Бесов
.pdf
|
|
|
|
|
§ 20.3. Формула Грина |
|
|
|
|
61 |
||||
ходя к параметру x, запишем дугу (j) из (12) в виде |
|
|
||||||||||||
|
|
(j) = {(x, ψ(x)), x 6 x 6 x }, |ψ0| 6 2. |
|
|
||||||||||
|
Пусть τ — разбиение отрезка [x , x ] на равные от- |
|||||||||||||
резки [xi−1, xi]. |
Пусть Pji — прямоугольник, проекция |
|||||||||||||
которого |
на |
Ox |
есть |
. |
[xi−1, xi], центр находится в |
точке |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|τ |
| |
|
|
τ , |
||
|
xi−1 + xi |
|
, ψ |
xi−1 + xi |
|
, а вертикальная |
сторона |
вдвое |
||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
больше горизонтальной |
|
При этом мелкость |
|
|
разбиения |
|
а значит, и diam Pji мы можем взять сколь угодно малыми.
Выполнение свойств 1◦, 2◦, 3◦ очевидно. Если для построенного покрытия свойство 4◦ не выполняется в точке rˆ(tj−1) (ˆr(tj)), то прямоугольник Pj1 (Pjij ) можно сдвинуть параллельно оси Oy настолько, чтобы добиться его выполнения. Такая возможность основана на том, что в переходных точках 12 6 | tg α| 6 2, так что на [x0, x1] и на [xij−1, xij ] можно счи-
тать выполненной оценку 14 6 |ψ0| 6 4.
Пусть теперь кривая (11) не является контуром. Это означает, что ее начало и конец лежат на сторонах угловых прямоугольников (различных или одного и того же). Рассуждая так же, как в случае, когда кривая является контуром, построим для каждой ее дуги из (12) покрытие семейством прямоуголь-
ников {Pji}iij=1 со свойствами 1◦, 2◦, 3◦ и 4◦◦, 5◦, где последние два из них формулируются следующим образом:
4◦◦ каждая из концевых точек rˆ(tj−1), rˆ(tj) совпадает с вершиной одного из концевых прямоугольников, если касательная (j) в ней не параллельна ни одной из осей координат, и совпадает с серединой стороны одного из концевых прямоугольников, если касательная в ней параллельна одной из координатных осей;
5◦ int Pji не пересекаются ни с одним из угловых прямоугольников Qk.
Перенумеровав заново все построенные прямоугольники Pji для всех простых гладких дуг из ∂0D, получим семейство {Pj}mj=1 прямоугольников, попарно не имеющих общих вну-
62 |
Глава 20. Криволинейные интегралы |
тренних точек, и таких, что
l ! m
[[
Qi Pj ∂D.
i=1 j=1
Проведем все прямые, содержащие все стороны всех прямоугольников Qi и Pj. Из образовавшихся таким образом (замкнутых) прямоугольников занумеруем и обозначим через Rk (1 6 k 6 r) те, которые пересекаются с D, но не имеют общих внутренних точек ни с одним из прямоугольников Qi и Pj. То-
гда Rk D. В самом деле, допустив, что в Rk имеются точки из D и из R2 \ D, на соединяющем их отрезке получим точку (x , y ) (∂D) ∩ int Rk. Следовательно, Rk имеет общую внутреннюю точку с тем прямоугольником Qi или Pj, который содержит точку (x , y ), а это противоречит построению Rk. Следовательно, D ∩ int Rk = int Rk — простая область.
Итак, показано, что
D |
|
Qi! |
|
|
|
|
|
Rk!, |
l |
m |
Pj |
|
r |
||||
|
[ |
|
[ |
|
|
k[ |
|
|
|
i=1 |
|
j=1 |
|
|
|
=1 |
|
где l + m + r прямоугольников попарно не имеют общих внутренних точек, пересечения D∩int Pj и D∩int Rk являются простыми областями, пересечение D∩int Qi либо является простой областью, либо может быть разрезано на две простые области.
Лемма доказана.
Заметим, что формула Грина имеет определенную аналогию с формулой Ньютона–Лейбница: интеграл от производных по области интегрирования выражается через значения функции на границе этой области.
Формулу Грина можно использовать для вычисления площади области с помощью криволинейного интеграла по ее границе. Для этого возьмем в качестве (P (x, y), Q(x, y))
(0, x) или |
− |
y |
, |
x |
|
или (−y, 0). |
2 |
2 |
§ 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения |
63 |
|
Тогда ∂Q∂x − ∂P∂y = 1 и по формуле Грина |
(13) |
|
µD = Z∂D+ x dy = 2 Z∂D+ −y dx + x dy = − Z∂D+ y dx. |
||
1 |
|
|
§ 20.4. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображения
Изложим два подхода к выяснению геометрического смысла знака якобиана плоского отображения.
|
|
Первый подход |
|
|
|
|
|||
Для двух векторов |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
~a = a1~ı + a2~|, |
|
|
|||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = b1~ı + b2~| |
|
|
j |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
из формулы |
a2 |
b2 |
|
i |
|||||
~a ×~b = |
(~ı ×~|) |
Рис. 20.4 |
|||||||
|
|
a1 |
b1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
видно, что |
|
|
|
|
|
a1 b1 |
|
|
sgn a2 b2 |
|
|
|
|
|
показывает направление кратчайшего |
поворота от первого |
|
вектора ко второму. Именно при |
|
|
a1 b1 |
|
> 0 (< 0) |
a2 b2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кратчайший поворот от к ~ производится в плоскости
~a b i, j
против (по) часовой стрелки.
Пусть задано взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое отображение
(
x = x(u, v),
F :
y = y(u, v)
64 |
Глава 20. Криволинейные интегралы |
|||
v |
|
|
y |
|
|
γ2 |
|
|
Fγ2 |
|
|
|
F |
|
|
G |
|
−→ |
|
|
γ1 |
|
|
Fγ1 |
0 |
|
u |
0 |
x |
|
|
Рис. 20.5 |
|
|
области G |
плоскости |
(u, v), |
содержащей |
две пересекающи- |
еся гладкие ориентированные кривые, на область в плоскости
(x, y) (см. рис. 20.5):
γ1 = {(u, v) : u = u1(t), v = v1(t)}, γ2 = {(u, v) : u = u2(t), v = v2(t)},
Fγ1 = {(x, y) : x = x1(t), y = y1(t)},
Fγ2 = {(x, y) : x = x2(t), y = y2(t)},
где
x1(t) := x(u1(t), v1(t)), y1(t) := y(u1(t), v1(t)),
x2(t) := x(u2(t), v2(t)), y2(t) := y(u2(t), v2(t)).
Будем считать, что в точке пересечения кривых γ1 и γ2 значение параметров t = t0. Сравним направление кратчайшего поворота касательного вектора к γ1 до касательного вектора к γ2 в точке пересечения кривых с соответствующим направлением для их образов F γ1, F γ2. Преобразуем для этого векторное произведение касательных векторов:
|
dx1 |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
~ı + dy1 |
|
|
|
~ı + dy2 |
|
||
dy1 |
dy2 |
(~ı |
× |
~|) = |
|
dx1 |
~| |
|
dx2 |
~| = |
||||||
|
dt |
dt |
|
|
|
dt |
|
dt |
× |
dt |
|
dt |
|
|||
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=[(x0uu01 + x0vv10 )~ı + (yu0 u01 + yv0 v10 )~|] × [(x0uu02 + x0vv20 )~ı+ +(yu0 u02 + yv0 v20 )~|] = (x0uu01yv0 v20 + x0vv10 yu0 u02)(~ı ×~|)− −(x0uu02yv0 v10 + x0vv20 yu0 u01)(~ı ×~|) =
§ 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения 65
= (x0uyv0 − x0vyu0 )(u01v20 − v10 u02)(~ı ×~|).
Здесь было учтено, что ~| ×~ı = −~ı ×~|. Сравнивая коэффициенты при ~ı ×~| в левой и правой частях цепочки равенств, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
. |
|
|
dx1 |
dx2 |
|
= ∂(u, v) |
v0 |
||||||
dy1 |
dy2 |
||||||||||
dt |
dt |
∂(x, y) |
|
u0 |
u0 |
|
|||||
|
|
|
|
1 |
2 |
||||||
|
dt |
dt |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По столбцам определителей |
стоят координаты касательных |
векторов к γ1 и γ2 (правый определитель) и к Fγ1 и Fγ2 (левый определитель). Сравнивая знаки этих определителей, прихо-
дим к выводу: при ∂(x, y) > 0 (< 0) направление кратчайшего
∂(u, v)
поворота от первого касательного вектора ко второму после отображения сохраняется (меняется на противоположное).
Пусть теперь гладкая кривая γ1 является частью границы некоторой области D, замыкание которой содержится в G. Пусть γ1 ориентирована положительно относительно D. Сравним ориентацию γ1 относительно D и ориентацию 1 = F (γ1) относительно F (D). Возьмем кривую γ2, пересекающую γ1, с касательным вектором в точке пересечения, направленным по нормали к γ1 внутрь D. Из предыдущего видно, что возможны
случаи ( i = F (γi)): |
|
|
|
|
|
v |
y |
1 |
y |
|
|
γ2 |
2 |
2 |
|
||
|
|
||||
γ1 |
|
|
|
|
|
u |
|
x |
1 |
x |
|
J > 0 |
J < 0 |
||||
|
|
|
|||
|
Рис. 20.6 |
|
|
|
Таким образом, приходим к окончательной формулировке геометрического смысла знака якобиана плоского отображения.
При положительном якобиане сохраняется после отображения направление кратчайшего поворота от одной из пере-
66 |
Глава 20. Криволинейные интегралы |
секающихся кривых до другой, а также ориентация кривой, являющейся частью границы области D, относительно D.
При отрицательном якобиане указанные направления кратчайшего поворота и ориентация относительно области меняются на противоположные.
Второй подход
Этот подход основан на использовании формулы Грина. Пусть снова
(
x = (u, v),
F :
y= (u, v)
—взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое ото-
бражение некоторой области G плоскости (u, v).
Пусть ограниченная область D D G и якобиан
J(u, v) := |
∂(x, y) |
6= 0 на |
D. |
∂(u, v) |
Тогда J(u, v) сохраняет знак на D, т. е. является либо положительным на G, либо отрицательным на G (см. теорему 10.5.4). Тогда D := F (D) также является ограниченной областью плоскости (x, y) (теорема 12.3.4).
Пусть := ∂D является простым кусочно гладким конту-
ром. Тогда
:= F ( ) = F (∂D) = ∂D
(доказательство последнего равенства совпадает с доказательством утверждения 1◦ леммы 19.4.2) также является простым кусочно гладким контуром. В самом деле, пусть
i = {(u(t), v(t)) : a 6 t 6 b}
— гладкая кривая, i . Тогда
i := F ( i) = {(x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t))), α 6 t 6 β}
является непрерывно дифференцируемой кривой по теореме о дифференцируемости сложной функции. Кроме того,
|
dx |
|
|
|
x0 |
du + x0 |
dv |
|
|
|
|
|
|
|
du |
, |
|||
dy |
= |
y |
u0 |
du |
+ y |
v0 |
dv |
= |
y |
u0 |
y |
v0 |
dv |
||||||
dt |
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
! dt |
|
||||||||
|
dt |
|
|
|
|
u |
dt |
|
v |
dt |
|
|
x0 |
x0 |
|
dt |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 20.4. Геометрич. смысл знака якобиана плоск. отображения 67
причем определитель квадратной матрицы равен |
|
∂(x, y) |
6= 0. |
||||||||||||||||
|
∂(u, v) |
|
|||||||||||||||||
Поэтому из |
du |
2 |
+ |
dv |
2 |
> 0 следует, что |
dx |
2 |
+ |
dy |
|
2 |
> |
||||||
> 0, |
т. е. |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
- |
|
что |
не имеет особых точек |
т |
е |
является глад |
|||||||||||||||
|
i |
|
|
, |
. . |
|
|
|
|||||||||||
кой. |
Предполагая для определенности, |
что ориентация кон- |
|||||||||||||||||
тура := |
{(u(t), v(t)): a |
|
6 t 6 b}, определяемая возраста- |
нием параметра t, является положительной относительно D, так ориентированный контур обозначим через +. При этом ориентация контура = F ( ), наследуемая от ориентации контура + (т. е. определяемая возрастанием параметра t), может оказаться как положительной, так и отрицательной относительно области D = F (D). Контур с такой ориентацией относительно D обозначим через ±. В силу (20.3.13) имеем
|
Z |
|
|
|
|
|
|
Z b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
µD = |
± |
|
|
x dy = |
± |
|
|
xy0 |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
± |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
b |
x ∂u dt |
+ ∂v dt |
dt = ± Z + x |
∂u du + x |
|
∂v dv. |
||||||||||||||||||||||
= ± Za |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y du |
|
|
∂y dv |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂y |
||||||||||
Положим x ∂y = P , x ∂y = Q. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂u |
|
|
|
∂v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
∂Q |
|
∂x ∂y |
|
|
∂2y |
|
|
∂P |
|
∂x ∂y |
|
|
∂2y |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
+ x |
|
|
, |
|
|
= |
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
∂u∂v |
|
∂v |
∂v ∂u |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂u |
∂u ∂v |
|
|
|
|
|
∂v∂u |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Будем дополнительно предполагать, что на области G не- |
||||||||||||||||||||||||||||||
прерывны, а следовательно, и равны, производные |
|
∂2y |
|
, |
∂2y |
. |
||||||||||||||||||||||||
∂u∂v |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂v∂u |
Применяя к последнему интегралу формулу Грина (20.3.3), получаем, что в зависимости от ориентации ±
|
|
∂P |
|
|
||
∂Q |
|
∂(x, y) |
|
|||
µD = ± ZZD |
∂u |
− |
∂v |
du dv = ± ZZD |
∂(u, v) |
du dv. (1) |
В силу положительности левой части этой цепочки равенств положительна и правая часть, так что в области G
|
∂(x, y) |
|
|
∂(x, y) |
|
|
|
± |
∂(u, v) |
= |
|
∂(u, v) |
|
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
68 |
Глава 20. Криволинейные интегралы |
Рассматривая отдельно случаи различной ориентации контура (т. е. + и −) и соответственно беря знаки в (1), приходим к следующему выводу.
В случае положительного якобиана при отображении ориентация граничного контура относительно области сохраняется, а в случае отрицательного якобиана — меняется на противоположную.
Отметим еще, что равенство (1) можно переписать в виде
RR |
) |
|
|
|
|
µD = |
|
∂(x, y) |
|
||
|
D |
(u, v) |
|
|
|
ланных здесь |
∂предположениях |
получено новое доказательство |
|||
формулы (19.5.11), |
из которой с помощью теоремы о среднем |
вытекает и формула (19.4.3) (геометрический смысл модуля якобиана отображения).
§ 20.5. Потенциальные векторные поля
Определение 1. Векторное поле ~a = (P (x, y, z), Q(x, y, z),
R(x, y, z)), заданное на области G R3, называется потенциальным в области G, если существует непрерывно дифференцируемая функция U: G → R такая, что
P = |
∂U |
, |
Q = |
∂U |
, |
R = |
∂U |
, на G. |
(1) |
|
∂x |
∂y |
∂z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Функцию U называют при этом потенциальной функцией поля ~a или потенциалом поля ~a.
Если функция U является потенциалом поля ~a, то функция U + C, где C — произвольная постоянная, также является потенциалом поля ~a.
Упражнение 1. Показать, что верно и обратное (что будет ясно из дальнейшего): если U, V — два потенциала поля ~a в области G, то V = U + C на G, где C — некоторая посто-
янная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенства (1) иначе можно записать так: |
|
|||||||
|
∂U |
|
∂U |
∂U ~ |
|
|||
~a = |
|
~ı + |
|
~| + |
|
k = grad U = rU, |
(2) |
|
∂x |
∂y |
∂z |
||||||
|
или |
dU = P dx + Q dy + R dz, |
|
§ 20.5. Потенциальные векторные поля |
69 |
где r — символический вектор
r = ∂x∂ , ∂y∂ , ∂z∂ ,
называемый набла.
R
Интеграл (~a, d~r) по контуру называют циркуляцией векторного поля ~a по контуру .
Теорема 1. Пусть ~a = (P, Q, R) — непрерывное поле в области G. Тогда следующие условия эквивалентны:
I. Поле ~a потенциально в G.
II0. Для любого кусочно гладкого контура G
Z
(~a, d~r) = 0.
II00. Для любых двух фиксированных точек A, B G значение интеграла
где AB — произвольная кусочно гладкая кривая, лежащая в G
исоединяющая точки A и B, не зависит от кривой.
До к а з а т е л ь с т в о. Установим сначала, что II0 II00. Пусть выполнено II0 и +1 , +2 — две кривые, лежащие в G, начала которых находятся в точке A, а концы — в точке B.
Тогда +1 −2 является ориентированным контуром и в силу
II0
ZZ
(~a, d~r) + |
(~a, d~r) = 0. |
1+ |
2− |
Заменив во втором интеграле ориентацию кривой −2 на противоположную на +2 , получаем
ZZ
+ (~a, d~r) − |
+ (~a, d~r) = 0, |
1 |
2 |
т. е. утверждение II00.
Пусть выполнено II00 и + G — произвольный кусочно
гладкий контур. Пусть точки A, B и кривые +1 := AB,+2 := BA являются дугами контура +, причем ориентация на каждой из них совпадает с ориентацией контура +.
70 Глава 20. Криволинейные интегралы
Тогда +1 и −2 — две кусочно гладкие кривые с началами в A и концами в B. В силу II00
Z + |
Z 1+ |
|
Z 2+ |
(~a, d~r) = |
|
|
|
|
|
|
|
(~a, d~r) = |
|
|
(~a, d~r) + |
|
|
− Z 2− |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z 1+ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
= (~a, d~r) |
(~a, d~r) = 0. |
|||||
Покажем |
, |
что |
I II00. |
Пусть |
U — |
потенциал |
, |
|
|
||
|
|
|
|
AB = |
= {(x(t), y(t), z(t)), a 6 t 6 b} — кусочно гладкая кривая, лежащая в области G. Тогда
|
|
Zab[P (x(t), y(t), z(t))x0(t)+ |
|
|
|||
ZAB |
P dx + Q dy + R dz = |
|
|
||||
|
|
+Q(x(t), y(t), z(t))y0(t) + R(x(t), y(t), z(t))z0(t)] dt = |
|
||||
|
|
b d |
b |
|
|
||
|
|
= Za dt U(x(t), y(t), z(t)) dt = U(x(t), y(t), z(t)) a = |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= U(B) |
|
U(A). |
|
|
|
|
|
|
− |
|
Покажем, наконец, что II00 I. Пусть точка A0 — фиксированная, а B(x, y, z) — произвольная точка области G. Рассмо-
трим функцию |
ZA0B P dx + Q dy + R dz, |
(3) |
U(B) = U(x, y, z) := |
||
|
|
|
где A0B — кусочно гладкая кривая, лежащая в G. Такое определение функции U корректно, т. к. правая часть (3) в силу II00 зависит лишь от B(x, y, z), т. е. от (x, y, z). Поэтому правую
часть (3) нередко записывают в виде B P dx + Q dy + R dz.
R
A0
Покажем, что U является потенциалом поля ~a, т. е. выполняются равенства (1), из которых установим лишь первое. Пусть B0 = B0(x0, y0, z0) G. Установим равенство
|
∂U |
(x0, y0, z0) = P (x0, y0, z0) |
|
(4) |
|
∂x |
|
||
|
|
|
|
|
непосредственным вычислением производной |
∂U . |
Пусть |
||
|
|
|
∂x |
|
U(x0, y0, z0) и U(x0 + x, y0, z0) представлены в виде (20.3.3) с