МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «СЫКТЫВКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Математический факультет

Кафедра прикладной математики

Рабочая тетрадь для проведения практических занятий и обеспечения самостоятельной работы по дисциплине «Математика» у студентов специальностей и направлений подготовки УГНС «Экономика и управление»

Научный руководитель

Зав. кафедрой, профессор

___________В. Л. Никитенков

31.05.2011

Исполнитель, студентка

135 гр.

____________А. В. Карышева

31.05.2011 .

Сыктывкар 2011

Консультант

Старший преподаватель кафедры прикладной математики

___________Т. А. Тончева

31.05.2011

Исполнитель, студентка

135 гр.

____________В. М. Кудрявых

31.05.2011 .

Содержание:

1. Введение

2. Основная часть:

1. Пределы числовых последовательностей и функций

1. Числовая последовательность и ее предел

• Задания для выполнения на практических занятиях

• Задания для самостоятельной работы

2. Предел функции в бесконечности и в точке

• Задания для выполнения на практических занятиях

• Задания для самостоятельной работы

3. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов функций

• Задания для выполнения на практических занятиях

• Задания для самостоятельной работы

4. Бесконечно малые величины и их применение к отысканию пределов

• Задания для выполнения на практических занятиях

• Задания для самостоятельной работы

5. Замечательные пределы

• Задания для выполнения на практических занятиях

• Задания для самостоятельной работы

• Тест

2. Непрерывность функции. Точки разрыва. Их классификация

1. Непрерывные функции. Односторонние пределы

• Задания для выполнения на практических занятиях

• Задания для самостоятельной работы

2. Точки разрыва и их классификация

• Задания для выполнения на практических занятиях

• Задания для самостоятельной работы

3. Итоговая контрольная работа

4. Ответы к заданиям

5. Заключение

6. Литература

Введение

Курсовая работа методического характера

В рамках курсовой работы подготовлены разделы «Рабочей тетради» для проведения практических занятий по «Математике» у студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров укрупненной группы направлений подготовки и специальностей профессионального образования «Экономика и управление» В данной работе рассматривается вычисление пределов числовых последовательностей и функций.

Тема «Пределы и непрерывность » содержит разделы:

3. Пределы числовых последовательностей

6. Числовая последовательность и ее предел

7. Предел функции в бесконечности и в точке

8. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов функций

9. Бесконечно малые величины и их применение к отысканию пределов

10. Замечательные пределы

4. Непрерывность функций. Точки разрыва. Их классификация

3. Непрерывные функции. Односторонние пределы

4. Точки разрыва. Их классификация

• Приведены теоретические сведения, включая формулировки основных теорем, свойств, правил, приведены формулы.

• Подобраны задания для выполнения на практических занятиях

• Подобраны задания для самостоятельной домашней работы

• Разработаны тест и контрольная работа

• Ко всем задачам в конце темы приведены ответы

Пределы и непрерывность

Глава 1. Пределы числовых последовательностей и функций.

§ 1. Числовая последовательность и ее предел

Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность :

Другими словами, числовая последовательность – это функция натурального аргумента: .

Числа называютсячленами последовательности, а число -общим или n-м членом данной последовательности.

Примеры числовой последовательности:

1. 2, 4, 6, 8, … , 2n, …

2. 3, 3, 3, 3, …

3. 

4. 

Рассмотрим числовую последовательность: . Изобразим ее члены точками числовой оси.

0

1

Можно заметить, что члены последовательности с ростомn как угодно близко приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Действительно:т.е. с ростомn будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

5. 

Рассмотрим числовую последовательность: . Изобразим ее члены точками числовой оси.

0

1

Можно заметить, что члены последовательности с ростомn как угодно близко приближаются к 1. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше. Действительно:т.е. с ростомn будет меньше любого, сколь угодно малого положительного числа.

Определение. Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого, сколь угодно малого положительного числа ,найдется такой номер N (зависящий от ,),что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство: .

Предел числовой последовательности обозначается илипри. Последовательность, имеющая предел, называетсясходящейся, в противном случае – расходящейся.

Используя логические символы: квантор общности (вместо слова «для любого») и квантор существования(вместо слова «найдется»), символ равносильности, определение предела можно записать в виде

Смысл определения предела числовой последовательности состоит в том, что для достаточно больших n члены последовательности как угодно мало отличаются от числа А (по абсолютной величине меньше, чем на число, каким бы малым оно ни было).

Пример 1

1. Доказать, что последовательность имеет предел равный нулю, т.е. требуется доказать, что

Решение: Найдем выражение для числа в зависимости от. Для любогоимеем, или. Решая неравенство относительно, получаем. Итак, заможно принять число(или любое большее число). Таким образом, для любогосуществует такое, что привыполняется неравенство, а это и означает, что.

2. Доказать, что последовательность имеет предел равный единице, т.е. требуется доказать, что

Решение: Пусть, Например, . Тогда неравенствоили, т.е.выполняется при. Аналогично дляпри.

Для любого неравенствоиливыполняется при.

Итак, при любом существует такой номер(или равный целой части), что для всех(придля, придляи т.д.) выполняется неравенство, а это и означает, что.

Выясним геометрический смысл предела числовой последовательности.

Расположим последовательности _{на числовой прямой. Неравенство} равносильно двойному неравенству, соответствующему попаданию последовательностив-окрестность точки А.

Итак, число А есть предел числовой последовательности ,если для любого найдется номер N, начиная с которого (при)все члены последовательности будут заключены в -окрестности точки А, какой бы узкой она ни была. Вне этой -окрестности может быть лишь конечное число членов данной последовательности.

Вычисление пределов числовых последовательностей

Для сходящейся последовательности справедливы теоремы:

1. ,Где - постоянная

2. 

3. ,

4. ,

Пример 2 Найти предел последовательности с общим членом , т.е требуется найти.

Решение:

Преобразуем выражение , поделив почленно числитель и знаменатель наи упростим сократив на общий множитель: (по теореме 4)(по теореме 2)( поскольку, получим)=, т.о.

Задачи для выполнения на практических занятиях

Найти предел последовательности:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Задачи для самостоятельного решения:

Найти предел последовательности:

1. 

2. 

3. 

Найти общий член последовательности:

4. 

5. 

6.