Бесов

Пусть в замыкании G области G задано непрерывное век-

= {Gx,m}mmx=1, τy = {Gy,m}mmy=1, τz = {Gz,m}mmz=1, где Gx,m, Gy,m,

Gz,m соответственно Ox-простые, Oy-простые и Oz-простые области.

G∂G

Это равенство называется формулой Остроградского–Гаусса.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем рассматривать лишь поле

вида ~ т к случаи полей рассматриваются ана

~a = Rk, . . P~ı, Q~| -

логично, а из доказательства формулы (4) во всех трех случаях следует утверждение теоремы.

1-й ш а г. Пусть область G является Oz-простой (см. определение 4). Тогда, сводя тройной интеграл к повторному и используя формулу Ньютона–Лейбница, получаем

ZZ ZZ

= R(x, y, ψ(x, y)) dx dy − R(x, y, ϕ(x, y)) dx dy.

D D

Пусть S1 — нижняя, S2 — верхняя, S0 — боковая сторона поверхности ∂G. Ориентируем их с помощью единичного вектора ~n внешней (по отношению к G) нормали.

Тогда из последней цепочки равенств получаем, что

ZZZ

div~a dx dy dz =

G

поскольку последнее слагаемое равно нулю, т. к. (a,~n) = 0 на S0. Следовательно, в условиях шага 1 формула (4) справедлива.

й ш а г Пусть условия теоремы выполнены при ~

2- . ~a = Rk

и τz = {Gz,m}mmz=1 — разбиение G из условия теоремы. Тогда, используя результат шага 1, имеем

ZZZ mz ZZZ

X

div~a dx dy dz = div~a dx dy dz =

G m=1 Gz,m

mz ZZ ZZ

X

= (a,~n(m)) dS = (a,~n) dS.

m=1 ∂Gz,m ∂G

Здесь ~n(m) — единичный вектор внешней нормали к границе ∂Gz,m области Gz,m. При получении последнего равенства учтено, что на общей части ∂Gz,m ∩ ∂Gz,p границ двух Oz-простых областей Gz,m и Gz,p (m 6= p) внешние нормали ~n(m) и ~n(p) противоположны. Поэтому сумма потоков вектора ~a через эту общую часть границы в направлениях ~n(m) и ~n(p) равна нулю.

Следовательно, в последней сумме интегралы по ∂Gz,m можно заменить интегралами по ∂G ∩ ∂Gz,m. Поскольку

Smz (∂G ∩ Gz,m) = ∂G, мы приходим к последнему равенству

m=1

последней цепочки равенств.

Таким образом утверждение теоремы для ~ а вместе

, ~a = Rk,

с ним и для общего случая векторного поля ~a, установлено.

Получим одно следствие формулы Остроградского–Гаусса.

Пусть векторное поле ~ непрерывно вместе с

~a = P~ı + Q~| + Rk

производными Px0 , Q0y, Rz0 в некоторой окрестности U(M) точки

MR3. Пусть Bε — шар радиуса ε > 0 с центром в точке

M, ∂Bε — поверхность шара, ~n — единичный вектор внешней

Интеграл в правой части (5) не зависит от выбора прямоугольной системы координат в R3, так что и дивергенция векторного поля не зависит от выбора прямоугольной системы координат. Формула (5) может служить определением дивергенции. Такое определение дивергенции называют геометрическим.

Упражнение 1. Выразить меру области G R3 через поверхностные интегралы, применив формулу Остроградского–

Определение 5. Ограниченную область G R3, удовлетворяющую условиям теоремы Остроградского–Гаусса, будем называть допустимой.

Определение 6. Непрерывно дифференцируемое в области G R3 векторное поле ~a = ~a(x, y, z) называется соленои-

дальным, если

div~a = 0 на G.

Теорема 2. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое в области G векторное поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы был равен нулю его поток в направлении внешней нормали через границу любой допустимой области D, замыкание которой D G.

Д о к а з а т е л ь с т в о достаточности следует из формулы (5), а необходимости — из формулы Остроградского– Гаусса (4).

Определение 7. Область G R3 называется объемно односвязной, если для любой допустимой области D R3 из условия ∂D G следует, что D G.

Можно сказать условно, что объемно односвязная область не имеет «дыр», «пустот».

З а м е ч а н и е 1. Дают и отличное от определения 6 определение соленоидального поля в области G R3, называя соленоидальным такое непрерывно дифференцируемое векторное поле, для которого равен нулю поток в направлении внешней нормали через границу ∂D любой допустимой области D с границей ∂D G.

Ясно, что оба этих определения совпадают, если область G объемно односвязна.

§ 23.3. Формула Стокса

Пусть дважды непрерывно дифференцируемый (элементарный гладкий) кусок поверхности

S = {~r(u, v), (u, v) D} G R3,

где G — область в R3, D — плоская ограниченная область с границей

Говорят, что контур ограничивает поверхность S, а также, что поверхность S натянута на контур .

Будем считать контур ∂D ориентированным положительно относительно D.

Пусть

— ориентация поверхности S. При этом ориентации S и ∂S оказываются согласованными по правилу штопора (см.

лемму 21.7.1).

т. е. поток вихря векторного поля через поверхность S равен циркуляции векторного поля по контуру, ограничивающему эту поверхность.

Формула (3) называется формулой Стокса. В координатной форме формула (3) имеет вид

Z

= P dx + Q dy + R dz. (4)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим лишь случай вектор-

~ ~

ного поля ~a = P~ı + 0~| + 0k, так как случаи поля Q~| и Rk рассматриваются аналогично и все вместе приводят к формуле (4) общего вида. Итак,

Z

P (x, y, z)dx =

Zb

=P [x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))]×

a

×[x0u(u(t), v(t))u0t + x0v(u(t), v(t))vt0] dt =

Z

=P [x(u, v), y(u, v), z(u, v)][x0u(u, v) du + x0v(u, v) dv].

∂D

Применив формулу Грина к последнему интегралу, получаем, что

что и требовалось показать.

З а м е ч а н и е 1. Справедливость теоремы (формулы) Стокса сохранится, если в ее условиях уменьшить требование к поверхности S, сняв условие непрерывности вторых производных (которое является лишь «техническим», т. е. нужным лишь для проведения приведенного доказательства).

Таким образом, теорема Стокса остается верной, если под S понимать произвольный параметрически заданный (элементарный гладкий) кусок поверхности (см. терминологию в § 21.5). План доказательства такого обобщения теоремы Стокса может состоять в аппроксимации гладкого куска поверхности гладким дважды непрерывно дифференцируемым куском, применением к последнему доказанной теоремы Стокса и предельном переходе по последовательности аппроксимирующих гладких дважды непрерывно дифференцируемых кусков.

Не приводя самого доказательства, будем считать, что теорема (формула) Стокса верна в указанной более общей формулировке.

Формула Стокса (3) остается справедливой и при одновременной замене ориентаций куска поверхности S и его края ∂S = на противоположные, т. к. при этом обе части равенства (3) поменяют знаки на противоположные. Ориентации S и ∂S = после смены на противоположные также окажутся взаимно согласованными по «правилу штопора».

Теорему Стокса можно обобщить на случай ориентиро-

системы координат. То же относится, следовательно, и к rot~a в силу произвольности вектора ~ν.

Правая часть (5) может быть принята за определение проекции rot~a на ~ν.

§ 23.4. Потенциальные векторные поля (продолжение)

Необходимым и достаточным условием потенциальности непрерывного в области G векторного поля ~a является в силу

P Q R

0 − 0 0 − 0 0 − 0 ~ ~

= (Ry Qz)~ı + (Pz Rx)~| + (Qx Py)k = 0, (3)

при выполнении которого векторное поле~a называется безвих-

ревым.

Теорема 1. Пусть непрерывно дифференцируемое векторное поле в области G R3 потенциально.

Тогда оно является безвихревым.

Эта теорема содержится как часть в теореме 20.5.2.

Условие (3), являясь необходимым условием потенциальности непрерывно дифференцируемого векторного поля ~a, не

потенциальным, в чем можно убедиться, вспомнив, что циркуляция его по окружности CR = {(R cos θ, R sin θ, 0), 0 6 θ 6 2π} радиуса R

Z

(~a, d~r) = 2π 6= 0,

CR

см. пример 20.5.1.

Условие (3) оказывается необходимым и достаточным условием потенциальности поля для областей G R3 с некоторым геометрическим свойством, называемым поверхностной одно-

связностью.

Определение 2. Область G R3 называется поверхностно односвязной, если для любой простой замкнутой ломаной Λ G существует удовлетворяющая условиям теоремы Стокса и натянутая на Λ поверхность S G.

Пример 2. Область G R3 называется выпуклой, если вместе с любыми двумя своими точками она содержит и отрезок с концами в этих точках.

Выпуклая область является поверхностно односвязной. В самом деле, пусть замкнутая ломаная Λ G. Покажем, что на нее можно натянуть лежащую в области G поверхность S, удовлетворяющую условиям теоремы Стокса. Пусть

Λ = {~ρ(u), 0 6 u 6 2π},

0 = u0 < u1 < . . . < uI = 2π, Ai = ρˆ(ui) — последовательно занумерованные ее вершины (Ai = A0). Выберем произвольную точку B G, не лежащую ни на одной прямой, соединяющей точки Ai−1 и Ai (i = 1, . . . , I). Рассмотрим кусочно гладкую

SI

поверхность S = i=1 Si, гладкие куски Si которой являются треугольниками с вершинами Ai−1, Ai, B. Очевидно, что S и является искомой поверхностью.

Пример 3. Область G из примера 1 не является поверхностно односвязной, т. к., например, на ломаную Λ, лежащую

вплоскости z = 0 и «охватывающую» ось Oz, нельзя натянуть требуемую поверхность S, лежащую в области G, т. е. не пересекающую ось Oz. В качестве такой ломаной Λ можно взять, например, ломаную, вписанную в окружность CR из примера 1,

вчастности, равносторонний треугольник в плоскости z = 0 с центром в точке (0, 0).

Пример 4. Область, образованная вращением открытого круга плоскости Oxz, не пересекающего оси Oz, вокруг оси Oz и называемая тором, не является поверхностно односвязной.

Теорема 2. Пусть непрерывно дифференцируемое векторное поле ~a задано в поверхностно односвязной области G.

Тогда для его потенциальности необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость установлена в теореме 20.5.2. Для доказательства достаточности покажем, что выполняется условие (2) для произвольного кусочно гладкого контура G. В силу леммы об аппроксимации криволинейного интеграла второго рода достаточно убедиться в выполнении условия

на Λ поверхность S G, удовлетворяющую условиям теоремы Стокса, что можно сделать в силу поверхностной односвязности области G. Тогда по теореме Стокса

Z ZZ ZZ

~

(~a, d~r) = (rota,~ν) dS = (0,~ν) dS = 0.

Λ S S

Следовательно, условие (4) выполняется и теорема доказана.

З а м е ч а н и е 1. Сравним характер условий (1), (2), (3) потенциальности непрерывно дифференцируемого поля ~a.