§ 3. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов функций

При вычислении пределов функций пользуются следующими основными теоремами:

1. Если предел функции существует, то он единственный

2. , где - постоянная

Если исуществуют, то :

3. 

4. и , где- постоянная

5. , если

6. 

Для всех основных элементарных функций:

7. 

Кроме того

8. 

9. 

10. -неопределенность

11. 

12. 

13. 

14. 

15. - неопределенность

Вычисление пределов функций

Нахождение предела в точке обычно сводится к подстановке в данную функцию предельного значения аргумента. Это иногда приводит к неопределенным выражениям вида. Нахождение предела функции в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится проводить различные преобразования данной функции.

Замечание 6 Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень х, а затем перейти к пределу.

Пример 7 Вычислить пределы:

1. 

2. 

3. 

4. 

Чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на х подведем х под знак корня=

Здесь и

Замечание 7 Если дана рациональная функция , то

Замечание 8: Чтобы раскрыть неопределенность вида , надо в числителе и в знаменателе выделить критический множитель (т.е. множитель равный нулю при предельном значении х) и сократить на него.

Пример 8

1. (по замечанию 4)

При числитель и знаменатель данной функции обращаются в нуль. Получается неопределенность вида, которая по замечанию 8 раскрывается путем сокращения на критический множитель . Разложим числитель на множители по формуле, гдеикорни квадратного уравнения. Получим,

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

Здесь критический множитель находим умножением числителя и знаменателя на выражение сопряженное числителю:

Замечание 9 Чтобы раскрыть неопределенность надо путем преобразований получить неопределенность видаили.

Пример 9 Вычислить пределы:

1. 

2. 

3. 

Задачи для выполнения на практических занятиях

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Задачи для самостоятельного решения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

§ 4. Бесконечно малые величины и их применение к отысканию пределов

Определение. Функция называетсябесконечно малой величиной при , или, если ее предел равен нулю:

Например, функции прииприесть бесконечно малые величины, ибо их пределы равны нулю.

Определение. Пусть функции и- бесконечно малые при. Если,то бесконечно малыеипри называются эквивалентными: в этом случае пишут .

Если и , то справедлив принцип замены эквивалентных бесконечно малых величин:

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций :

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Пример 10 Вычислить пределы:

1. 

При подстановке вместо х значение 0 возникает неопределенность вида . Для нахождения критического множителя воспользуемся таблицей эквивалентных бесконечно малых функций. Т.к.

и , то функциии- бесконечно малые, значит. Аналогично.

2. 

3. 

4. 

5. 

Задачи для выполнения на практических занятиях:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Задачи для самостоятельного решения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6.