Бесов

§ 21.4. Ориентация гладкой поверхности

Пусть S — гладкая параметрически заданная поверхность (21.3.1). Тогда единичный нормальный вектор

~n = ~r0u0 ×~r 0v (1) |~ru ×~rv|

является непрерывной функцией на D, равно как и вектор −~n. Функцию ~n (и −~n) называют непрерывным полем единич-

ных нормалей поверхности S.

Определение 1. Всякое непрерывное поле единичных нормалей гладкой поверхности S называется ориентацией (или стороной) поверхности S.

Поверхность S (21.3.1), как имеющая две различных ориентации (стороны) ±~n, называется двусторонней поверхностью.

Одна из этих двух ориентаций называется положительной, а другая — отрицательной. Для определенности за положительную ориентацию гладкой поверхности (21.3.1) (если не оговорено противное) примем поле нормалей (1).

Поверхность S (21.3.1), у которой фиксирована одна из ее ориентаций, называется ориентированной поверхностью. Ориентированную поверхность S (21.3.1) с положительной ориентацией будем обозначать через S+, а с отрицательной ориентацией — через S−.

При замене параметров гладкой ориентированной поверхности в понятие допустимой замены параметров наряду с требованиями 1◦, 2◦, 3◦ включим еще требование

4.◦ ∂(u1, v1) > 0 на D1.

Тогда, как видно из (21.3.3), при замене параметров гладкой поверхности выполняются не только свойства a), b) и c), но еще и свойство

d)сохраняется ориентация поверхности (т. е. положительно ориентированная поверхность при новом ее представлении остается положительно ориентированной, а отрицательно ориентированная остается отрицательно ориентированной).

§ 21.5. Первая квадратичная форма гладкой поверхности

Пусть

S= {~r(u, v), (u, v) D}

—гладкая параметрически заданная поверхность. Это озна-

Рассмотрим дифференциал вектор-функции ~r:

d~r =~r0u du +~r0v dv.

Тогда

|d~r|2 = |~r0u du +~r0v dv|2 = |~r0u|2du2 + 2(~r0u,~rv) du dv + |~r0v|2dv2.

Определение 1. Квадратичная форма Edu2 + 2F du dv +

+ Gdv2 называется первой квадратичной формой поверхно-

сти, E, F , G — ее коэффициентами.

Первая квадратичная форма положительно определённа, т. к. |d~r|2 = 0 только при du = 0, dv = 0. Следовательно, дискриминант ее EG − F 2 > 0.

Кроме того, E > 0, G > 0.

Заметим, что

C помощью коэффициентов квадратичной формы поверхности можно вычислять площадь поверхности, длины кривых на поверхности и углы между такими кривыми.

84 Глава 21. Элементы теории поверхностей

§ 21.6. Неявно заданные гладкие поверхности

Пусть область G R3 и функция F : G → R непрерывно дифференцируема и Fx02 + Fy02 + Fz02 > 0 на G. Тогда множество точек

S = {(x, y, z) : (x, y, z) G, F (x, y, z) = 0}

будем называть неявно заданной гладкой поверхностью.

Примером такой поверхности является сфера, определяемая уравнением x2 + y2 + z2 = R2, R > 0.

Поверхность S локально можно представить как явно заданную гладкую поверхность. В самом деле, пусть, например,

F (x0, y0, z0) = 0 и Fz0(x0, y0, z0) 6= 0. Тогда по теореме о неявной функции в некоторой окрестности U((x0, y0)) × U(z0) Fz0 6= 0 и

уравнение F (x, y, z) = 0 эквивалентно уравнению

z = f(x, y), (x, y) U((x0, y0)),

где f — непрерывно дифференцируемая на U((x0, y0)) функция,

В качестве нормали (см. (21.2.6)) удобно взять вектор

0 0 0~

grad F := Fx~ı + Fy~| + Fzk.

Уравнение касательной в точке (x0, y0, z0) плоскости имеет вид

(x − x0)Fx0 (x0, y0, z0) + (y − y0)Fy0(x0, y0, z0)+

+(z − z0)Fz0(x0, y0, z0) = 0,

а уравнение нормальной прямой —

x − x0 y − y0 z − z0

Fx0 (x0, y0, z0) = Fy0(x0, y0, z0) = Fz0(x0, y0, z0) .

Если рассмотреть поверхность уровня функции F , т. е. поверхность, определяемую уравнением F (x, y, z) = c, то из предшествующего следует, что grad F ортогонален поверхности уровня. Последнее свойство согласуется, конечно, с тем, что grad F указывает направление быстрейшего роста функции F .

§21.7. Кусочно гладкие поверхности

Вдальнейшем будет использовано понятие кусочно гладкой поверхности, которое приведем здесь для простейшего случая.

Определение 1. Гладкую параметрически заданную по-

назовем элементарным гладким куском поверхности (сокра-

щенно — гладким куском или куском поверхности), если граница ∂D представляет собой простой кусочно гладкий контур.

Можно показать, что край ∂S куска поверхности представляет собой кусочно гладкий контур в R3, если параметризация его индуцирована параметризацией контура ∂D. Это очевидно, если~r|u, v| непрерывно дифференцируемо на некоторой

окрестности D.

Два куска поверхности

Si = {~ri(u, v), (u, v) Di}, i = 1, 2,

назовем соседними, если пересечение их краев ∂S1 ∩∂S2 = S1 ∩ ∩ S2 6= представляет собой объединение конечного числа ку-

86 Глава 21. Элементы теории поверхностей

Для каждого куска Sj кусочно гладкой поверхности S обозначим через ∂(i)Sj часть его края ∂Sj, состоящую из объеди-

стоит из конечного числа кусочно гладких контуров (в этом случае S называется поверхностью с краем).

Так, например, краем боковой поверхности пирамиды является периметр ее основания, а поверхность куба является кусочно гладкой поверхностью без края.

З а м е ч а н и е. Понятия кусочно гладкой поверхности S и края ∂S кусочно гладкой поверхности можно было бы обобщить, если считать, что соседние куски поверхности Si и Sj «склеиваются» не по всем кривым из ∂Si ∩ ∂Sj (как в нашем случае), а лишь по некоторым избранным (и не называются соседними, если в ∂Si ∩ ∂Sj нет кривых «склейки»). При таком подходе краем ∂S лежащего в плоскости z = 0 кольца с разрезом по радиусу можно считать объединение двух окружностей и этого разреза по радиусу, а у последнего различать два берега. Однако для наших дальнейших целей достаточно приведенных менее сложных определений соседних кусков поверхностей и края кусочно гладкой поверхности.

Рассмотрим пример другой поверхности, называемой листом Мёбиуса. Он получится, если, взяв полоску бумаги прямоугольной формы, повернуть один из ее концов вокруг средней линии на 180◦ и склеить оба конца. На листе Мёбиуса нельзя задать непрерывное поле нормалей. Такая поверхность называется неориентируемой или односторонней. Разрезав же лист Мёбиуса по месту склейки бумаги, можно представить его как (ориентируемый, т. е. двусторонний) кусок поверхности.

Обсудим связь между ориентацией гладкого куска поверхности S (1) и ориентацией его края ∂S.

Край ∂S, являющийся простым кусочно гладким контуром будем считать ориентированным. Предположим, что мы движемся по ∂S в направлении его ориентации и единичная нормаль ~n к куску S пронизывает нас с ног до головы. Если ближайшая часть S остаётся при этом слева, то говорят, что ори-

ентация ~n куска поверхности S и ориентация его края ∂S со-

гласованы (говорят ещё «согласованы по правилу штопора», «согласованы по правилу буравчика»).

Лемма 1. Пусть S — гладкий кусок поверхности (1), контур ∂D ориентирован положительно относительно D, ориентация края ∂S индуцирована ориентацией ∂D.

согласована с ориентацией его края ∂S.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1-й ш а г. Пусть S — явно заданный гладкий кусок поверх-

влением оси Oz. Край ∂S лежит на поверхности цилиндра с образующими, параллельными оси Oz, проекцией ∂S на плоскость z = 0 является ∂D. Ориентация ∂S определяется тем, что при движении точки по ∂S её проекция движется по ∂D так, что ближайшая часть D остаётся слева. Следовательно, если мы движемся по краю ∂S в направлении указанной ориентации и нормаль ~n пронизывает нас с ног до головы, то ближайшая часть S остаётся слева, так что лемма в условиях шага

1доказана.

За м е ч а н и е. Название согласованности ориентаций «по правилу штопора» объясняется следующим. Пусть в (3) D — круг, окружность ∂D ориентирована положительно относительно D, т.е. проходится против часовой стрелки. Если

ручку штопора вращать в соответствии с ориентацией ∂S, то штопор движется в направлении ~n.

2-й ш а г. Пусть теперь S — гладкий кусок поверхности общего вида (1). Вопрос согласованности ориентаций достаточно решить локально, т.е. в сколь угодно малой окрестности произвольной точки rˆ(u0, v0) ∂S ((u0, v0) ∂D).

Для определённости будем считать что ~ 0 0

, (~n, k)(u , v ) =

=∂(x, y) > 0 (другие случаи рассматриваются аналогично).

∂(u, v)

Привлекая теорему 12.3.3 о локальной обратимости непрерывно дифференцируемого отображения, можно показать, что при достаточно малом ε > 0

(

1.◦ Отображение F : x = x(u, v), является взаимно од- y = y(u, v)

Рассмотрим гладкий кусок поверхности

Sε := {~r(u, v), (u, v) Dε} S.

Замена параметров (u, v) на параметры (x, y) является допустимой для Sε. (см. § 21.3) и Sε можно представить в виде

где (x, y, f(x, y)) = rˆ(u(x, y), v(x, y)) = ρˆ(x, y).

Остаётся убедиться в согласованности ориентаций Sε и ∂Sε, для чего дважды воспользуемся положительностью яко-

Содной стороны единичная нормаль к куску Sε, вычисленная по формуле (3), совпадает с исходной единичной нормалью

~n в силу (21.3.3).

Сдругой стороны, ориентация ∂Dε , индуцированная ориентацией ∂Dε, является положительной относительно Dε в силу геометрического смысла знака якобиана отображения F: Dε ↔

↔Dε (см. конец § 20.4).

Следовательно, мы находимся в условиях первого шага доказательства леммы, из утверждения которого получаем, что ориентации Sε и ∂Sε согласованы.

Таким образом, задание ориентации куска поверхности S (1) равносильно заданию ориентации его края ∂S (являющегося кусочно гладким контуром). Поэтому ориентацию края ∂S также будем называть ориентацией S.

Пусть теперь S~ν1 1 и S~ν2 2 — два соседних куска поверхности, каждый из которых ориентирован каким-либо способом (одним из двух). Их ориентации ~ν1, ~ν2 будем называть согласованными, если каждая из них на любой кусочно гладкой кривой из ∂S1 ∩∂S2 порождает противоположные ориентации.

ности Si (1 6 i 6 I), если она существует, называется ориентацией ~ν поверхности S. Совокупность противоположных ориентаций (−~νi) кусков Si (1 6 i 6 I) называется при этом противоположной ориентацией поверхности S.

Ориентируемая кусочно гладкая поверхность S, у которой фиксирована одна (из двух) ее ориентаций ~ν, называется ориентированной; обозначим ее через S~ν.

Край ориентированной кусочно гладкой поверхности (с краем) состоит из конечного числа контуров. Любой из этих контуров представляет собой объединение конечного числа кривых, каждая из которых является частью одного из ориентированных контуров ∂Si и потому сама имеет ориентацию.

Можно показать, что совокупность ориентаций всех таких кривых определяет ориентацию всех контуров из ∂S. Совокупность этих ориентаций контуров из ∂S называется ориента-

цией края ∂S, порожденной заданной ориентацией поверхности

S~ν.

Глава 22 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 22.1. Поверхностные интегралы первого рода

Пусть в трехмерном евклидовом пространстве задана гладкая поверхность

В определении допустимой замены параметров (u, v) по-

верхности (1) (u = u(u1, v1), v = v(u1, v1), (u1, v1) D) будем теперь включать еще дополнительное требование измеримости области D1.

называется поверхностным интегралом первого рода от функции F по поверхности S.

Установим некоторые свойства поверхностного инте-

RR

2.◦ Поверхностный интеграл первого рода (2) не зависит от параметризации гладкой поверхности (1) (при которой область изменения параметров измерима).