Бесов

Как видим, наши требования к предельной «функции» δ(x) противоречивы, если понимать их в классических математических терминах. Этот (в частности) вопрос разрешим в рамках теории обобщенных функций, созданной С.Л. Соболевым

иЛ. Шварцем.

Врассмотренном примере можно использованное понятие поточечного предельного перехода заменить другим. Если ϕ

— произвольная непрерывная на (−∞, +∞) функция, то суще-

ствует

Z +∞

lim δε(x)ϕ(x) dx = ϕ(0).

ε→0 −∞

Формально это записывают так:

Отображение, которое каждой функции некоторого класса ставит в соответствие число, называется функционалом. Последнее равенство означает, что δ(x) — функционал, определенный на множестве всех непрерывных на (−∞, +∞) функций и ставящий в соответствие каждой непрерывной функции ее значение в точке 0. Функционал δ(x) называют δ-функцией Дирака. Функцию δε(x) также можно рассматривать как функционал на множестве всех непрерывных функций, действующий по формуле

Z ∞

ϕ → δε(x)ϕ(x) dx,

−∞

в которой интеграл можно понимать как интеграл Римана

hi

по отрезку − 2ε , 2ε , а предельный переход δε → δ (называ-

емый слабой сходимостью) понимать как предельный переход на множестве функционалов.

Перейдем к точным формулировкам. Будем далее рассматривать лишь одномерный случай.

Функция f: R → R называется финитной, если f = 0 вне некоторого отрезка.

тогда и только тогда, когда ее носитель компактен (т. е. является замкнутым ограниченным множеством).

Символом C0∞ обозначается множество бесконечно дифференцируемых финитных функций.

Оно является линейным пространством при естественном определении операций сложения функций и умножения функции на число.

Введем в C0∞ понятие сходимости.

Определение 1. Последовательность {ϕk}∞k=1 функций

ϕk C0∞ называется сходящейся к функции ϕ C0∞, если

1.◦ [a, b]: supp ϕk [a, b] k N,

2.◦ sup |ϕ(ks) − ϕ(s)| → 0 при k → ∞, s N0.

Определение 2. Линейное пространство C0∞ с введенным определением 1 понятием сходимости называется простран-

ством D основных функций.

Пусть f — функционал на пространстве D основных функций. Значение f на ϕ D обозначается через (f, ϕ).

Определение 5. Всякий линейный непрерывный функционал на D называется обобщенной функцией.

Определение 6. Пространством обобщенных функций D0 называется множество (линейное пространство) всех обобщенных функций с введенными в нем операциями сложения, умножения на число и сходимостью по следующим правилам:

лютно интегрируема (т.е абсолютно интегрируема на каждом отрезке [a, b] (−∞, +∞)). Тогда функционал, определенный равенством

является обобщенной функцией, т. е. элементом D0.

Определение 7. Обобщенная функция называется регулярной, если ее значения на ϕ D представимы в виде (1) с некоторой локально абсолютно интегрируемой функцией f.

В противном случае обобщенная функция называется син-

гулярной.

Регулярная обобщенная функция, определяемая формулой (1), обозначается тем же символом f и отождествляется с локально абсолютно интегрируемой функцией f. Можно сказать, таким образом, что D0 содержит все локально абсолютно интегрируемые функции.

Пример 3. δ-функция, определяемая формулой

(δ, ϕ) = ϕ(0) ϕ D,

является сингулярной обобщенной функцией. Покажем это. Допустив противное, предположим, что δ-функция является регулярной обобщенной функцией, т. е. что при некоторой локально абсолютно интегрируемой функции f

Z

f(x)ex2−a2 dx = ϕ(0) = e−1 a (0, 1).

−a

Но это равенство не выполняется при малых значениях a, т. к. его левая часть ограничена интегралом

Z a

|f(x)| dx → 0 при a → 0 + 0.

−a

Следовательно, δ-функция не является регулярной, а значит, является сингулярной обобщенной функцией.

Пример 4. Последовательность {fk}∞k=1 неотрицательных абсолютно интегрируемых на (−∞, +∞) функций называется

206 Глава 28. Обобщенные функции

т. е. (в соответствии с определением сходимости в D0)

Z ∞

fk(x)ϕ(x) dx → ϕ(0) при k → ∞ ϕ D.

−∞

§ 28.2. Дифференцирование обобщенных функций

называется производной обобщенной функции f.

Читателю предлагается проверить, что функционал, стоящий в правой части (1), является линейным и непрерывным на D, т. е. обобщенной функцией.

Переход от обобщенной функции к ее производной называ-

ется операцией дифференцирования.

Теорема 1. Справедливы следующие свойства операции дифференцирования:

1.◦ линейность, т. е.

(αf + βg)0 = αf0 + βg0 f, g D0, α, β R; 2.◦ непрерывность, т. е. при k → ∞

fk → f в D0 fk0 → f0 в D0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1◦. Для ϕ D имеем

((αf + βg)0, ϕ) = −(αf + βg, ϕ0) = −α(f, ϕ0) − β(g, ϕ0) =

= α(f0, ϕ) + β(g0, ϕ) = (αf0 + βg0, ϕ).

2◦. Пусть при k → ∞ fk → f в D0. Тогда для ϕ D

(fk0 , ϕ) = −(fk, ϕ0) → −(f, ϕ0) = (f0, ϕ).

Пример 1. Пусть θ — функция Хевисайда

(

0при x < 0,

θ(x) =

1при x > 0.

Рассматривая θ как обобщенную функцию, найдем ее производную. Пусть ϕ D. Тогда

называется производной порядка n от обобщенной функции f.

Так же, как для n = 1, проверяется, что функционал (f, ϕ(n)) из правой части (2) является линейным и непрерывным на D, т. е. обобщенной функцией.

Упражнение 1. Вычислить вторую производную функ-

ции f(x) = |x|.

Мы видим, что каждую обобщенную функцию f ( D0) можно дифференцировать и притом сколько угодно раз, а ее производная f(n) любого порядка n также является обобщенной функцией (элементом D0).

При x → ±∞ функция ϕ S и каждая из ее производных убывает быстрее любой степени функции |x1|. Такую функцию называют быстро убывающей.

Заметим, что C0∞ S, однако S не совпадает с C0∞. Так, функция ϕ(x) = e−x2 принадлежит S, но не C0∞.

Введем в S понятие сходимости.

Определение 2. Последовательность {ϕk}∞k=1 функций ϕk S называется сходящейся к функции ϕ S, если

kϕk − ϕkn,m → 0 при k → ∞ для n, m N0. (2)

В других терминах сходимость (2) означает, что для любых n, m N0

xnϕ(km)(x) xnϕ(m)(x) на (−∞, +∞) при k → ∞.

Определение 3. Линейное пространство S с введенной сходимостью (2) называется пространством S основных функций.

Определение 4. Линейный непрерывный функционал над S называется обобщенной функцией медленного роста.

Пример 1. Пусть функция f локально абсолютно интегрируема и при некоторых A > 0, n N

|f(x)| 6 A(1 + |x|n), x (−∞, ∞).

Тогда

Z ∞

(f, ϕ) := f(x)ϕ(x) dx ϕ S

−∞

является обобщенной функцией медленного роста.

Определение 5. Пространством S0 обобщенных функ-

ций (медленного роста) называется множество (линейное пространство) всех обобщенных функций медленного роста с введенными в нем операциями сложения, умножения на комплекс-

ные числа и сходимостью по следующим правилам:

1.◦ (αf +βg, ϕ) = α(f, ϕ)+β(g, ϕ), f, g S0, α, β C, ϕ S, 2.◦ последовательность {fk}∞k=1, fk S0 k N, называется

сходящейся в S0 к f S0 при k → ∞, если

(fk, ϕ) → (f, ϕ) при k → ∞ ϕ S.