Бесов

Итак, на отрезке [0, 2π] сумма ряда Фурье f˜ функции f совпадает с f на интервале (0, 2π) и отличается от f в концах интервала.

Определение 2. Функцию f называют непрерывной и ку-

сочно непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b], если она непрерывна на [a, b] и существует такое разбиение {ai}mi=0 отрезка [a, b] (a = a0 < a1 < a2 < . . . < bm = b), что производная f0 непрерывна на каждом отрезке [ai−1, ai], если в концах его производную понимать как одностороннюю.

2π-периодическую функцию будем называть кусочно непре-

рывной (непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируе-

мой), если она кусочно непрерывна (непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема) на отрезке [−π, π].

Теорема 2. Пусть f — 2π-периодическая непрерывная и кусочно непрерывно дифференцируемая функция.

Тогда ряд Фурье функции f сходится к f равномерно на R

Пусть M1 = max |f0|. С помощью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем, что при 0 < t 6 π

|f(x + t) + f(x − t) − 2f(x)| 6 2M1t.

Следовательно, при 0 < t 6 π

2M1t

|gx(t)| 6 2 sin 2t 6 πM1

и (за исключением, быть может, конечного числа значений t)

где C не зависит от n. Теорема доказана.

Другое доказательство теоремы 2 совпадает с доказательством случая α = 1 теоремы 3.

Подчеркнем, что теорема 2 не только устанавливает равномерную сходимость ряда Фурье, но и дает оценку быстроты стремления к нулю остатка этого ряда.

Равномерная сходимость ряда Фурье периодической функции может быть установлена и при условиях более общих, чем в теореме 2, например, для функций, удовлетворяющих условию Гёльдера.

Определение 3. Говорят, что функция f: [a, b] → R удовлетворяет условию Гёльдера степени α, 0 < α 6 1 (или условию Липшица в случае α = 1), если Mα > 0:

|f(x) − f(y)| 6 Mα|x − y|α x, y [a, b].

Заметим, что функции, удовлетворяющие условию Гёльдера, непрерывны и что класс функций, удовлетворяющих условию Гёльдера степени α, сужается при увеличении α.

Если функция f непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема на [a, b], то она удовлетворяет на [a, b] условию Липшица.

Следующая теорема обобщает теорему 2.

где Cα не зависит от n.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся формулой (2) в виде

124 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

Для оценки Jδ,n(x) при πλ 6 δ < |t| < π воспользуемся равенством

n

теоремы.

Часть теоремы 2, касающаяся лишь факта равномерной сходимости, допускает следующее обобщение.

Теорема 4. Пусть 2π-периодическая функция f абсолютно интегрируема на [−π, π]. Пусть на некотором отрезке [a0, b0] f непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема.

Тогда ряд Фурье функции f равномерно сходится к f на любом отрезке [a, b] (a0, b0).

До к а з а т е л ь с т в о. Пусть λ = λn = n + 12 , πλ 6 δ, [a −

−2δ, b + 2δ] [a0, b0], x [a, b]. Воспользуемся оценкой (5). В

ранее принцип локализации, показывая, что для утверждения о равномерной сходимости ряда Фурье функции f на отрезке [a, b] достаточно учесть поведение этой функции лишь на окрестности (a−ε, b+ ε) этого отрезка при сколь угодно малом

ε > 0.

Теорему 4 можно обобщить, заменив условие кусочно непрерывной дифференцируемости на условие Гёльдера степени

α> 0 на [a0, b0].

§24.3. Приближение непрерывных функций

многочленами

Определение 1. Функция вида

называется тригонометрическим многочленом (тригонометрическим полиномом) степени n.

Теорема 1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π-периодичес-

кая непрерывная функция. Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что

max |f(x) − T (x)| < ε.

x R

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим ε > 0. Пусть τ = {xj}Jj=0, xj = −π + j 2Jπ , — разбиение отрезка [−π, π]. Построим ло-

маную (вписанную в график функции f), соединив отрезками последовательно точки (xj, f(xj)) графика f. Обозначим через ΛJ : R → R 2π-периодическую непрерывную функцию, график которой совпадает на [−π, π] с построенной ломаной. Очевидно, ΛJ — кусочно линейная на [−π, π] функция, а значит, и кусочно непрерывно дифференцируемая (т. е. Λ0J кусочно непрерывна).

Непрерывная функция f является равномерно непрерыв-

§ 24.3. Приближение непрерывных функций многочленами 127

Функция ΛJ удовлетворяет условиям теоремы 24.2.1, поэтому ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на R. Следова-

т. е. утверждение теоремы при

T (x) = Sn(x; ΛJ ).

Теорему 1 в эквивалентной форме можно сформулировать следующим образом.

Теорема 10. (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-

рывна на отрезке [−π, π] и f(−π) = f(π). Тогда для каждого ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T , что

max |f(x) − T (x)| < ε.

−π6x6π

Упражнение 1. Показать, что последняя теорема перестает быть верной, если отбросить условие f(−π) = f(π).

Заметим, что в теореме 1 в качестве тригонометрического многочлена T нельзя (вообще говоря) взять Sn(x; f) (частичную сумму ряда Фурье функции f), поскольку ряд Фурье непрерывной функции не обязан равномерно сходиться (не обязан даже и поточечно сходиться) к функции f. Однако в качестве T можно взять σn(x; f) (сумму Фейера функции f) при достаточно большом n, где

σn(x; f) = S0(x; f) + S1(x; f) + . . . + Sn(x; f) n + 1

— среднее арифметическое сумм Фурье, как это следует из теоремы Фейера.

Теорема 2 (Фейера). Пусть f — 2π-периодическая непрерывная функция. Тогда

σn(x; f) f(x) при n → ∞.

R

128 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

Оставим эту теорему без доказательства.

Факт сходимости последовательности сумм Фейера в теореме Фейера выражают еще и следующим образом:

Ряд Фурье 2π-периодической непрерывной функции f суммируем к f(x) методом средних арифметических.

Метод суммирования ряда средними арифметическими (последовательности его частичных сумм) дает возможность и для некоторых расходящихся рядов определить понятие их суммы как предела последовательности этих средних арифметических. Для сходящегося ряда это понятие совпадает с понятием суммы ряда.

Пример 1. Расходящийся ряд 1−1+1−1+ . . . суммируем методом средних арифметических к числу 12 .

С помощью теоремы 1 (Вейерштрасса) доказывается и возможность приближения с любой точностью непрерывной на отрезке функции подходящим алгебраическим многочленом P .

Теорема 3 (Вейерштрасса). Пусть функция f непре-

рывна на отрезке [a, b]. Тогда для любого ε > 0 существует такой алгебраический многочлен P , что

max |f(x) − P (x)| < ε.

a6x6b

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отобразим линейно отрезок [0, π] на отрезок [a, b]:

x = a + b −π a t, 0 6 t 6 π, a 6 x 6 b,

и положим f (t) = f a + b −π a t , 0 6 t 6 π. Продолжим ее четным образом на отрезок [−π, 0] и затем на всю ось с периодом 2π, сохранив обозначение f . Полученная функция f : R → R является 2π-периодической и непрерывной на R. По теореме 1 для каждого ε > 0 найдется такой тригонометрический многочлен T , что

степенные ряды с радиусом сходимости R = +∞, и, следова-

Домножим равенство (2) почленно на f(x) и проинтегрируем полученный ряд (также равномерно сходящийся) почленно. Получим в силу формул (24.1.2) для коэффициентов Фурье ра-

венство Парсеваля:

следствием которого является (2).

Пусть теперь функция f удовлетворяет условиям леммы и ΛJ : R → R — 2π-периодическая непрерывная функция, кусочно линейная на [−π, π], построенная при доказательстве теоремы Вейерштрасса 24.3.1 (график ΛJ представляет собой вписанную в график f ломаную). Обозначим через ak(f), bk(f) коэффициенты Фурье функции f.

Используя уже доказанный случай неравенства (1), получаем

Переходя в последнем неравенстве к пределу при n → ∞, приходим к утверждению леммы.

З а м е ч а н и е 1. Равенство Парсеваля (3) и (следовательно) неравенство Бесселя (1) будут распространены в § 25.4 на абсолютно интегрируемые на (−π, π) функции со сходящимися интегралами в правых частях (3), (1).