4.2 Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний

4.2.1 Фазовые траектории и метод точечных преобразований

Понятие о фазовом пространстве, фазовых траекториях и их типах было уже дано выше. В данном параграфе на примерах построения фазовых траекторий для простейших систем второго порядка будут проиллюстрированы некоторые важные особенности процессов в нелинейных системах автоматического регулирования.

Пример 1. Возьмем систему автоматического регулирования с объектом без самовыравнивания и с приводом регулирующего органа, имеющим постоянную скорость. Уравнение регулируемого объекта без самовыравнивания будет

. (4.1)

Для регулятора без массы и демпфера с жесткой обратной связью, т. е. при ,,, получим

, (4.2)

где – относительные изменения регулируемой величины, смещений чувствительного элемента, регулирующего органа, элемента обратной связи и управляющего золотника (рис. 10.11, а), – коэффициент. Привод регулирующего органа пусть имеет постоянную скорость в двух вариантах: 1) с мгновенным переключением (рис. 16.22, ж) при переходе управляющего элемента (золотника, струйной трубки) через нейтральное положение (); 2) с зоной нечувствительности (16.22, з) вследствие наличия «перекрытия» золотника или струйной трубки. В первом случае уравнение привода регулирующего органа будет

, (4.3)

а во втором

(4.4)

Возьмем фазовую плоскость (х, у), приняв

х = , у = р. (4.5)

из уравнений (4.1), (4.2) и (4.5) имеем

, . (4.6)

Следовательно, переключения привода в первом варианте ( = 0) будут иметь место при

, (4.7)

что соответствует прямой АВ (рис. 17.1, а) на фазовой плоскости, причем, согласно (4.6) значениям соответствует часть плоскости слева от прямойАВ, а – справа.

На основании первого из соотношений (4.6) с учетом (4.3) при получаем

, (4.8)

а из (4.5)

, (4.9)

откуда находим уравнения фазовых траекторий

(4.10)

или, после интегрирования,

. (4.11)

Это есть семейство парабол, показанное на рис. 17.1, а справа от линии АВ (они симметричны относительно оси х). Так как (4.8) и (4.9) являются проекциями скорости изображающей точкиМ на оси х и у, то имеем , а знаксовпадает со знакому. В соответствии с этим на рис. 17.1, а укажем стрелочками направление движения изображающей точки М по фазовым траекториям. Аналогичным путем легко строятся параболы слева от прямой АВ.

В результате, как видно из общего расположения фазовых траекторий (рис. 17,1, а), получается устойчивая система с затухающим колебательным переходным процессом. Но число колебаний будет конечным. В самом деле, здесь имеется особый отрезок CD, в который вливаются все фазовые траектории. Чтобы выявить поведение системы на этом отрезке, вспомним, что для него, согласно (4.7) и (4.5)

, или .

Следовательно, попав на отрезок CD, изображающая точка не может с него уйти, и система будет апериодически приближаться к установившемуся состоянию, т. е. изображающая точка будет сползать по отрезку CD к началу координат О. Таким образом, имеющий место вначале колебательный переходной процесс после конечного числа колебаний вырождается в так называемый скользящий процесс.

Крайние точки особого отрезка CD определяются очевидно как точки, в которых прямая АВ касается одной из парабол соответственно правого и левого семейств. Поэтому, подставив значения из (4.7) в выражение (4.10), найдем точкуС:

.

По найденной картине расположения фазовых траекторий можно качественно представить себе кривую переходного процесса при любых начальных условиях. Начальными условиями определяется начальное положение изображающей точкиМ и, тем самым, определенная фазовая траектории, иллюстрирующая протекание процесса. Она показывает (рис. 17.1, а) максимальное отклонение регулируемой величины , максимальную скорость, а также все последующие отклонения, число колебаний и т. п.

Рассмотрим теперь ту же систему, но с учетом зоны нечувствительности. В этом случае переключениям привода (при и) на фазовой плоскости соответствуют согласно (4.6) две наклонные прямые (рис. 17.1, б):

и .

Между этими прямыми , правее их, левее их(причем,).

При из (4.4), (4.5) и (4.6) получаем

, ,

откуда (при )

или ,

(прямые, параллельные оси х в полосе АВ на рис. 17.1, б).

При получим прежние параболы. В результате система снова оказывается устойчивой и имеет колебательный переходной процесс, но вместо особой точкиО получаем особый отрезок (,), т. е. установившееся состояние определяется неоднозначно. Это соответствует тому, что регулятор может находиться в равновесии в любом месте внутри зоны нечувствительности. Здесь точно также возможен скользящий процесс, как и в случаерис. 17.1, а.

В данном примере система оказывается устойчивой при любых значениях параметров и при любых начальных условиях. Однако здесь для получения системы второго порядка была проведена грубая идеализация уравнений регулятора (пренебрежение массой и демпфированием).

Пример 2. допустим, что требуется стабилизировать угловое положение некоторого тела, когда сопротивлением среды его вращению можно пренебречь. Уравнение объекта будет

, , (4.11)

где – момент инерции тела;– угол поворота тела; – его угловая скорость; М – управляющий момент со стороны исполнительного органа системы стабилизации.

Уравнение регулятора (системы стабилизации) запишем в виде

, (4.12)

где – постоянная положительная величина;– нелинейный закон регулирования, осуществляемый при помощи логического устройства по тому даже простейшему принципу, что и нарис. 16.26 с той лишь разницей, что по углу фазовая плоскость ограничена значениями + и –, так как это составляет один полный оборот тела (рис. 17.2).

Изобразим процесс регулирования на фазовой плоскости. Уравнение всей системы согласно (4.11) и (4.12) будет

, (4.13)

где обозначено

,

причем с имеет физический смысл величины углового ускорения, сообщаемому данному телу постоянным моментом .

Умножив почленно уравнение (4.13) на выражение , получим дифференциальное уравнение фазовой траектории

. (4.14)

Это уравнение легко интегрируется внутри участков, на которых . В результате для каждого отдельно взятого участка уравнение фазовой траектории будет

, (4.15)

где и– значенияив начальной точке данного участка.

Зададим начальные условия процесса

, при.

Для данной начальной точки процесса (см. рис. 17.2) имеем . Поэтому на первом участке процесса согласно (4.15) уравнение фазовой траектории будет

.

Это участок движения с постоянной скоростью заканчивается в точке 1 (рис. 17.2), где происходит включение исполнительного органа (). Следовательно, для второго участка процесса (после точки1) из (4.15) получим уравнение фазовой траектории

, (4.16)

так как в начальной точке 1 этого участка ,. Фазовая траектория (4.16) – парабола, ось которой совпадает с координатной осью. Это соответствует равнозамедленному движению . Изображая параболу графически, доводим ее до границе(участок1–2 на рис. 17.2), причем в точке 2, согласно (4.16)

. (4.17)

Это значение переносим в точку 2’ (для вращающегося тела – это одна и та же точка). Здесь происходит выключение исполнительного органа (), поэтому дальнейшее движение (4.15) пойдет с постоянной скоростью

до точки 3 (рис. 17.2). Таким образом, в рассмотренной начальной части процесса регулирования тело совершило один полный оборот, но в конце этого оборота скорость вращения его стала меньше начальной.

В точке 3 снова включается исполнительный орган (), в результате чего фазовая траектория будет

, (4.18)

так как в точке 3 ,. Допустим, что соответствующая уравнению (4.18) парабола3–4 не доходит до границы . Это означает, что тело не совершит больше полного оборота, а начнет (с точкиА) возвращаться в сторону нулевого положения.

В точке 4 (рис. 17.2) имеем скорость . Следовательно, из (4.18) угловая координата ее будет

,

где определяется по формуле (4.17). Дальше (4–5) процесс пойдет с постоянной скоростью (так как ), после чего тело войдет в установившийся автоколебательный режим, определяемый предельным циклом (5–6–7–8). Уравнение параболы 7–8 согласно (4.15) будет

Отсюда амплитуда угловых колебаний как значениеприбудет

, (4.19)

а амплитуда колебаний скорости

.

Она равна зоне нечувствительности измерителя угловой скорости , в то время как амплитуда угловых колебаний (4.19) несколько больше зоны нечувствительности измерителя угла.

Период автоколебаний можно вычислить как сумму времен

,

где и– времена участков (6–7)+(8–5) и (5–6)+(7–8) соответственно. По законам равномерного и равнозамедленного движения соответственно получаем

.

Итак, установившийся режим стабилизации в данной системе является автоколебательным. Однако уравнение системы (4.13)справедливо только для идеальной системы стабилизации. Всякое реально имеющееся запаздывание в работе усилительно-преобразовательного и исполнительного устройства приведет к увеличению амплитуд автоколебаний по сравнению с полученными здесь значениями. Решение задачи с учетом постоянных времени системы управления будет дано в следующей главе.

Пример 3. уравнение системы автоматического регулирования курса водяной торпеды в упрощенном варианте имеют вид: линейная часть (4.40) и (4.41), т. е.

, , (4.20)

и нелинейное звено (возьмем сначала один случай – рис. 16.18, в)

(4.21)

Покажем, что здесь равновесное установившееся состояние системы с постоянным значением неустойчиво, но будет иметь место устойчивый колебательный процесс.

Возьмем фазовую плоскость (х, у) с координатами ,(угол отклонения и угловая скорость отклонения оси торпеды от заданного курса). Уравнения (4.20) и (4.21) перепишутся в виде

(4.22)

Из сравнения этих уравнений с упрощенными уравнениями системы регулирования температуры в конце § 16.1 видна их полная аналогия. Поэтому здесь, также как и в случае рис. 16.15, установившийся процесс движения торпеды будет автоколебательным, причем картина фазовых траекторий будет иметь вид, показанный на рис. 17.3, а.

При этом кривая АВ предельного цикла, соответствующая автоколебательному процессу, определяется из уравнения (4.31) с таким значением произвольной постоянной , чтобы выполнялось условие

, т. е. , (4.23)

Так как только в этом случае и получится замкнутая кривая предельного цикла АВD (рис. 17.3, а). Определив таким образом , найдем амплитуду автоколебанийа как значение х при , т. е., согласно (4.31)

.

Значения же (4.23) дают амплитуду колебаний скоростиу. Можно все это определять и графически прямо по чертежу (рис. 17.3, а). Пери од автоколебаний остается неизвестным.

Введем теперь в характеристику нелинейного звена (рулевой машинки) зону нечувствительности, как показано на рис. 17.3, б, в. Так, на том участке характеристики (рис. 17.3, б) Ю где , из (4.22) следует, что

,

что соответствует наклонным прямым внутри полосы на фазовой плоскости (рис. 17.3, б). Аналогичная полоса будет и в нижней части плоскости. Все остальное заполняется такими же кривыми, как нарис. 17.3, а. В результате с увеличением зоны нечувствительности характеристика нелинейного звена и картина фазовых траекторий принимают вид, показанный на рис. 17.3, в. Здесь автоколебания отсутствуют, и становится устойчивым установившийся процесс с постоянным значением . Ранее неустойчивый особый отрезоктеперь стал устойчивым. Дальнейшее увеличение зоны нечувствительности приводит к расширению отрезка, т. е. установившейся ошибки системы из-за слишком широкого участка равновесия.

Пример 4. Рассмотрим вибрационный регулятор напряжения, уравнения которого были составлены в § 16.2, а именно:

(4.24)

Причем уравнение нелинейного звена (регулирующего органа)

(4.25)

В качестве ординаты фазовой плоскости здесь удобнее взять не скорость отклонения регулируемой величины , как делалось раньше, а вторую переменную. Итак, примем для этой задачи

, . (4.26)

Тогда уравнения (4.24) преобразуются к виду

(4.27)

(4.28)

где согласно (4.25), (4.26) и (4.28) имеем

(4.29)

Следовательно, первое из этих условий имеет место ниже прямой , а второе – выше нее. В первом случае переключение реле происходит при, т. е. на прямойCD (рис. 17.4), а во втором случае – при , т. е. на прямойEF. Чертеж сделан в предположении, что .

В результате получаем, что выше линии EFCD будет

, (4.30)

а ниже линии EFCD

. (4.31)

Рассмотрим сначала верхнюю область. Для нее, деля (4.28) на (4.27), с учетом (4.30) получим уравнение фазовых траекторий

, (4.32)

которое можно представить в виде

и проинтегрировать, применив вспомогательную подстановку

,

где – новая переменная вместо. В результате найдем следующее уравнение фазовых траекторий (при):

, (4.33)

где – произвольная постоянная,

, ,(4.34)

(при решение будет иметь другой вид, а прибудети; эти решения не будут исследоваться).

Чтобы представить себе всю совокупность фазовых траекторий, можно провести на фазовой плоскости прямую

(4.35)

и ко всем ординатам этой прямой добавлять

, (4.36)

придавая произвольные значения (каждому значениюбудет соответствовать определенная фазовая траектория). Это будут параболы степенис осью

(4.37)

и с единым началом в точке Н (рис. 17.4), имеющей координаты

, .

На рис. 17.4 показаны все ветви этих парабол, лежащие выше линии EFCD, так как только там справедливы данные выкладки. Направления стрелок на полученных фазовых траекториях определяются тем, что проекция скорости изображающей точки справа от прямой (4.37) согласно (4.27) будет отрицательна, а слева – положительна; проекция жесогласно (4.28) выше прямойбудет отрицательна, а ниже – положительна (во всех точках прямойкасательные к фазовым траекториям горизонтальны).

Аналогично строится и фазовые траектории ниже линии EFCD, так как их дифференциальное уравнение отличается от (4.32) только заменой насогласно (4.31).

В результате на рис. 17.4 видим, что все фазовые траектории, исходящие из особого отрезка FOC, расходятся, а все траектории, идущие от краев чертежа, сходятся. Как те, так и другие асимптотически приближаются к установившемуся предельному циклу, обозначенному на чертеже жирной замкнутой кривой (чичевицеобразной). Это соответствует тому, что установившийся процесс в системе является автоколебательным, причем размеры предельного цикла ипредставляют собой амплитуды автоколебаний соответственно регулируемого напряженияи тока в обмотке электромагнита реле.

Определить фазовую траектории, образующую этот предельный цикл, можно как такую кривую, у которой

, (4.38)

чем определяется значение произвольной постоянной . Значениех (4.38) для этой кривой и дает искомую амплитуду . Амплитуда жеопределяется как ордината пересечения кривой предельного цикла с прямой(ибо, как было показано ранее, в точках этой прямой касательные к фазовым траекториям горизонтальны).

Из чертежа (рис. 17.4) видно, что предельный цикл лежит левее точки L и охватывает точку С. Поэтому , т. е. амплитуда автоколебаний регулируемого напряжения заключена в интервале

,

где  и  определяются формулами (4.34). Амплитуда же будет немного больше.

Пример 5. рассмотрим следящую систему с сухим трением в управляемом объекте, для которой уравнение были написаны в § 16.3. Уравнение регулируемого объекта (4.52) как нелинейного звена при отсутствии линейного трения () имеет вид

(4.39)

При написании уравнения линейной части системы (4.53) пренебрежем постоянными времени (чтобы иметь возможность рассматривать уравнение всей системы как уравнение второго порядка), а именно:

.

Подставив это в уравнения объекта (4.39) и обозначив

, ,, (4.40)

получим уравнение всей следящей системы в целом

, (4.41)

. (4.42)

За координаты фазовой плоскости примем, как обычно, ,. Условиеипри котором, согласно (4.42), будет, т. е. система будет в равновесии, изображается на фазовой плоскости отрезкомАВ (рис. 17.5).

Вне этого отрезка согласно (4.41) необходимо отдельно рассмотреть два случая: и, т. е. верхнюю и нижнюю половины фазовой плоскости. Прииз (4.41) имеем

.

Это уравнение совпадает с уравнением (4.23), но со сдвигом на величину . Следовательно, ниже осинадо нанести такие же кривые, как нарис. 16.9, б (если ) или как нарис. 16.11, б (если ), но со сдвигом начала координат в точкуА, что и сделано на рис. 17.5, а и б соответственно.

Аналогичные кривые наносятся и выше оси х, но только со сдвигом начала координат в точку В (рис. 17.5), так как согласно (4.41) при имеем уравнение

.

В обоих случаях (рис. 17.5, а и б) система устойчива, причем в первом случае переходной процесс состоит из конечного числа затухающих колебаний управляемого объекта, а во втором случае имеем апериодическое движение. Положение равновесия объекта определяется неоднозначно, объект может остановиться в любой точке особого отрезка АВ (рис. 17.5), как это было уже ранее при наличии зоны нечувствительности (см. пример 1). Особый отрезок АВ определяется соотношением , гдес – абсолютное значение момента сухого трения при движении управляемого объекта.

Заметим, что произведенное здесь упрощение уравнений системы хотя и позволило решить их точно, но это решение, дающее в результате устойчивость системы при любых числовых значениях параметров системы, неполно отражает действительную картину явлений в данной нелинейной системе.

Метод точечного преобразования. Как видно было из примеров, фазовая траектория обычно складывается из отдельных кусков, представляющее решение уравнений по участкам.

Пусть (рис. 17.6, а) граничными линиями между кусками фазовых траекторий является ось х, линия FG и линия LN.

Возьмем начальное положение изображающей точки где-нибудь на полуосиОх. Один этап движения системы состоит в переходе изображающей точки на линии FG, ограничивающую этот этап, в некоторое положение (рис. 17.6, а). следующий этап переводит изображающую точку в положение на полуосиОН, затем в положение на кривой на кривойLN, и наконец, в положение на полуосиОх.

Каждому положению точки на полуосиОх соответствует определенное положение точки на кривойFG. Это называется точечным преобразованием полупрямой Ох в кривую FG. Для краткости ему присваивают название, например, преобразование . Дальше (рис. 17.6, а) идет точечное преобразование кривой FGв полупрямую ОН, названное ; затем – точечное преобразованиеполупрямойОН, в кривую LN и преобразование кривойLN в исходную полуось Ох.

Все это в целом (или, как говорят, преобразование ) называется точечным преобразованием полупрямойОх самой в себя. Это преобразование в данном случае записывается в виде определенной зависимости:

,

где через иобозначены абсциссы точеки(рис. 17.6, а). Если при любом оказывается, то в системе будет затухающий процесс, а если– расходящийся процесс. Если же возможно равенство, то на фазовой плоскости получится предельный цикл, который, как известно, может изображать либо устойчивый автоколебательный процесс, либо границу устойчивости системы «в малом», либо может соответствовать особому случаю бифуркации (см. ниже).

В тех случаях, когда общая картина фазовых траекторий разделяется на две симметричные части, достаточно исследовать только половину всего точечного преобразования.

В рассматриваемом случае верхняя полуплоскость симметрична нижней относительно начала координат. Поэтому достаточно рассмотреть только первую половину преобразования (), т. е. точечное преобразованиеОх в полупрямую ОН, и выразить его в виде зависимости

, , (4.43)

причем условие наличия предельного цикла на фазовой плоскости будет при.

Пусть, например, зависимость (17.43) имеет вид кривой, показанной на рис. 17.6, б. Проведем на этом графике еще прямую из начала координат под углом 45 к координатным осям. Если она пересечет кривую, то в точке пересечения получим . Чтобы определить, какому типу предельного цикла это соответствует, надо взять на оси абсцисс начальную точкусначала слева, а затем справа от точки пересечения и проследить ход точечного преобразования, как показано стрелками нарис. 17.6, б. В данном случае процесс сходится с обеих сторон к точке пересечения. следовательно, здесь будет устойчивый предельный цикл, соответствующий автоколебательному процессу в системе. При этом абсцисса точки пересечения (рис. 17.6, б) дает амплитуду автоколебаний.

Можно поступить и иначе. Допустим, преобразование от точкик точкевыполняется достаточно просто, но оказывается, что по полученной определенной точкенаходить соответствующую точкутруднее, чем по заданному положениюопределять. Тогда будем подходить кривойFG с двух сторон, задавая одновременно точку на полуосиОх и точку на полуосиОН и находя соответствующие точки и(рис. 17.6, в). В результате получим точечные преобразования полупрямых Ох и ОН в кривую FG, выраженные некоторыми зависимостями:

и .

Изобразив это в виде двух кривых (рис. 17.6, г), анализируем их тем же способом, как и кривую с прямой на рис. 17.6, б.

Такие графики (17.6, б и г) называют диаграммами точечного преобразования. Они соответствуют в данном случае устойчивому предельному циклу, т. е. наличию устойчивого автоколебательного процесса в системе. Другие возможные типы диаграмм точечного преобразования показаны на рис. 17.7. При этом рис. 17.7, а соответствует неустойчивому предельному циклу; он ограничивает область начальных условий , при которых система оказывается устойчивой относительно установившегося состояния с постоянным значением регулируемой величины. При начальных же условиях, выходящих за контур этого предельного цикла, система неустойчива (система устойчива «в малом» и неустойчива «в большом»).

Рис. 17.7, в соответствует двум предельным циклам, из которых меньший неустойчив, а другой, больший – устойчив. Следовательно, при начальных условиях , расположенных внутри первого предельного цикла система устойчива, как и в предыдущем случае, а при всяких других начальных условиях она стремится к устойчивому автоколебательному процессу, который определяется вторым предельным циклом.

Этот случай может выродиться в случай, изображенный на рис. 17.7, б, когда оба предельных цикла сливаются в один полуустойчивый. подобные особые случаи называются бифуркационными.

Наконец, на рис. 17.7, г и д изображены случаи, когда на диаграмме точечного преобразования кривая не пересекается с прямой, проведенной под углом 45 к осям. Это означает соответственно устойчивость (г) и неустойчивость (д) системы при любых начальных условиях (до которых справедливы исследуемые уравнения системы).

Заметим, что изложенное выше является лишь качественным рассмотрением, так как в нем отсутствует время . Остается неизвестным течение процессов во времени, период (частота) автоколебаний. Чтобы получить полное решение задачи, нужно к данному рассмотрению добавить еще решение дифференциальных уравнений на отдельных участках во времени (как в методе припасовывания, см.§ 16.1). Поэтому в методе точечного преобразования вводится соответствующий временной параметр (здесь это не рассматривается).

Для систем выше второго порядка вместо фазовой плоскости придется иметь дело с фазовым пространством и с точечным преобразованием не линий, а поверхностей. Там появляются новые особенности процессов. Однако ввиду чрезвычайной сложности таких процессов рассматривать их не будем.

Метод изоклин. Выше были рассмотрены такие примеры нелинейных систем второго порядка, для которых фазовые траектории легко находятся интегрирование уравнений по участкам. В тех случаях, когда интегрирование затруднено, ход фазовых траекторий, хотя бы качественно, можно проследить с помощью так называемого метода изоклин (без интегрирования уравнений). Количественно этот способ имеет сравнительно низкую точность. Применение его пока ограничено системами второго порядка.

Изоклиной называется такая линия, во всех точках пересечения которой с фазовыми траекториями последние наклонены под одним и тем же определенным углом к оси абсцисс х. так, если известно дифференциальное уравнение фазовых траекторий

, (4.44)

то для получения изоклины нужно положить

.

Уравнение изоклины, следовательно, будет

, (4.45)

где с – обозначает определенный тангенс угла наклона фазовых траекторий. Каждому заданному значению с соответствует своя изоклина.

Например, часто встречается нелинейное уравнение

,

которое можно записать в виде

, ;

тогда дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет выглядеть так:

,

а уравнение изоклин

.

Задавая различные значения с (при заданном k), для каждого из них строим по этому уравнению кривую на фазовой плоскости – изоклину (сплошные кривые рис. 17.8). Затем на каждой кривой наносим стрелочки под углами к оси абсцисс (нарис. 17.8 указаны значения с для каждой кривой). Из этих стрелочек и составляются искомые фазовые траектории; некоторые из них изображены на рис. 17.8 пунктиром. В данном случае получается устойчивый предельный цикл, что соответствует автоколебаниям в системе.