4.2.2 Теоремы прямого метода Ляпунова и их применение

Предварительно заметим, что при изложении прямого метода Ляпунова, именуемого также прямой методой Ляпунова, будем пользоваться дифференциальными уравнениями автоматической системы в форме уравнений первого порядка, полагая, что они записаны для переходного процесса в отклонениях всех переменных от их значений в установившемся процессе при новых постоянных значениях возмущающего и задающеговоздействий. Следовательно, эти уравнения для нелинейной системып-го порядка будут:

(4.46)

где функции произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условию

при , (4.47)

так как в установившемся состоянии все отклонения переменных и их производные равны, очевидно, нулю по самому определению понятия этих отклонений.

Нам понадобятся в дальнейшем еще следующие сведения.

Понятие о знакоопределенных, знакопостоянных и знакопеременных функциях. Пусть имеется функция нескольких переменных

.

Представим себе п-мерное фазовое пространство (см. § 16.1). в котором являются прямоугольными координатами (это будут, в частности, фазовая плоскость прип = 2 и обычное трехмерное пространство при п = 3). Тогда в каждой точке указанного пространства функция будет иметь некоторое определенное значение. Нам понадобятся в дальнейшем функции, которые обращаются в нуль в начале координат (т. е. при) и непрерывны в некоторой области вокруг нее.

Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области вокруг начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме только самого начала координат.

Функция V называется знакопостоянной, если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.

Приведем примеры всех тех типов функций V. Пусть п = 2 и . Это будет знакоопределенная (положительная) функция, так кактолько тогда, когда одновременнои, ипри всех вещественных значенияхи. Аналогично при любомп функция будет знакоопределенной положительной, а функция– знакоопределенной отрицательной.

Если взять функцию прип = 3, то она уже не будет знакоопределенной, так как, оставаясь положительной при любых ,и, она может обращаться в нуль не только при, но также и при любом значении, если(т. е. на всей оси,рис. 17.9, а). Следовательно, это будет знакопостоянная (положительная) функция.

Наконец, функция будет знакопеременной, так как она положительна для всех точек плоскости справа от прямой(рис. 17.9, б) и отрицательна – слева от этой прямой.

Заметим, что в некоторых частных задачах нам понадобиться также функция , которая обращается в нуль не в начале координат, а на заданном конечном отрезкеАВ (рис. 17.9, г). Тогда знакоопределенность функции будет означать ее неизменный знак и не обращение в нуль в некоторой области вокруг этого отрезка.

Функция Ляпунова и ее производная по времени. Любую функцию

, (4.48)

Тождественно обращающуюся в нуль при , будем называть функцией Ляпунова, если в ней в качестве величинвзяты те отклонения переменных системы регулирования в переходном процессе

,

в которых записываются уравнения (4.46) для этой системы.

Производная от функции Ляпунова (4.48) по времени будет

.

Подставив сюда значения из заданных уравнений системы регулирования в общем случае (4.46), получим производную от функции Ляпунова по времени в виде

, (4.49)

–правые части уравнений (4.46) системы автоматического регулирования , представляющие собой заданные функции от отклонений .

Следовательно, производная от функции Ляпунова по времени, так же, как и сама , является некоторой функцией отклонений, т. е.

, (4.50)

причем, согласно свойству (4.47), эта функция так же, как и, тождественно обращается в нуль при. Поэтому к ней в одинаковой степени можно применять все те же понятия знакоопределенности, знакопостоянства и знакопеременности в некоторой области вокруг начале координат, о которых говорилось выше по отношению к функции.

Здесь шла речь только об уравнениях (нелинейных), в которые не входит в явном виде время , так как этот случай будет рассматриваться в дальнейшем. Вообще же метод Ляпунова может применяться и при наличии временив явном виде, в частности для уравнений с переменными коэффициентами (линейных и нелинейных).

Базируясь на этих предварительных сведениях, дадим общую формулировку теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости нелинейных систем и покажем их справедливость. Теоремы эти годятся для исследования устойчивости систем регулирования не только при малых, но и при больших отклонениях, если для них справедливы исходные уравнения данной системы автоматического регулирования. Устойчивость системы при любых больших начальных отклонениях называется коротко устойчивостью в целом.

Теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. Теорема формулируется следующим образом: если при заданных в форме (4.46) уравнениях системы п-го порядка можно подобрать такую знакоопоределенную функцию Ляпунова , чтобы ее производная по времени, тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку, то данная система устойчива. При знакоопределенной функции будет иметь место асимптотическая устойчивость.

Проиллюстрируем справедливость этой теоремы на наглядных геометрических образах. Для простоты возьмем систему третьего порядка (п = = 3). Уравнения (4.46) для нее в общем виде будут

(4.51)

Возьмем знакоопределенную положительную функцию Ляпунова в виде

, (4.52)

где ,,– произвольные заданные вещественные числа. Будем придавать величиневозрастающие постоянные значения:,,,, …, что означает

,

,

,

……………………….

Первое из этих выражений соответствует одной точке (началу координат фазового пространства), а остальные – поверхностям эллипсоидов в фазовом пространстве, причем каждый последующий эллипсоид содержит внутри себя целиком предыдущий (рис. 17.10).

Возьмем теперь производную от функции Ляпунова по времени. согласно (4.49) и (4.52)

,

где функции ,,берутся из заданных уравнений системы регулирования (4.51).

Если полученная таким путем функция знакоопределенной отрицательной, т. е. если

(4.53)

во всех точках исследуемого фазового пространства, кроме одного только начала координат, где

(при ),

то при любых начальных условиях изображающая точка М (рис. 17.10) вследствие (4.53) будет двигаться в сторону уменьшения значения , т. е. будет пересекать эллипсоиды, изображенные нарис. 17.10, извне внутрь. В результате с течением времени изображающая точка М будет стремиться к началу координат О фазового пространства и уже никак не сможет выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые она проникла.

Это и означает затухание всех отклонений в переходном процессе с течением времени. Таким образом, установлена устойчивость данной системы регулирования, что иллюстрирует справедливость теоремы для системы третьего порядка (в случае знакоопределенной функции).

Отсюда вытекает справедливость теоремы и в общем случае. рассуждения остаются аналогичными, только вместо трех уравнений (4.51) будет п уравнений (4.46). Как и раньше для любой знакоопределенной положительной функции Ляпунова , получим некоторые замкнутые поверхности, окружающие начало координат (4.10), но уже не в обычном, трехмерном, а вп-мерном фазовом пространстве (их иногда называют гиперповерхностями). Поэтому, если производная окажется знакоопределенной отрицательной, то траектория изображающей точкиМ в п-мерном пространстве при любых начальных условиях с течением времени будет пересекать указанные поверхности только извне внутрь, что и свидетельствует об устойчивости данной системы.

Если же функция будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то очевидно, что траектория изображающей точкиМ не везде будет пересекать поверхности , а может их касаться в тех точках, гдеобращается в нуль (помимо начала координат). Но так как во всех других местах фазового пространства функцияимеет один и тот же знак, вследствие чего изображающая точка может идти только извне внутрь поверхности, то при решении задачи остается только проверить, не «застрянет» ли изображающая точка там, где(см. пример ниже).

Замечания к теореме Ляпунова об устойчивости. По поводу сформулированной теоремы Ляпунова об устойчивости системы необходимо сделать следующие два важных вывода:

1. В теореме речь идет о подборе функции Ляпунова . Вообще говоря, при заданных в форме (4.46) уравнениях системы регулирования можно подобрать несколько различных вариантов функции, поскольку требуется только знакоопределенность ее и ее производной. Различные варианты функции, удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты условий устойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них будут шире, другие уже, последние могут входить в первые как частный случай и т. д.

Поэтому, вообще говоря, данная теорема Ляпунова обеспечивает получение достаточных условий устойчивости, которые не всегда будут и необходимыми, т. е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам. В самом деле, если выбрана функция , удовлетворяющая теореме, нет уверенности в том, что нельзя подобрать другой вариант функции, который бы еще более полно охватывал область устойчивости данной системы.

Геометрически это значит, что, получив определенное семейство поверхностей и убедившись, траектории изображающей точкиМ приближаются к началу координат, пересекая эти поверхности извне внутрь, нельзя быть уверенным в том, что не существует еще других вариантов траекторий изображающей точки М, которые в отдельных местах могут пересекать данные поверхности изнутри вовне, но все же с течением времени в конце концов неограниченно приближаться к началу координат. такие траектории будут соответствовать другому семейству поверхностей , т. е. другому варианту выбора функции Ляпунова.

В ряде технических задач можно вполне удовлетвориться этими достаточными условиями устойчивости. От более или менее удачного подбора функции Ляпунова будет зависеть большая или меньшая близость полученных достаточных условий устойчивости к необходимым и достаточным, т. е. более или менее полный охват всей области устойчивости данной системы. Существуют, конечно, и такие функции, которые соответствуют всей области устойчивости.

2. К сформулированной выше теореме Ляпунова необходимо добавить, что понятие устойчивости по Ляпунову допускает, чтобы при знакоопределенной функции производная от неебыла необязательно знакоопределенной или знакопостоянной, а могла быть и тождественно равна нулю во всем рассматриваемом фазовой пространстве. В этом случае, проводя аналогичные прежним рассуждения, легко убедиться, что изображающая точка М (рис. 17.10) будет оставаться все время на какой-нибудь одной из поверхностей , куда ее забросили начальные условия. В результате система хотя и не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будет все время в достаточной близости от него.

Теореме Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем. Поскольку предыдущая теорема дает, вообще говоря, только достаточные условия устойчивости и поскольку кроме области устойчивости нелинейная система может иметь целый ряд особых областей (§ 16.1), то может возникнуть потребность в отдельном определении области неустойчивости путем использования нижеследующей теоремы Ляпунова, которая дает достаточные условия неустойчивости системы.

Теорема формулируется так: если при заданных в форме (4.46) уравнениях системы п-го порядка производная от какой-нибудь функции Ляпунова окажется знакоопределенной, причем сама функция в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком , то данная система неустойчива.

Справедливость этой теоремы геометрически иллюстрируется следующим образом. Пусть для какой-нибудь заданной системы второго порядка (п = 2) найдена такая знакопеременная функция , для которой производная

оказалась знакоопределенной положительной. Пусть при этом линии на фазовой плоскости располагаются как показано нарис. 17.11, где линии АВ и CD соответствуют значениям и разделяют те области, внутри которыхи.

Возьмем изображающую точку М, как показано на рис. 17.11. Поскольку там и везде

,

то изображающая точка М с течением времени будет двигаться и пересекать линии , переходя от меньших значенийС к большим. Она может при этом лишь временно приблизится к началу координат, но в конце концов будет неограниченно удаляться от начала координат. Это соответствует расходящемуся процессу, т. е. неустойчивости системы. Аналогично можно показать справедливость теоремы и для системы любого порядка п, проводя те же рассуждения для п-мерного фазового пространства.

Наиболее полно решение нелинейных задач теории регулирования с применением указанных теорем дано в известной книге А.И. Лурье [81], где предложено брать функцию Ляпунова в виде «квадратичная форма плюс интеграл» (см. также [98]).

Приведем два примера применения изложенных теорем Ляпунова к исследованию нелинейных систем автоматического регулирования.

Пример учета нелинейности привода регулирующего органа. Такой пример применительно к системе самолета с курсовым автопилотом (в упрощенном виде) был рассмотрен в работе А.И. Лурье и В.Н. Постникова. Схема данной системы автоматического регулирования представлена на рис. 17.12, а.

Пусть все звенья системы являются линейными за исключением электродвигателя (с редуктором), для которого будем рассматривать его реальную характеристику (рис. 17.12, б). Она может иметь произвольное криволинейное очертание с зоной застоя (при ) и с зоной насыщения (при). Наклон характеристики и ее криволинейность могут быть любыми, лишь бы только соблюдались условия

, приипри. (4.54)

Требуется найти условия устойчивости данной системы автоматического регулирования.

Уравнение самолета, как регулируемого объекта в грубо упрощенном виде будет

, (4.55)

где – отклонение курсового угла самолета; – отклонение руля.

Уравнения чувствительных элементов (гироскопов с потенциометрами):

, . (4.56)

Уравнение обратной связи

. (4.57)

Уравнение усилителя

. (4.58)

Уравнение электродвигателя с редуктором и рулем

, (4.59)

где задается графикомрис. 17.12, б.

Уравнения (4.56), (4.57) и (17.58) можно свести к одному

, (4.60)

где ;;.

Для перехода к уравнениям вида (4.46) введем новые переменные:

(4.61)

и безразмерное время

. (4.62)

С введением этих переменных дифференциальные уравнения всей системы (4.55) (4.59) и (4.60) преобразуются к виду (4.46), а именно:

(4.63)

где

(4.64)

т. е. функция имеет все те же свойства, что и заданная функция(рис. 17.12, б), и отличается лишь масштабом чертежа по оси абсцисс в связи с заменой переменной насогласно третьему из равенств (4.61).

Установившийся процесс полета при данной системе согласно (4.55), (4.59), (4.60) и графику рис. 17.12, б будет иметь место при

, ,, (4.65)

т. е. наличие зоны застоя двигателя приводит к тому, что в установившемся процессе курсовой угол может принять любое постоянное значение в пределах (4.65).

В новых переменных (4.61) установившийся процесс полета определяется значениями:

, ,, (4.66)

чему соответствует любая точка отрезка АВ в фазовом пространстве (рис. 17.13, а).

При отыскании условий устойчивости рассмотрим два случая: и.

Случай . Возьмем функцию Ляпунова в виде

. (4.67)

Здесь интеграл будет всегда положительным, так как функция нечетная (см. условие (4.54)). Поэтомуесть знакоопределенная положительная функция, если, обращаясь в нуль на отрезке установившегося процессаАВ (рис. 17.13). Поверхности окружают этот отрезок (рис. 17.13, б), стягиваясь к нему с уменьшением С.

Составим производную от функции Ляпунова

,

причем частные производные возьмем из (4.67), а производные по безразмерному времени – из уравнений системы (4.63). Тогда

.

Представим это в виде

. (4.68)

Эта функция знакопостоянная, так как она не включает в себя координату, а потому обращается в нуль не только на отрезке установившегося процессаАВ, а на всей полосе шириной АВ в плоскости (рис. 17.13, в). Но вне этой полосы, согласно (4.68) она будет всюду отрицательна при

, если . (4.69)

Поэтому, согласно теореме Ляпунова об устойчивости выражение (4.69) является достаточным условием устойчивости рассматриваемой нелинейной системы самолета с курсовым автопилотом (при любой кривизне и любом наклоне характеристики двигателя, имеющей вид рис. 17.12, б).

Траектория изображающей точки М будет пересекать поверхности извне внутрь везде, где. Нужно только проверить, не «застрянет» ли изображающая точкаМ там, где обращается в нуль (помимо отрезка установившегося процессаАВ). В данном случае речь идет о том, не останется ли изображающая точка на полосе, показанной на рис. 17.13, в, где , если она случайно на нее попадет.

Для решения этого вопроса найдем проекции скорости изображающей точки М: ,,, когда эта точка находится в любом месте указанной полосы. Поскольку там

; ;,

то искомые проекции скорости, согласно (4.63), будут

, ,.

Таким образом, если изображающая точка М попадет на указанную полосу вне отрезка АВ (рис. 17.13, в), то она не останется в ней, а пройдет ее поперек по прямой параллельной оси с постоянной скоростью, равной, как показано стрелками нарис. 17.13, в. Пройдя полосу, изображающая точка снова будет пересекать поверхности извне внутрь, т. е. данная система регулирования будет устойчивой.

Случай . Для этого случая возьмем функцию Ляпунова в виде

.

Производная от нее будет

.

Отсюда, аналогично предыдущему, приходим к достаточному условию устойчивости системы в виде

, если . (4.70)

Общий вывод. Полученные в данной задаче достаточные условия устойчивости (4.69) и (4.70) после подстановки выражений  и через параметры системы (17.64) принимают вид соответственно

, если ;

, если .

Первое из этих условий устойчивости говорит о том, что передаточное число обратной связи надо сделать большим, если производная введена в закон регулирования недостаточно интенсивно; из второго же условия устойчивости следует, что система будет устойчива при любой обратной связи, если передаточное число по производной достаточно велико.

Как видим, данные условия устойчивости не зависят от формы характеристики двигателя (рис. 17.12, б), т. е. они одинаковы при любой кривизне, любом наклоне и любой зоне застоя, в том числе и при однозначной релейной характеристике двигателя постоянной скорости, а также и при линейной характеристике. Такие условия называются условиями абсолютной устойчивости. Они гарантируют, что при их выполнении система будет устойчива при любой нелинейности с ограничением лишь (4.54). В действительности система может быть устойчивой и в некоторой области за пределами этих условий устойчивости при конкретно заданной форме нелинейности (см. гл. 18).

Примет учета нелинейности измерителя регулируемой величины. На основании вышеизложенных теорем Ляпунова М.А. Айзерман показал, что если уравнения системы содержат нелинейность

(4.71)

где – однозначная нелинейная функция, обращающаяся в нуль при, а– любое целое число из 1, 2, …п, то для устойчивости системы достаточно, чтобы для линеаризованной системы (4.71) при замене можно было построить функцию Ляпунова, производная от которойявляется знакоопределенной отрицательной функцией при любом значенииа в интервале , если криваялежит между прямымии, как изображено, например, нарис. 17.14, а.

Пусть, например, в прежней системе самолета с курсовым автопилотом (рис. 17.12, а) уравнение регулируемого объекта имеет вид (4.55), привод руля имеет линейную характеристику , но реостат при чувствительном элементе(измерителе регулируемой величины) имеет нелинейную характеристику, в результате чего получается нелинейное уравнение автопилота

, (4.72)

где ;,

а – нелинейная функция, например, видарис. 17.14, б.

Введем обозначения переменных:

; ;.

Тогда уравнение автопилота (4.72) и самолета (4.55) примут вид (4.71), а именно:

(4.73)

Зададимся функцией в виде

,

где все шесть коэффициентов неизвестны. Потребуем, чтобы функция

(4.74)

при фиксированном значении в уравнениях (4.73) имела вид

. (4.75)

Тогда путем приравнивания коэффициентов соответствующих выражений (4.74) и (4.75) можно найти все шесть величин из системы шести алгебраических уравнений. Здесь приводится результат решения только для трех коэффициентов, которые понадобятся в дальнейшем, а именно:

, ,, (4.76)

где

(4.77)

Затем потребуем, чтобы выражение (4.74) при замене в уравнениях (4.73) , где, имело вид

,

что дает значения:

(4.78)

Функция будет знакоопределенной отрицательной, как требуется по условию, если

, ,

.

Эти неравенства с учетом (4.78) приводятся к следующему:

.

Подставив сюда (4.76), увидим, что это условие выполняется, если лежит в интервале, где

, (4.79)

Откуда видно, что и. При этом требуется еще. Не трудно проверить, что последнее требование совпадает с критерием устойчивости (см. § 6.2) для данной системы в линеаризованном виде при замене (рис. 17.14, б), так как характеристическое уравнение согласно (4.55) и (4.72) в этом случае будет

. (4.80)

Итак, для устойчивости рассматриваемой нелинейной системы автоматического регулирования достаточно, во-первых, чтобы выполнялся критерий устойчивости Гурвица для линеаризованной системыи, во-вторых, чтобы нелинейная характеристикаизмерителя регулируемой величины лежала, как указано нарис. 17.14, б, между прямыми и, причем,, где значенияопределяется формулой (4.79), в которой величины,,(4.77) выражаются через параметры данной системы и через первоначально принятое значениепри линеаризации.

Как и в предыдущем примере, здесь получаются условия абсолютной устойчивости, т. е. условия, не зависящие от формы нелинейности, но в более узких, чем (4.54), пределах, показанных на рис. 17.14, б.