4.4 Исследование систем с переменной структурой

Понятие о системах с переменной структурой было дано в начале книги (§ 2.3), а об их уравнениях – в конце главы 16.

Покажем методику исследования систем с переменной структурой при отсутствии внешнего воздействия на примере системы второго порядка при линейном объекте и линейных структурах регулятора, так что нелинейность системы будет заключаться в автоматическом переключении этих структур.

Имея в виду второй порядок системы, используем изображение процессов на фазовой плоскости, которое для линейных систем представлено было выше на рис. 16.8–16.13.

Рассмотрим систему (рис. 17.22), не обладающую при постоянной структуре собственной устойчивостью [22]. В самом деле, если  = const, то уравнение системы будет

,

и получатся незатухающие колебания, изображаемые на фазовой плоскости концентрическими эллипсами (рис. 16.8).

Если же звену  придать вид, как на рис. 16.27, а, где с переключением, согласно формуле (4.71), где,, причем, то получим уравнение системы

при , (4.125)

при . (4.126)

Первое из них будет действовать в первом и третьем квадранте фазовой плоскости (рис. 17.23), а второе – в четвертом и втором квадрантах. С эллипса 1 в первом квадранте (соответствует коэффициенту ) изображающая точка переходит на эллипс2 в четвертом квадранте (соответствует коэффициенту ), затем на эллипс3, концентрический с первым (снова коэффициент ), далее на эллипс4, концентрический с эллипсом 2 и т. д. В результате таких переключений системы становится устойчивой.

В данном примере переходной процесс представляет собой затухающие колебания. В большинстве случаев для избежания колебательных процессов в системах с переменной структурой следует стремиться реализовать скользящий режим. Для этого переключения в системе должны производиться в таких местах, где фазовые траектории направлены навстречу друг другу.

Покажем это на примере.

Пусть в той же системе (рис. 17.22) звено также устроено по принципу рис. 16.27, а, но

, где . (4.127)

Тогда прежнее выражение для :

получает другой смысл. Возьмем при этом

, .

Получим два уравнения системы

при , (4.128)

при . (4.129)

Линиями раздела между областями их действий будут

и ,

т.е. ось ординат и наклонная прямая на фазовой плоскости (рис. 17.24). При этом уравнение (4.128) будет действовать в первом и третьем секторах фазовой плоскости. Поэтому там фазовыми траекториями будут служить, согласно рис. 16.8, концентрические эллипсы. Уравнение же (4.129) будет действовать во втором и четвертом секторах фазовой плоскости (рис. 17.24), 7где фазовые траектории изобразятся в соответствии с рис. 16.3.

Обе эти линейные структуры (4.128) и (4.129) по отдельности не обладают устойчивостью. Однако благодаря переключениям система в целом становится устойчивой.

В отличии от предыдущей системы здесь, как видно из рис. 17.24, нет колебательного процесса. При любых начальных условиях фазовая траектория приходит на наклонную прямую , где она встречается с фазовой траекторией с противоположным ей направлением движения. Поэтому переход изображающей точки через прямуюневозможен. В результате изображающая точка вынуждена двигаться вдоль прямойв сторону начала координат, что и представляет собой скользящий режим переходного процесса в данной системе.

Практически скользящее движение будет сопровождаться вибрациями вследствие быстрых переключений то в одну, то в другую сторону, как и показано на рис. 17.24. В виду не идеальности системы (дополнительной инерционности или запаздывания) это вибрации будут иметь конечную амплитуду и частоту. При идеальном же рассмотрении, проведенном выше, амплитуда их равна нулю, а частота – бесконечности.

Рассмотрение реального переходного процесса скользящего типа с реальными вибрациями за счет дополнительной инерционности, повышающей порядок уравнения, возможно с помощью приближенного метода гармонической линеаризации. Это можно сделать аналогично рассмотрению медленно меняющихся сигналов в автоколебательных системах (§ 19.2), если за медленно меняющийся сигнал принять основное апериодическое движение в скользящем процессе, а наложенные на него вибрации рассчитать, как автоколебательную составляющую процесса (см. [101]).

1⁾Точнее, за такое малое время, в течение которого торпеда не успевает заметно повернуться, т. е. много меньше возможного периода колебаний торпеды.