4.1.3 Уравнения систем с нелинейностями других видов

Рассмотрим несколько примеров автоматических систем с нелинейностями других видов, чем в §§ 16.2 и 16.3.

Система автоматического регулирования с нелинейной характеристикой привода регулирующего органа. Привод регулирующего органа, каким бы он ни был (электрический, гидравлический, пневматический), всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности в начале координат (рис. 16.22, а) и во-вторых, зону «насыщения» по краям. Кроме того, может иметь место еще и гистерезис (рис. 16.22, г). Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочно-линейными функциями (рис. 16.22, б, д или в, е, и). Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис.16.22, з, ж), относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа, уже рассмотренным ранее.

Зона нечувствительности выражается в том, что электрический двигатель имеет определенный минимальный ток трогания (), до достижения которого вал двигателя будет неподвижен (). В гидравлическом же двигателе золотник имеет так называемую зону перекрытия (его поршенек немного шире отверстия, им закрываемого), вследствие чего он откроет путь рабочей жидкости в цилиндр двигателя, только переместившись не некоторую величину. Аналогично и в случае пневматического привода.

Зона насыщения обнаруживается в том, что при увеличении тока сверх некоторого значения скорость перемещения регулирующего органа остается постоянной (); также и для гидравлического двигателя при, когда окна золотника полностью открыты.

Термины «насыщение» и «гистерезис» применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа: они необязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса.

Уравнение привода регулирующего органа с учетом указанных обстоятельств вместо прежнего линейного будет иметь нелинейный вид:

, (4.60)

где есть нелинейная функция, задаваемая графиком (рис. 16.22, а или г). для электрических приводов можно записать

. (4.61)

В приближенном кусочно-линейном виде (рис. 16.22, б), уравнение (4.60) записывается следующим образом

(4.62)

В случае наличия гистерезиса (рис. 16.22, д) придется написать два ряда таких же выражений с разными значениями и: один – для движения вправо () и другой – для движения влево (). Этим определяется уравнение привода регулирующего органа как нелинейного звена. Уравнение линейной части составляется обычным способом в зависимости от того, в какой конкретно автоматической системе этот привод применен.

Следящая система с линейным и квадратичным трением. В § 16.3 была рассмотрена следящая система с линейным и сухим трением. Пусть теперь управляемый объект в той же следящей системе обладает кроме линейного еще квадратичным трением, т. е. уравнение объекта имеет вид

,

где

,

(рис. 16.23). Тогда уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена будет

. (4.63)

Уравнение линейной части системы в полном виде по-прежнему будет (4.53).

Система автоматического регулирования с переменным коэффициентом усиления. В ряде случаев для повышения качества процесса регулирования бывает желательно, чтобы воздействие на регулируемый орган было не пропорциональным отклонению регулируемой величины, а усиливалось или ослаблялось при увеличении этого отклонения (нелинейный закон регулирования). Примерами такого воздействия с переменным коэффициентом усиления могут служить характеристики с ограниченной линейностью или с насыщением (рис. 16.22, а) Однако они дают уменьшение коэффициента усиления при увеличении отклонения. Рассмотрим теперь два примера характеристик с переменным коэффициентом усиления, который увеличивается при увеличении отклонения.

Уравнение нелинейной части привода регулирующего органа будет в случае характеристики рис. 16.24, а

(4.64)

а в случае характеристики 16.24, б

. (4.65)

Все рассмотренные примеры иллюстрируют случай, когда общая схема системы имеет вид рис. 16.1, т. е. случай нелинейной системы первого класса (кроме случая сухого трения в следящей системе при наличии остановок). Комбинации нелинейностей приводят к нелинейным системам второго и третьего классов (см. главу 18).

Система автоматического регулирования с логическим устройством. Пусть динамика регулируемого объекта (рис. 16.25) описывается уравнением

. (4.66)

Уравнения измерителей

, . (4.67)

Уравнение усилителя-преобразователя с логическим устройством

. (4.68)

Уравнение исполнительного устройства

. (4.69)

Кроме того, должна быть задана логика формирования нелинейного закона регулирования , которая может быть назначена или синтезирована в очень разнообразных формах для обеспечения простоты и надежности аппаратуры, наибольшего быстродействия, наименьшей затраты энергии на управление, учета ограничения мощности источника энергии и специфики желательных режимов его работы и т. п.

Выбранную тем или иным образом логику формирования нелинейного закона управления можно записывать в аналитической форме. Однако во многих случаях удобно изображать ее графически на плоскости входных величин логического устройства .

Для примера рассмотрим простейшую логику (рис. 16.26). Смысл ее заключается в следующем. Величины и, согласно уравнениям (4.67) с точностью до постоянных времени соответствуют отклонению регулируемой величиных и ее первой производной по времени рх. Поэтому наличие порогового значения соответствует тому, что при малыхх исполнительное устройство не работает (). Не работает оно также и при больших отклоненияхх, но только тогда, когда имеется достаточная по величине скорость рх (соответствующая превышению порога ) со знаком, противоположным знакух, ибо в этом случае отклонение х уменьшается по величине само собой даже при не работающем исполнительном устройстве системы управления. Исполнительное устройство включается (или,рис. 16.26) только тогда, когда при достаточно больших отклонениях х () скоростьрх имеет тот же знак (т. е. отклонение возрастает по величине) либо, когда скорость рх имеет противоположный знак, но мала ().

Система с переменной структурой. Как уже указывалось в начале книги (§ 2.3), системы с переменной структурой содержат в себе специальное переключающее устройство для изменения структуры регулятора, которое срабатывает в зависимости от размеров и знаков входных величин.

Примеры переключающихся устройств приведены схематически на рис. 16.27, где КЭ – ключевой элемент, БИС – блок изменения структуры. Уравнение принято [42] записывать в виде

. (4.70)

Функция может строиться по-разному. Например, (рис. 16.27, а),

(4.71)

Для случаев, указанных на рис. 2.9 и 2.10, будем иметь (рис. 16.27, б)

(4.72)

Под символами  и  могут также иметься в виду различные выражения:

в простейшем случае постоянные

, , (4.73)

в другом случае

, (4.74)

и любые другие, в том числе и нелинейные.

Основная же характерная нелинейность здесь состоит в самом факте автоматического переключения в зависимости от состояния входных величин.