2.5. Система обслуживания m/g/1.

Здесь процесс поступлений – пуассоновский, система – однолинейная, ёмкость накопителя бесконечная, распределение времени обслуживания – произвольное, т. е. пакеты имеют случайную произвольно распределенную длительность.

Так как предполагается общий характер статистики времени обслуживания и, соответственно, невыполнение условия отсутствия последействия уходов обслуженных клиентов, здесь нельзя использовать уравнения равновесия.

Будем использовать подход, основанный на рассмотрении занятости накопителя:

Пусть – число клиентов, остающихся в системе, еслиj –ый клиент покинул систему.

- число клиентов, поступающих за время обслуживания j – го клиента.

Тогда , (2.41)

или , (2.42)

где U(x) – единичная функция. .

Выражение (2.42) может быть записано и в других обозначениях, которые упростят запись некоторых используемых ниже формул. Вводя

,

Рис. 2.16. Анализ состояния накопителя.

(2.42) перепишем в виде

. (2.43)

Здесь в (2.42) и в (2.43) инезависимые случайные величины.

Распределение вероятностей n_j – это распределение суммы случайных величин, найти которое довольно сложно, потому что при непосредственных вычислениях оно находиться как свёртка распределений. Чтобы упростить вычисление используется аппарат производящих функций.

В первой главе уже было использовано это понятие, однако, здесь напомним, что для дискретной случайной величины n производящая функция имеет вид:

, (2.44)

где z – произвольное комплексное число, но такое, которое, дает сходимость в (2.44).

Обозначая , получим

. (2.45)

Отметим, что свёртке распределений соответствует произведение производящих функций. Если w=x+y, то .

Напомним, что из (2.45) следует:

, (2.46)

т. е. P_n, являющиеся вероятностями состояния системы, могут быть найдены из разложения G_n(z) в ряд по степеням z.

Зная P_n, можно определить и другие характеристики системы. Из (2.43) следует

, (2.47)

где под величиной а⁺ подразумевается .

Функцию распределения величины будем считать известной, поэтомувсегда можно определить. Будем также предполагать, что в системе возможен стационарный режим и при этом индекс j можно опустить.

Найдём согласно (2.45)

. (2.48)

Из определения величины а⁺ следует, что

и

Поэтому:

Из сравнения с следует. (2.49)

Подставляя (2.49) в (2.47) получим:

. (2.50)

В (2.50) величина P₀ пока неизвестна. Ее можно определить из условия, аналогичного условию нормировки,

.

При в (2.50) возникает неопределенность типа, т. к., по определению. Раскрыть неопределённость можно, разложивв ряд Тейлора в окрестности точкиz=1.

(2.51)

Вычислим производные, входящие в (2.51)

, (2.52)

.(2.53)

Последовательное дифференцирование позволяет получить различные моменты случайной величины . Именно поэтомуназываютпроизводящей функцией моментов.

Теперь:

(2.54)

С учетом полученного выражения знаменатель выражения (2.50) примет вид

(2.55)

Подставляя (2.55) в (2.50) и положив z=1, с учётом получим

. (2.56)

(Сравним: для системы M/M/1 )

Теперь для можно окончательно получить:

. (2.57)

Воспользуемся выражением (2.57) для анализа системы M/D/1.

Как следует из обозначения, на входе системы действует пуассоновский поток пакетов и, все пакеты имеют одинаковую длину . При пуассоновских поступлениях с интенсивностью вероятность того, что за время обработки одного пакета в систему поступит k пакетов определится в виде

, (2.58)

где . (2.59)

Предполагается, что , т. к. это ограничивает скорость поступлений. Это условие эквивалентно условиюдля системыM/M/1. А величину можно интерпретировать как среднюю длину сообщения при экспоненциальном времени обслуживания в системеM/M/1. Ограничение , как, даёт гарантию режима статистического равновесия.

Для пуассоновского распределения вида (2.58) производящая функция имеет вид (с учетом разложения )

. (2.60)

Вычисление производной производящей функции подтверждает известный результат для пуассоновского распределения

.

Теперь для системы M/D/1 подставляя (2.60) в (2.57) получаем выражение производящей функции для случайной величины n в рассматриваемой модели (2.41)

. (2.61)

Дифференцируя (2.61) можно найти среднюю занятость системы M/D/1, а разлагая в ряд по степеням z можно найти вероятности занятия буферной памяти. К сожалению, разложение в ряд в общем случае представляет собой довольно сложную задачу.

Вернёмся к системе M/G/1.

Найдём - вероятность поступления ровноk пакетов за случайное время обслуживания . Пусть- плотность распределения. Тогда:

. (2.62)

В выражении (2.62) - вероятность поступленияk пакетов при условии фиксации конкретного значения (условная вероятность). Для пуассоновского потока

.

Знание позволит найти порождающую функцию моментов для случайной величины. Для теперь можно записать.

Изменяя порядок суммирования и интегрирования с учётом того, что под знаком суммы – экспонента, получим:

Данный интеграл представляет собой преобразование Лапласа плотности вероятности . (Напомним, по определению преобразование Лапласа в данном контексте может быть записано как, гдеs – комплексная переменная. Кроме того, если s принимает только мнимые значения, то преобразование Лапласа и преобразование Фурье совпадают, что позволяет нам считать производящую функцию аналогом характеристической функции). С учетом этого замечания последнее выражение для запишется в виде

. (2.63)

Конкретный вид функции определяется, естественно, заданной плотностью.

Например, все сообщения имеют одинаковую длину , что соответствует системеM/D/1. Тогда . Подставляя эту плотность в выражение для , получаем результат в виде (2.60).

Если , что соответствует системеM/M/1, то преобразование Лапласа этой плотности дает , и для порождающей функции получаем

.

Можно привести и другие примеры.

Зная порождающую функцию из (2.63) можно найти . По определению:

.

Но из (2.63)

.

Далее, т.к. , то.

Поэтому

. (2.64)

Если - как в системеM/M/1, то . Теперь из (2.56), что ранее было получено другим способом, и из (2.57)

. (2.65)

Проверим формулу (2.65). Для системы M/M/1

.

Тогда - здесьи, что необходимо для схо-димости.

Разложим в ряд по степенямz:

.

Коэффициент при z^k – это P_k, т. е. , что было получено ранее.

Теперь найдём Е(n) – среднее число сообщений в буфере.

Зная порождающую функцию , это можно сделать согласно ее свойствам:

.

При этом выражение для возьмем из общей формулы (2.57):.

.

При вычислении Е(n) по последней формуле следует следить за тем, чтобы подстановка z=1 не привела к возникновению неопределенности типа . Покажем подробнее, как это следует сделать.

Из (2.55):

Далее

.

.

.={сократим сразу на и подставим z=1}=

С учётом

, (2.66)

где - дисперсия случайной величины .