Бесов

где ω(δ, ϕ, Π) — модуль непрерывности функции ϕ на замкнутом прямоугольнике Π = [ξ, η] × [c, d].

Поскольку ϕ равномерно непрерывна на Π, то можно указать δ = δ(ε) > 0 такое, что ω(δε, ϕ, Π) < ε.

Тогда из (1) получаем, что

Z b

|f(x) − fε(x)| dx < ε.

a

Для каждого ε > 0 такая функция fε существует в силу следствия 14.8.1.

Тогда

Z d Z b Z b Z d

fε(x)ϕ(x, y) dx dy = fε(x) ϕ(x, y) dy dx. (2)

c a a c

Переходя в этом равенстве к пределу при ε → 0, получим утверждение 2◦ теоремы.

Предельный переход в левой части равенства (2) обосновы-

[f(x) − fε(x)]ϕ(x, y) dx dy 6

ca

Z b

6 M(d − c) |f(x) − fε(x)| dx 6 M(d − c)ε.

a

ствующим свойствам рядов Фурье по тригонометрической системе. В качестве примера можно сравнить формулировки теорем 1 и 24.2.1. Для интегралов Фурье, как и для рядов Фурье, справедлив принцип локализации, аналогично формулируются различные условия сходимости в точке (например, в терминах условий Гёльдера) и равномерной сходимости, одинаково влияние гладкости функции на скорость сходимости рядов Фурье и интегралов Фурье, имеется аналог равенства Парсеваля и т. п.

196 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Напомним, что для комплекснозначной функции действительного аргумента

w(t) = u(t) + iv(t), u(t), v(t) R t

интеграл Римана и несобственный интеграл Римана определяются так же, как для действительнозначной функции. При этом

Z b Z b Z b

w(t) dt = u(t) dt + i v(t) dt,

a a a

если два последних интеграла существуют, и

w(t) dt 6 |w(t)| dt,

aa

если интеграл в левой части существует как интеграл Римана или абсолютно сходится как несобственный интеграл с несколькими особенностями.

Определение 2. Пусть функция f: (−∞, +∞) → R интегрируема по Риману на любом отрезке [−η, η], η > 0. Тогда

Пусть функция ϕ: [a, b]\{x0} → R, x0 (a, b), интегрируема по Риману на любом множестве [a, b] \ Uε(x0), ε > 0. Тогда

aε→0 [a,b]\Uε(x0)

Введенные конструкции называются главными значениями

(valeur principale) интегралов.

Если интеграл сходится как несобственный, то он имеет, очевидно, и главное значение, совпадающее с несобственным интегралом. Обратное неверно. Например, главные значения интегралов R−∞∞ sin x dx, R−11 dxx существуют и равны нулю, но сами интегралы не сходятся как несобственные.

Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и в каждой точке имеет обе односторонние производные (а зна-

чит, и непрерывна на (−∞, +∞)). Тогда по теореме 1 для

x R

В то же время вследствие нечетности функции sin x

Z +∞ Z +∞

−∞ −∞

Умножив последнее равенство почленно на 2iπ и сложив с предыдущим, получим

Последняя формула называется комплексной записью ин-

теграла Фурье.

§ 27.2. Преобразование Фурье

Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и

вкаждой точке x оси имеет односторонние производные f+0 (x), f−0 (x) (а значит, и непрерывна на (−∞, +∞)). Тогда она может быть разложена в интеграл Фурье. Это разложение, имеющее

вкомплексной форме вид (27.1.7), можно переписать так:

Правая часть (1) представляет собой результат двух последовательно примененных интегральных преобразований.

Определение 1. Пусть функция f: (−∞, +∞) → C (комплекснозначная) абсолютно интегрируема на любом отрезке

[−η, η] (−∞, +∞).

Преобразование Фурье функции f определяется формулой

198 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Обратное преобразование Фурье функции f определяется фор-

мулой

В частности, если f — комплекснозначная абсолютно интегрируемая на (−∞, +∞) функция, то

Теорема 1. Пусть f: (−∞, +∞) → R абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и имеет в каждой точке обе односторонние производные. Тогда

Д о к а з а т е л ь с т в о. Первая из формул (5) совпадает с ранее установленной формулой (1). Вторая получается применением первой к функции f (x) := f(−x).

Формулы (5) называют формулами обращения.

З а м е ч а н и е 1. Теорема 1 установлена для действительнозначных функций f. Она справедлива и для комплекснозначных функций f действительного аргумента (f: (−∞, +∞) → C), поскольку каждую такую функцию можно представить в виде f(x) = g(x) + ih(x), где g, h: (−∞, +∞) → → R, и воспользоваться теоремой 1 для функций g и h.

Эти же соображения применимы и при выводе ряда других свойств преобразований F и F −1. Поэтому при их формулировке и доказательстве можно ограничиться рассмотрением лишь действительнозначных функций.

Установим некоторые свойства преобразования Фурье аб-

солютно интегрируемых функций (f1, f2, f): 1.◦ (линейность)

F [λ1f1 + λ2f2] = λ1F [f1] + λ2F [f2] λ1, λ2 C,

Изучим преобразование Фурье производных и производные преобразования Фурье.

Теорема 2. Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) и f0 непрерывна и абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Тогда

200 Глава 27. Интеграл Фурье и преобразование Фурье

Следствие 1. Пусть функция f абсолютно интегрируема на (−∞, +∞) вместе со своими производными до порядка n

(−∞, +∞). Тогда

d

dy F [f](y) = F [−if1](y) = F [−ixf(x)](y).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя первый из интегралов (4) по параметру y, получаем на основании тео-

Заметим, что последний интеграл сходится равномерно на (−∞, +∞) по признаку Вейерштрасса с мажорантой ϕ(x) = = |xf(x)|.

Следствие 2. Пусть функция f непрерывна на (−∞, +∞), а функция fn (fn(x) = xnf(x)) при некотором n N абсолютно интегрируема на (−∞, +∞). Тогда при y (−∞, +∞) существует

dnn F [f](y) = F [(−i)nfn](y) = F [(−ix)nf(x)](y). dy