4.1.1 Уравнение систем с нелинейностью релейного типа

Следуя сделанным в § 16.1замечаниям, приведем несколько примеров составления уравнений нелинейных систем релейного типа.

Система автоматического регулирования напряжения.Пусть имеется шунтовый генеротор постоянного тока (регулируемый объект) с вибрационным регулятором напряжения. Упрощенная принципиальная схема такой системы показана нарис. 16.16.

Когда контакты Кпод действием пружиныПзамкнуты, сопротивление, обозначенное через, выключено из цепи возбуждения1. Система рассчитана так, что при этом напряжениена клеммах генератора возрастает (при любой реально возможной нагрузке в сети, на которую работает данный генератор). В результате увеличивается токв катушке2электромагнитного реле, и якорь реле притягивается, размыкая тем самым контактыК. При разомкнутых же контактахКв цепь возбуждения включено сопротивление. Это вызывает снижение напряжения, а значит, уменьшение токаи отпускание реле, в результате чего контактыКснова замыкаются, выключая тем самым сопротивлениеиз цепи возбуждения. Настройка системы на желаемое номинальное значение регулируемой величиныпроизводится установкой сопротивления.

Уравнение регулируемого объекта (генератора) представим в линейном виде:

, (4.33)

где – изменение сопротивления цепи возбуждения (регулирующее воздействие). Постоянная времении коэффициентопределяются параметрами якоря и цепи возбуждения.

Уравнение чувствительного элемента (катушки электромагнита 2) запишется в виде

. (4.34)

Начало отсчета величин ,ибудет определено ниже.

Регулирующий орган (контакты К, скачком включающие и выключающие сопротивление) являются нелинейным звеном релейного типа. Выходная величина его – сопротивлениецепи возбуждения – меняется скачкообразно при срабатывании и отпускании реле, т. е. в зависимости от величины токав цепи катушки2электромагнитного реле. Это изображено нарис. 16.17,а, гдеи– токи полного срабатывания и отпускания реле. Для составления уравнения такого нелинейного звена удобно, как всегда ввести отклоненияиот некоторых постоянных значенийи, как указано на рис. 16.17,апринимаем

,. (4.35)

Тогда характеристика данного нелинейного звена в отклонениях примет вид рис. 16.17, б,симметричный относительно начала координат (релейная характеристика с гистерезисной петлей).

В связи с этим уравнение нелинейного звена (рис. 16.17,б) будет

при, (4.36)

при, (4.37)

где выражение обозначает знак величины. Формулы (4.36) и (4.37) отвечают соответственно движению справа по линииABCEF(рис. 16.17) и влево по линииFEDBA, причем в точкахCиDпроисходит переключение реле (перескоки в точкиЕиВсоответственно).

Уравнения линейной части системы (4.33) и (4.34), имея в виду исследовать переходной процесс при , объединим в одно:

. (4.38)

Постоянные значения, от которых производится здесь отсчет отклонений переменных, определяются из алгебраических уравнений условного номинального установившегося режима

,,

с использованием реальных характеристик генератора.

Система автоматического регулирования курса водяной торпеды. Возьмем описанную в§ 1.3простейшую схему (рис. 1.20). Уравнение вращения торпеды вокруг вертикальной оси (раскание по курсу) как регулируемого объекта запишем приближенно в виде

, (4.39)

где – угол отклонения торпеды от заданного направления;– ее момент инерции относительно вертикальной оси;– момент сопротивления среды (воды);– момент руля;– угол поворота руля. Разделив (4.39) на, получим уравнение регулируемого объекта в виде

, (4.40)

где ,.

Чувствительным элементом является трехстепенный гироскоп, поворачивающий рычаг заслонки в системе питания пневматической рулевой машинки на угол, пропорциональный углу отклонения торпеды. Следовательно, уравнение чувствительного элемента будет

, (4.41)

где – величина перемещения заслонки из нейтрального положения.

Будем считать, что поршень рулевой машинки 3(рис. 1.20) при открытии заслонки, быстро получая полную скорость, мгновенно¹⁾перебрасывает руль из одного крайнего положения в другое.

В таком приближенном представлении линейная часть системы ограничивается уравнениями (4.40) и (4.41). Единое уравнение линейной части системы потому будет

. (4.42)

рулевая машинка вместе с рулем (привод и регулирующий орган) представляет собой нелинейное звено, уравнение которого согласно вышесказанному можно представить либо в простейшем виде (рис. 16.18,а)

, (4.43)

либо, если имеется заметная зона нечувствительности (рис. 16.18, б), в виде

(4.44)

либо, если существенное значение имеет гистерезисная петля (рис. 16.18, в)

(4.45)

либо, наконец, в простейшем случае, но с запаздыванием (рис. 16.18,г)

(4.46)

где

, (4.47)

причем – время запаздывания срабатывания реле.

При исследовании системы в целом можно принять один из этих четырех вариантов в зависимости от того, какой из них лучше будет соответствовать свойствам данной релейной системы.