Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Бесов

.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
07.06.2015
Размер:
1.05 Mб
Скачать

 

 

 

 

 

§ 20.3. Формула Грина

 

 

 

 

61

ходя к параметру x, запишем дугу (j) из (12) в виде

 

 

 

 

(j) = {(x, ψ(x)), x 6 x 6 x }, |ψ0| 6 2.

 

 

 

Пусть τ — разбиение отрезка [x , x ] на равные от-

резки [xi−1, xi].

Пусть Pji — прямоугольник, проекция

которого

на

Ox

есть

.

[xi−1, xi], центр находится в

точке

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

τ ,

 

xi−1 + xi

 

, ψ

xi−1 + xi

 

, а вертикальная

сторона

вдвое

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

больше горизонтальной

 

При этом мелкость

 

 

разбиения

 

а значит, и diam Pji мы можем взять сколь угодно малыми.

Выполнение свойств 1, 2, 3очевидно. Если для построенного покрытия свойство 4не выполняется в точке rˆ(tj−1) (ˆr(tj)), то прямоугольник Pj1 (Pjij ) можно сдвинуть параллельно оси Oy настолько, чтобы добиться его выполнения. Такая возможность основана на том, что в переходных точках 12 6 | tg α| 6 2, так что на [x0, x1] и на [xij−1, xij ] можно счи-

тать выполненной оценку 14 6 |ψ0| 6 4.

Пусть теперь кривая (11) не является контуром. Это означает, что ее начало и конец лежат на сторонах угловых прямоугольников (различных или одного и того же). Рассуждая так же, как в случае, когда кривая является контуром, построим для каждой ее дуги из (12) покрытие семейством прямоуголь-

ников {Pji}iij=1 со свойствами 1, 2, 3и 4◦◦, 5, где последние два из них формулируются следующим образом:

4◦◦ каждая из концевых точек rˆ(tj−1), rˆ(tj) совпадает с вершиной одного из концевых прямоугольников, если касательная (j) в ней не параллельна ни одной из осей координат, и совпадает с серединой стороны одного из концевых прямоугольников, если касательная в ней параллельна одной из координатных осей;

5int Pji не пересекаются ни с одним из угловых прямоугольников Qk.

Перенумеровав заново все построенные прямоугольники Pji для всех простых гладких дуг из ∂0D, получим семейство {Pj}mj=1 прямоугольников, попарно не имеющих общих вну-

62

Глава 20. Криволинейные интегралы

тренних точек, и таких, что

l ! m

[[

Qi Pj ∂D.

i=1 j=1

Проведем все прямые, содержащие все стороны всех прямоугольников Qi и Pj. Из образовавшихся таким образом (замкнутых) прямоугольников занумеруем и обозначим через Rk (1 6 k 6 r) те, которые пересекаются с D, но не имеют общих внутренних точек ни с одним из прямоугольников Qi и Pj. То-

гда Rk D. В самом деле, допустив, что в Rk имеются точки из D и из R2 \ D, на соединяющем их отрезке получим точку (x , y ) (∂D) ∩ int Rk. Следовательно, Rk имеет общую внутреннюю точку с тем прямоугольником Qi или Pj, который содержит точку (x , y ), а это противоречит построению Rk. Следовательно, D ∩ int Rk = int Rk — простая область.

Итак, показано, что

D

 

Qi!

 

 

 

 

 

Rk!,

l

m

Pj

 

r

 

[

 

[

 

 

k[

 

 

i=1

 

j=1

 

 

 

=1

 

где l + m + r прямоугольников попарно не имеют общих внутренних точек, пересечения D∩int Pj и D∩int Rk являются простыми областями, пересечение D∩int Qi либо является простой областью, либо может быть разрезано на две простые области.

Лемма доказана.

Заметим, что формула Грина имеет определенную аналогию с формулой Ньютона–Лейбница: интеграл от производных по области интегрирования выражается через значения функции на границе этой области.

Формулу Грина можно использовать для вычисления площади области с помощью криволинейного интеграла по ее границе. Для этого возьмем в качестве (P (x, y), Q(x, y))

(0, x) или

y

,

x

 

или (−y, 0).

2

2

§ 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения

63

Тогда ∂Q∂x ∂P∂y = 1 и по формуле Грина

(13)

µD = Z∂D+ x dy = 2 Z∂D+ −y dx + x dy = − Z∂D+ y dx.

1

 

 

§ 20.4. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения

Изложим два подхода к выяснению геометрического смысла знака якобиана плоского отображения.

 

 

Первый подход

 

 

 

 

Для двух векторов

 

 

 

 

 

k

 

 

 

~a = a1~ı + a2~|,

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = b1~ı + b2~|

 

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

из формулы

a2

b2

 

i

~a ×~b =

(~ı ×~|)

Рис. 20.4

 

 

a1

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

видно, что

 

 

 

 

a1 b1

 

 

sgn a2 b2

 

 

 

 

показывает направление кратчайшего

поворота от первого

вектора ко второму. Именно при

 

 

a1 b1

 

> 0 (< 0)

a2 b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кратчайший поворот от к ~ производится в плоскости

~a b i, j

против (по) часовой стрелки.

Пусть задано взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение

(

x = x(u, v),

F :

y = y(u, v)

64

Глава 20. Криволинейные интегралы

v

 

 

y

 

 

γ2

 

 

2

 

 

 

F

 

G

 

−→

 

 

γ1

 

 

1

0

 

u

0

x

 

 

Рис. 20.5

 

области G

плоскости

(u, v),

содержащей

две пересекающи-

еся гладкие ориентированные кривые, на область в плоскости

(x, y) (см. рис. 20.5):

γ1 = {(u, v) : u = u1(t), v = v1(t)}, γ2 = {(u, v) : u = u2(t), v = v2(t)},

Fγ1 = {(x, y) : x = x1(t), y = y1(t)},

Fγ2 = {(x, y) : x = x2(t), y = y2(t)},

где

x1(t) := x(u1(t), v1(t)), y1(t) := y(u1(t), v1(t)),

x2(t) := x(u2(t), v2(t)), y2(t) := y(u2(t), v2(t)).

Будем считать, что в точке пересечения кривых γ1 и γ2 значение параметров t = t0. Сравним направление кратчайшего поворота касательного вектора к γ1 до касательного вектора к γ2 в точке пересечения кривых с соответствующим направлением для их образов F γ1, F γ2. Преобразуем для этого векторное произведение касательных векторов:

 

dx1

dx2

 

 

 

 

 

 

~ı + dy1

 

 

 

~ı + dy2

 

dy1

dy2

(~ı

×

~|) =

 

dx1

~|

 

dx2

~| =

 

dt

dt

 

 

 

dt

 

dt

×

dt

 

dt

 

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=[(x0uu01 + x0vv10 )~ı + (yu0 u01 + yv0 v10 )~|] × [(x0uu02 + x0vv20 )~ı+ +(yu0 u02 + yv0 v20 )~|] = (x0uu01yv0 v20 + x0vv10 yu0 u02)(~ı ×~|)− −(x0uu02yv0 v10 + x0vv20 yu0 u01)(~ı ×~|) =

§ 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения 65

= (x0uyv0 − x0vyu0 )(u01v20 − v10 u02)(~ı ×~|).

Здесь было учтено, что ~| ×~ı = −~ı ×~|. Сравнивая коэффициенты при ~ı ×~| в левой и правой частях цепочки равенств, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

v0

 

.

 

dx1

dx2

 

= ∂(u, v)

v0

dy1

dy2

dt

dt

∂(x, y)

 

u0

u0

 

 

 

 

 

1

2

 

dt

dt

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По столбцам определителей

стоят координаты касательных

векторов к γ1 и γ2 (правый определитель) и к Fγ1 и Fγ2 (левый определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-

дим к выводу: при ∂(x, y) > 0 (< 0) направление кратчайшего

∂(u, v)

поворота от первого касательного вектора ко второму после отображения сохраняется (меняется на противоположное).

Пусть теперь гладкая кривая γ1 является частью границы некоторой области D, замыкание которой содержится в G. Пусть γ1 ориентирована положительно относительно D. Сравним ориентацию γ1 относительно D и ориентацию 1 = F (γ1) относительно F (D). Возьмем кривую γ2, пересекающую γ1, с касательным вектором в точке пересечения, направленным по нормали к γ1 внутрь D. Из предыдущего видно, что возможны

случаи ( i = F (γi)):

 

 

 

 

v

y

1

y

 

γ2

2

2

 

 

 

γ1

 

 

 

 

u

 

x

1

x

J > 0

J < 0

 

 

 

 

Рис. 20.6

 

 

 

Таким образом, приходим к окончательной формулировке геометрического смысла знака якобиана плоского отображения.

При положительном якобиане сохраняется после отображения направление кратчайшего поворота от одной из пере-

66

Глава 20. Криволинейные интегралы

секающихся кривых до другой, а также ориентация кривой, являющейся частью границы области D, относительно D.

При отрицательном якобиане указанные направления кратчайшего поворота и ориентация относительно области меняются на противоположные.

Второй подход

Этот подход основан на использовании формулы Грина. Пусть снова

(

x = (u, v),

F :

y= (u, v)

взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото-

бражение некоторой области G плоскости (u, v).

Пусть ограниченная область D D G и якобиан

J(u, v) :=

∂(x, y)

6= 0 на

D.

∂(u, v)

Тогда J(u, v) сохраняет знак на D, т. е. является либо положительным на G, либо отрицательным на G (см. теорему 10.5.4). Тогда D := F (D) также является ограниченной областью плоскости (x, y) (теорема 12.3.4).

Пусть := ∂D является простым кусочно гладким конту-

ром. Тогда

:= F ( ) = F (∂D) = ∂D

(доказательство последнего равенства совпадает с доказательством утверждения 1леммы 19.4.2) также является простым кусочно гладким контуром. В самом деле, пусть

i = {(u(t), v(t)) : a 6 t 6 b}

— гладкая кривая, i . Тогда

i := F ( i) = {(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t))), α 6 t 6 β}

является непрерывно дифференцируемой кривой по теореме о дифференцируемости сложной функции. Кроме того,

 

dx

 

 

 

x0

du + x0

dv

 

 

 

 

 

 

 

du

,

dy

=

y

u0

du

+ y

v0

dv

=

y

u0

y

v0

dv

dt

 

 

dt

 

dt

 

 

 

 

! dt

 

 

dt

 

 

 

 

u

dt

 

v

dt

 

 

x0

x0

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения 67

причем определитель квадратной матрицы равен

 

∂(x, y)

6= 0.

 

∂(u, v)

 

Поэтому из

du

2

+

dv

2

> 0 следует, что

dx

2

+

dy

 

2

>

> 0,

т. е.

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

-

что

не имеет особых точек

т

е

является глад

 

i

 

 

,

. .

 

 

 

кой.

Предполагая для определенности,

что ориентация кон-

тура :=

{(u(t), v(t)): a

 

6 t 6 b}, определяемая возраста-

нием параметра t, является положительной относительно D, так ориентированный контур обозначим через +. При этом ориентация контура = F ( ), наследуемая от ориентации контура + (т. е. определяемая возрастанием параметра t), может оказаться как положительной, так и отрицательной относительно области D = F (D). Контур с такой ориентацией относительно D обозначим через ±. В силу (20.3.13) имеем

 

Z

 

 

 

 

 

 

Z b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

µD =

±

 

 

x dy =

±

 

 

xy0

dt =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

±

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

x ∂u dt

+ ∂v dt

dt = ± Z + x

∂u du + x

 

∂v dv.

= ± Za

 

 

 

 

 

 

 

∂y du

 

 

∂y dv

 

 

 

 

 

∂y

 

 

 

 

∂y

Положим x ∂y = P , x ∂y = Q. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u

 

 

 

∂v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Q

 

∂x ∂y

 

 

2y

 

 

∂P

 

∂x ∂y

 

 

2y

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

+ x

 

 

,

 

 

=

 

 

 

 

+ x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂u∂v

 

∂v

∂v ∂u

 

 

 

 

 

 

 

∂u

∂u ∂v

 

 

 

 

 

∂v∂u

 

 

 

 

Будем дополнительно предполагать, что на области G не-

прерывны, а следовательно, и равны, производные

 

2y

 

,

2y

.

∂u∂v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂v∂u

Применяя к последнему интегралу формулу Грина (20.3.3), получаем, что в зависимости от ориентации ±

 

 

∂P

 

 

∂Q

 

∂(x, y)

 

µD = ± ZZD

∂u

∂v

du dv = ± ZZD

∂(u, v)

du dv. (1)

В силу положительности левой части этой цепочки равенств положительна и правая часть, так что в области G

 

∂(x, y)

 

 

∂(x, y)

 

 

±

∂(u, v)

=

 

∂(u, v)

 

> 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

Глава 20. Криволинейные интегралы

Рассматривая отдельно случаи различной ориентации контура (т. е. + и ) и соответственно беря знаки в (1), приходим к следующему выводу.

В случае положительного якобиана при отображении ориентация граничного контура относительно области сохраняется, а в случае отрицательного якобиана — меняется на противоположную.

Отметим еще, что равенство (1) можно переписать в виде

RR

)

 

 

 

µD =

 

∂(x, y)

 

 

D

(u, v)

 

 

ланных здесь

предположениях

получено новое доказательство

формулы (19.5.11),

из которой с помощью теоремы о среднем

вытекает и формула (19.4.3) (геометрический смысл модуля якобиана отображения).

§ 20.5. Потенциальные векторные поля

Определение 1. Векторное поле ~a = (P (x, y, z), Q(x, y, z),

R(x, y, z)), заданное на области G R3, называется потенциальным в области G, если существует непрерывно дифференцируемая функция U: G → R такая, что

P =

∂U

,

Q =

∂U

,

R =

∂U

, на G.

(1)

∂x

∂y

∂z

 

 

 

 

 

 

 

Функцию U называют при этом потенциальной функцией поля ~a или потенциалом поля ~a.

Если функция U является потенциалом поля ~a, то функция U + C, где C — произвольная постоянная, также является потенциалом поля ~a.

Упражнение 1. Показать, что верно и обратное (что будет ясно из дальнейшего): если U, V — два потенциала поля ~a в области G, то V = U + C на G, где C — некоторая посто-

янная.

 

 

 

 

 

 

 

 

Равенства (1) иначе можно записать так:

 

 

∂U

 

∂U

∂U ~

 

~a =

 

~ı +

 

~| +

 

k = grad U = rU,

(2)

∂x

∂y

∂z

 

или

dU = P dx + Q dy + R dz,

 

AB
Z (~a, d~r),

§ 20.5. Потенциальные векторные поля

69

где r — символический вектор

r = ∂x, ∂y, ∂z,

называемый набла.

R

Интеграл (~a, d~r) по контуру называют циркуляцией векторного поля ~a по контуру .

Теорема 1. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывное поле в области G. Тогда следующие условия эквивалентны:

I. Поле ~a потенциально в G.

II0. Для любого кусочно гладкого контура G

Z

(~a, d~r) = 0.

II00. Для любых двух фиксированных точек A, B G значение интеграла

где AB — произвольная кусочно гладкая кривая, лежащая в G

исоединяющая точки A и B, не зависит от кривой.

До к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала, что II0 II00. Пусть выполнено II0 и +1 , +2 — две кривые, лежащие в G, начала которых находятся в точке A, а концы — в точке B.

Тогда +1 2 является ориентированным контуром и в силу

II0

ZZ

(~a, d~r) +

(~a, d~r) = 0.

1+

2

Заменив во втором интеграле ориентацию кривой 2 на противоположную на +2 , получаем

ZZ

+ (~a, d~r) −

+ (~a, d~r) = 0,

1

2

т. е. утверждение II00.

Пусть выполнено II00 и + G — произвольный кусочно

гладкий контур. Пусть точки A, B и кривые +1 := AB,+2 := BA являются дугами контура +, причем ориентация на каждой из них совпадает с ориентацией контура +.

70 Глава 20. Криволинейные интегралы

Тогда +1 и 2 — две кусочно гладкие кривые с началами в A и концами в B. В силу II00

Z +

Z 1+

 

Z 2+

(~a, d~r) =

 

 

 

 

 

 

(~a, d~r) =

 

 

(~a, d~r) +

 

 

Z 2−

 

 

 

 

 

 

 

 

Z 1+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (~a, d~r)

(~a, d~r) = 0.

Покажем

,

что

I II00.

Пусть

U —

потенциал

,

 

 

 

 

 

 

AB =

= {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b} — кусочно гладкая кривая, лежащая в области G. Тогда

 

 

Zab[P (x(t), y(t), z(t))x0(t)+

 

 

ZAB

P dx + Q dy + R dz =

 

 

 

 

+Q(x(t), y(t), z(t))y0(t) + R(x(t), y(t), z(t))z0(t)] dt =

 

 

 

b d

b

 

 

 

 

= Za dt U(x(t), y(t), z(t)) dt = U(x(t), y(t), z(t)) a =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= U(B)

 

U(A).

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, наконец, что II00 I. Пусть точка A0 — фиксированная, а B(x, y, z) — произвольная точка области G. Рассмо-

трим функцию

ZA0B P dx + Q dy + R dz,

(3)

U(B) = U(x, y, z) :=

 

 

 

где A0B — кусочно гладкая кривая, лежащая в G. Такое определение функции U корректно, т. к. правая часть (3) в силу II00 зависит лишь от B(x, y, z), т. е. от (x, y, z). Поэтому правую

часть (3) нередко записывают в виде B P dx + Q dy + R dz.

R

A0

Покажем, что U является потенциалом поля ~a, т. е. выполняются равенства (1), из которых установим лишь первое. Пусть B0 = B0(x0, y0, z0) G. Установим равенство

 

∂U

(x0, y0, z0) = P (x0, y0, z0)

 

(4)

 

∂x

 

 

 

 

 

непосредственным вычислением производной

∂U .

Пусть

 

 

 

∂x

 

U(x0, y0, z0) и U(x0 + x, y0, z0) представлены в виде (20.3.3) с