Бесов

§ 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 131

Теорема 1. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема и пусть

т. е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье функции почленным дифференцированием.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

Интегрируя по частям, получим

αk = 1 Z π f0(x) cos kx dx =

π−π

π−π

Лемма 2. Пусть 2π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно непрерывную производную порядка m N.

Тогда для коэффициентов Фурье функции f выполняются

132 Глава 24. Тригонометрические ряды Фурье

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m > 1 и

∞

X

f(m)(x) αk cos kx + βk sin kx.

k=1

Применяя m раз теорему 1, получаем, что

|αk| + |βk| = km(|ak| + |bk|), k N.

Поскольку коэффициенты Фурье αk, βk → 0 (k → ∞), из последнего равенства получаем (5).

Лемма 2 показывает, что коэффициенты Фурье функции f тем быстрее стремятся к нулю, чем лучше дифференциальные свойства функции f.

Утверждение леммы 2 можно несколько усилить, если применить неравенство Бесселя (1) к производной f(m):

Установим оценки скорости приближения функции ее суммами Фурье в зависимости от дифференциальных свойств функции. Изучим для этого характер сходимости ряда, сопряженного с рядом Фурье 2π-периодической непрерывной и кусочно непрерывно дифференцируемой функции f, т. е. ряда

Последнее равенство устанавливается так же, как (24.1.5). Так же, как (24.1.8), устанавливается, что частичную сумму

n

X

˜ −

Sn(x; f) = ak sin kx bk cos kx

k=1

§ 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 133

ряда (6) можно представить в виде

˜ − 1 Z π ˜ − −

Sn(x; f) = Dn(t)[f(x + t) f(x t)] dt =

π0

Лемма 3. Пусть 2π-периодическая функция f непрерывна и кусочно непрерывно дифференцируема, ak, bk — ее коэффициенты Фурье.

Тогда ряд (6) сходится равномерно и при некотором C > 0 и n > 2

щью теоремы Лагранжа о конечных приращениях получаем

|f(x + t) − f(x − t)| 6 2M1t, 0 < t 6 π,

откуда следует, в частности, что f˜(x) существует для каждого x (как интеграл от непрерывной на (0, π] и ограниченной функции) и его ряд (6) сходится для каждого x. Оценим при 2 6 n < < p

используя оценки

|hx(t)| 6 πM1,

§ 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 135

Д о к а з а т е л ь с т в о. Случай m = 1 совпадает с теоремой 24.2.2. Пусть ϕ := f(m−1) и αk, βk — коэффициенты Фурье

чала m − 1 — четно. Тогда в силу m − 1 раз примененной теоремы 1 при x R имеем

Теорема 2 показывает, что чем больше производных имеет функция f, тем с большей скоростью сходится ее ряд Фурье.

З а м е ч а н и е 2. Лемму 2 и теорему 2 можно переформулировать для функции f, заданной лишь на отрезке

[−π, π], добавив условия в концах отрезка, гарантирующие выполнение для ее 2π-периодического продолжения условий соответственно леммы 2 и теоремы 2. Именно, следует для функции f: [−π, π] → R считать выполненными следующие дополнительные условия на односторонние производные:

f(j)(−π) = f(j)(π) при j = 0, 1, . . . , m − 1.

При соответствующей переформулировке теоремы 24.2.2 и теоремы 1 для функции f: [−π, π] → R следует считать выполненным равенство f(−π) = f(π).

Наряду с теоремой 2 установим и другую теорему 20, хотя и менее сильную, но также указывающую на связь между дифференциальными свойствами 2π-периодической функции и скоростью сходимости ее ряда Фурье.

Доказательство теоремы 20 в отличие от доказательства теоремы 2 опирается не на анализ сходимости сопряженного с рядом Фурье ряда, а на неравенство Бесселя (1).

Читатель может по своему усмотрению ограничиться изучением одной из этих двух теорем.

Теорема 20. Пусть при m N 2π-периодическая функция f имеет непрерывные производные до порядка m − 1 включительно и кусочно непрерывную производную f(m).

Тогда ряд Фурье функции f сходится к ней равномерно на

R и

Д о к а з а т е л ь с т в о. Равномерная сходимость к функции f ее ряда Фурье установлена в теореме 24.2.2. Оценим остаток ее ряда Фурье.

§ 24.4. Почленное дифференцир-е и интегрир-е рядов Фурье 137

где αk, βk — коэффициенты Фурье функции f(m), а последнее неравенство получено m-кратным применением теоремы 1. В силу неравенства Коши–Шварца (10.1.2)

Предельный переход в последнем неравенстве при N → ∞ показывает, что оно остается верным, если в нем вместо N поставить ∞. Используя его, получаем, что

|rn(x; f)| 6

Отсюда и из (12) следует (11).

Теорема 3 (о почленном интегрировании ряда Фу-

рье). Пусть f — кусочно непрерывная на отрезке [−π, π] функция и

и ряд в правой части равенства сходится равномерно на R.

§ 24.5. Ряды Фурье 2l-периодических функций. Комплексная форма рядов Фурье

Пусть l > 0 и f — 2l-периодическая функция, абсолютно

мая на отрезке [−π, π]. Построив для fl ряд Фурье и произведя

который называется тригонометрическим рядом Фурье функции f периода 2l.

Подобным же образом переносится и вся теория тригонометрических рядов Фурье на случай 2l-периодических функций.

Вместо такого способа перенесения теории на случай 2lпериодических функций можно было бы с самого начала рассмотреть ортогональную на [−l, l] систему тригонометриче-

и на ее основе построить теорию тригонометрических рядов Фурье, повторяющую все полученные при l = π результаты и выкладки.

Оба указанных подхода приводят к одним и тем же результатам.

Для рядов Фурье существует комплексная форма записи. Пусть

Заменим в членах этого ряда cos kx, sin kx, воспользовавшись формулами Эйлера:

начали строить такую же теорию рядов Фурье, как для тригонометрической системы.