- •Пределы и непрерывность
- •Глава 1. Пределы числовых последовательностей и функций.
- •§ 1. Числовая последовательность и ее предел
- •§ 2. Предел функции в бесконечности и в точке
- •§ 3. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов функций
- •§ 4. Бесконечно малые величины и их применение к отысканию пределов
- •§5. Замечательные пределы
- •Глава 2. Непрерывность функции. Точки разрыва. Их классификация
- •§1. Непрерывные функции. Односторонние пределы
- •§2. Точки разрыва и их классификация
- •Контрольная работа
§5. Замечательные пределы
Определение. Первым замечательным пределом называется
Кроме того, . Докажем это. Положим , откуда. Если, то и, поэтому.
Также Докажем это. Разделив числитель и знаменатель на, на основании формулы получаем: .
Пример 12 Вычислить пределы
a).
Решение:
Принимая во внимание, что и, на основании свойств пределов получаем.
Итак, .
b) .
Решение:
При числитель и знаменатель обращаются в нуль. Знаменатель содержит иррациональность. Освободимся от иррациональности
c)
Решение:
Это предел вида , где,.Поэтому в соответствии с формулой (6) из §3 ищем,
Получаем .
Определение. Вторым замечательным пределом называется или .
, т.е. число е – иррациональное число .
Число (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в математическом анализе. График функции получил название экспоненты. Широко используются логарифмы по основанию , называемые натуральными. Натуральные логарифмы обозначаются символом .
Кроме того . Докажем это.
При выражение, получаем неопределенность.
Введем новую переменную по формуле, откуда. Если, то, поэтому. На основании формулынаходим.
Следовательно, .
К пределам «типа e» относятся примеры с неопределенностью вида . В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию.
Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела».
Пример 13 Найти пределы:
a) .
Решение:
На основании формулы (5) получаем .
b) .
Решение:
Прибавляя и вычитая 1 из и применяя формулу (5), получаем
Поскольку , то.
c).
Решение:
Аналогично примеру 12c), попробуем вычислить этот предел по формуле
. Получаем - это предел «типаe».
Получим .
d) .
Решение:
. .
Получим . Значит это предел «типаe».
Решение получается сведением к формуле (6) путем прибавления к основанию 1 и введения новой переменной.
Замечание 10 При вычислении пределов степенно-показательных функций приходится также иногда пользоваться формулами
и .
Пример 14 Вычислить пределы
a) .
Решение:
, поэтому по формуле.
b) .
Решение:
, поэтому по формуле.
Задачи для выполнения на практических занятиях:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
Задачи для самостоятельного решения:
Вычислить пределы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Тест
а) -3 в) с) d) e)
а) в) 3 с) 0 d) 1 e)
а) 0 в) 1 с ) d) e)
а) 0 в) 1 с) d) e)
Ответ
а) 0 в) 1 с) 2 d) 3 e)
Ответ
а) -1 в) 0 с) 0,5 d) 1 e)
Ответ
а) в) 0 с) 0,5 d) 1 e)