- •Пределы и непрерывность
- •Глава 1. Пределы числовых последовательностей и функций.
- •§ 1. Числовая последовательность и ее предел
- •§ 2. Предел функции в бесконечности и в точке
- •§ 3. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов функций
- •§ 4. Бесконечно малые величины и их применение к отысканию пределов
- •§5. Замечательные пределы
- •Глава 2. Непрерывность функции. Точки разрыва. Их классификация
- •§1. Непрерывные функции. Односторонние пределы
- •§2. Точки разрыва и их классификация
- •Контрольная работа
§1. Непрерывные функции. Односторонние пределы
Определение. Функция называетсянепрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям:
Определена в точке (т.е. существует);
Имеет конечный предел функции при ;
Этот предел равен значению функции в точке , т.е..
Если хотя бы одно из условий не выполняется, то функция называется разрывной в точке а сама точканазываетсяточкой разрыва функции.
Односторонние пределы.
Односторонние пределы бывают правосторонними, когда стремится к своему предельному значению, оставаясь больше него, илевосторонними, когда стремится к своему предельному значению, оставаясь меньше него. Правосторонний предел обозначаетсяили, а левостороннийили.
Пример 1 Найти односторонние пределы
a) в точке.
Решение:
b) в точках ,.
Решение:
c) в точке
Решение:
d) в точке .
Решение:
Задачи для выполнения на практических занятиях:
Найти односторонние пределы функций:
1) в точке
2) в точке
3) в точке
4)в точке
5)в точке
6)в точке
Задачи для самостоятельного решения:
1) в точке
2)в точке
3) в точке
4) в точке
5) в точке
§2. Точки разрыва и их классификация
Определение. Точка называетсяточкой разрыва функции , если эта функции в данной точке не является непрерывной.
1. Если , то функцияназывается непрерывной в точке.
2. Если , то точканазывается точкой разрыва первого рода (разрыв устранимый).
3. Если , то точканазывается точкой разрыва первого рода (разрыв неустранимый).
4. Если и (или), то точканазывается точкой разрыва второго рода.
Разрыв второго рода не делится на устранимый и неустранимый.
Пример 2 Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва, если таковые существуют.
Решение:
, т.е. - непрерывная функция.
Решение:
, т.е. - точка разрыва первого рода, причем разрыв устранимый.
Решение:
, т.е. - точка разрыва первого рода.
В точке функция терпит скачок, поэтому разрыв неустранимый.
Решение:
, т.е. - точка разрыва второго рода.
Решение:
т.е. - точка разрыва второго рода.
Решение:
, т.е. - точка разрыва второго рода.
Задачи для выполнения на практических занятиях:
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Задачи для самостоятельного решения:
Исследовать на непрерывность и найти точки разрыва функций
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Контрольная работа
Вычислить пределы:
Исследовать на разрыв функцию
Ответы:
Глава 1.
§ 1
Задания для выполнения на практических занятиях:
0 2) 3) 1 4) 1 5) 0,01 6) 5 7) 0 8) 0 9) 0 10) 0
Задачи для самостоятельной работы:
2) 3) 0 4) 5) 6)
§ 3
Задания для выполнения на практических занятиях:
1) 0 2) 0 3) -2 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 0
Задачи для самостоятельной работы:
1) 2) 0 3) 0 4) 5) 1 6)
§ 4
Задания для выполнения на практических занятиях:
1) 0 2) 3) 4) 5) 1 6) 7) 8) 9) 10)
Задачи для самостоятельной работы:
1) 2 2) 3) 1 4) 5) 6)
§ 5
Задания для выполнения на практических занятиях:
2)
3) 4)
5) 6)
Задачи для самостоятельной работы:
2)
3) 4)
5)
Глава 2.
§ 1
Задания для выполнения на практических занятиях:
1)2) 3) 4) 5) 6) 1 7) 8) 9) 10) 11) 12)
Задачи для самостоятельной работы:
1) 2) 3) 0 4) 5) 6)
§ 2
Задания для выполнения на практических занятиях:
1) в точке функция непрерывна
2) в точках функция имеет разрыв второго рода
3) в точке функция имеет разрыв первого рода
4) в точке функция имеет разрыв (неустранимый) первого рода
5) в точке функция имеет разрыв второго рода
6) в точке функция имеет разрыв (неустранимый) первого рода
7) в точке функция имеет разрыв первого рода
Задачи для самостоятельной работы:
1) в точке функция имеет разрыв первого рода
2) в точке функция имеет разрыв первого рода
3) в точке функция имеет разрыв второго рода
4) в точке функция имеет разрыв первого рода
5) в точке функция имеет разрыв первого рода
6) в точках функция имеет разрыв второго рода
Литература
Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. М.: «Высшая школа», 2001-479с.
Высшая математика для экономистов: Учебник для втузов /Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; под редакцией профессора Н. Ш. Кремера – 2-ое издание, перераб. и доп. – М: Банки и Биржи, ЮНИТИ, 1998 - 471с.
Сборник задач по курсу высшей математики. Под редакцией Г. И. Кручковича. Изд. 3, перераб. Учебное пособие для втузов. М., «Высшая школа», 1973. 576с. С илл.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. Изд. 3-е, стереотип. Мн.. Изд. БГУ, 1973. 532 стр. с илл.
П.Е. Данко, А.Г. Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч 1. Учебное пособие для втузов. М, «Высшая школа», 1974-464с.
Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. М: Айрис-пресс, 2008-576с.
Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. Практическое пособие по высшей математике. С-Петербург: «Пиллер», 2009-320с.