два параметра B = A_ocosφ и C = −A_osinφ, подлежащих определению. Используя функцию (10), запишем явные выражения для зависимостей скорости и ускорения частицы от времени

и подставим в уравнение (8):

Перепишем это выражение в виде 

Для того чтобы равенство (13) выполнялось в любой момент времени  необходимо, чтобы коэффициенты при косинусе и синусе были равны нулю. На основании этого условия получаем два линейных уравнения для определения параметров функции (10):

Решение этой системы уравнений имеет вид 

На основании формулы (10) определяем характеристики вынужденных колебаний: амплитуду 

сдвиг фаз

При малом затухании эта зависимость имеет резкий максимум при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте системы ω_o. Таким образом, и в этом случае возможно возникновения резонанса, поэтому построенные зависимости часто называют резонансной кривой. Учет слабого затухания показывает, что амплитуда не возрастает до бесконечности, ее максимальное значение зависит от коэффициента затухания − с возрастанием последнего максимальная амплитуда быстро убывает. Полученная зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (16) содержит слишком много независимых параметров ( f_o, ω_o, γ) для того, чтобы построить полное семейство резонансных кривых. Как и во многих случаях, эту зависимость можно существенно упростить, перейдя к «безразмерным» переменным. Преобразуем формулу (16) к следующему виду

и обозначим

− относительная частота (отношение частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы);

− относительная амплитуда (отношение амплитуды колебаний к величине отклонения A_o = f/ω_o² при нулевой частоте);

− безразмерный параметр, определяющий величину затухания. Используя эти обозначения, функция (16) существенно упрощается

так как содержит всего один параметр − δ. Однопараметрическое семейство резонансных кривых, описываемых функцией  (16 б) может быть построено, особенно легко с помощью компьютера. Результат такого построения показан на рис. 629.

рис. 6.11

Отметим, что переход к «обычным» единицам измерения может быть проведен элементарным изменением масштаба осей координат.  Следует отметить, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда  вынужденных колебаний максимальна, также зависит от коэффициента затухания, слегка убывая с ростом последнего. Наконец, подчеркнем, что увеличение коэффициента затухания приводит к существенному увеличению ширины резонансной кривой. Возникающий сдвиг фаз между колебаниями точки и вынуждающей силой также  зависит от частоты колебаний и коэффициента их затухания. Более подробно с ролью этого сдвига фаз мы познакомимся при рассмотрении преобразования энергии в процессе вынужденных колебаний.

частота свободных незатухающих колебаний совпадает с собственной частотой, частота затухающих колебаний немного меньше собственной, а частота вынужденных колебаний совпадает с частотой вынуждающей силы, а не собственной частотой.

Вынужденные электромагнитные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Рис.6.12. Контур с вынужденными электрическими колебаниями

Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис.6.12), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону

,

где_m – амплитуда внешней ЭДС,

 – циклическая частота ЭДС.

Обозначим через U_C напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС (t) действует еще ЭДС самоиндукции _L в катушке индуктивности.

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре

.

Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа

.

Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома

.

Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника

.

Следовательно

.

Напряжение U_C на конденсаторе прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора

.

ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную от заряда по времени

.

Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа

.

Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка

.

Введем следующие обозначения и получим

–коэффициент затухания,

–циклическая частота собственных колебаний контура.

. (1)

Уравнение (1) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы).

Общее решение уравнения (1) складывается из общего решения q₁ однородного дифференциального уравнения (2)

(2)

и любого частного решения q₂ неоднородного уравнения (1)

.

Вид общего решения однородного уравнения (2) зависит от величины коэффициента затухания . Нас будет интересовать случай слабого затухания  << ₀. При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

, (3)

где B и ₀ – постоянные, задаваемые начальными условиями.

Решение (3) описывает затухающие колебания в контуре. Входящие в (3) величины:

–циклическая частота затухающих колебаний;

–амплитуда затухающих колебаний;

–фаза затухающих колебаний.

Частное решение уравнения (1) ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте  внешнего периодического воздействия – ЭДС, и отстающего по фазе на  от него

, (4)

где – амплитуда вынужденных колебаний, зависящая от частоты.

Подставим (4) в (1) и получим тождество

Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения

,

.

Тогда наше уравнение перепишется в виде

Представим колебания в левой части полученного тождества в виде векторной диаграммы (рис.6.13)..

Третье слагаемое, соответствующее колебаниям на емкости С, имеющее фазу (t – ) и амплитуду , изобразим горизонтальным вектором, направленным вправо.

Рис.6.13. Векторная диаграмма

Первое слагаемое левой части, соответствующие колебаниям на индуктивности L, изобразится на векторной диаграмме вектором, направленным горизонтально влево (его амплитуда ).

Второе слагаемое, соответствующие колебаниям на сопротивлении R, изобразим вектором, направленным вертикально вверх (его амплитуда ), т. к. его фаза на/2 отстает от фазы первого слагаемого.

Так как сумма трех колебаний слева от знака равно дает гармоническое колебание , то векторная сумма на диаграмме (диагональ прямоугольника) изображает колебание с амплитудойи фазойt, которая на  опережает фазу колебаний третьего слагаемого.

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти амплитуду A()

(5)

и tg как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

. (6)

Следовательно, решение (4) с учетом (5) и (6) примет вид

. (7)

Общее решение дифференциального уравнения (1) является суммой q₁ и q₂

. (8)

Формула (8) показывает, что при воздействии на контур периодической внешней ЭДС в нем возникают колебания двух частот, т.е. незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС  и затухающие колебания с частотой . Амплитуда затухающих колебанийсо временем становится пренебрежимо малой, и в контуре остаются только вынужденные колебания, амплитуда которых не зависит от времени. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (4). То есть в контуре возникают вынужденные гармонические колебания, с частотой, равной частоте внешнего воздействия, и амплитудой, зависящей от этой частоты (рис.3а) по закону (5). При этом по фазе вынужденное колебание отстает на  от вынуждающего воздействия.

Продифференцировав выражение (4) по времени, найдем силу тока в контуре

_,

где – амплитуда силы тока.

Запишем это выражение для силы тока в виде

, (9)

где –сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС.

В соответствии с (6) и рис.2

. (10)

Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном сопротивлении R, от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС  и собственной частотой контура ₀.

Если  < ₀, то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол .

Если  > ₀, тогда  > 0. Колебания силы тока отстают от колебаний ЭДС по фазе на угол .

Если  = ₀ (резонансная частота), то  = 0, т. е. сила тока и ЭДС колеблются в одинаковой фазе.

Резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды колебаний при совпадении частоты внешней, вынуждающей силы с собственной частотой колебательной системы.

При резонансе  = ₀ и период колебаний

.

Учитывая, что коэффициент затухания

,

получим выражения для добротности при резонансе Т = Т₀

,

с другой стороны

.

Амплитуды напряжений на индуктивности и емкости при резонансе можно выразить через добротность контура

, (15)

. (16)

Из (15) и (16) видно, что при  = ₀, амплитуда напряжения на конденсаторе и индуктивности в Q раз больше амплитуды внешней ЭДС. Это свойство последовательного RLC контура используется для выделения радиосигнала определенной частоты из спектра радиочастот при перестройке радиоприемника.

На практике RLC контура связаны с другими контурами, измерительными приборами или усилительными устройствами, вносящими дополнительное затухание в RLC контур. Поэтому реальная величина добротности нагруженного RLC контура оказывается ниже величины добротности, оцениваемой по формуле

.

Реальная величина добротности может быть оценена как

Рис.6.14. Определение добротности по резонансной кривой

,

где f – ширина полосы частот, в которых амплитуда составляет 0,7 от максимального значения (рис.4).

Напряжения на конденсаторе U_C, на активном сопротивлении U_R и на катушке индуктивности U_L достигают максимума при различных частотах, соответственно

, ,.

Если затухание мало ₀ >> , то все эти частоты практически совпадают и можно считать что

.