4.2.3 Определение автоколебаний релейных систем

методом припасовывания

В § 17.1 с помощью фазовой плоскости были найдены автоколебания некоторых нелинейных систем второго порядка. Еще ранее, в § 16.1, были исследованы автоколебания в релейной системе второго порядка методом припасовывания. Однако и для релейных систем любого порядка также существует точное аналитическое решение, потому что релейные характеристики проще других нелинейных тем, что выходная величина принимает только определенные постоянные значения , а при наличии зоны нечувствительности – еще и нулевое значение. Имеются методы аналитического решения Г.С. Поспелова [95, 121], Я.З. Цыпкина [135] и др.

Изложим здесь решение А.И. Лурье для релейной системы любого порядка по методу припасовывания, полагая, что уравнения системы автоматического регулирования имеют вид

(4.81)

(переменная  играет роль переменной ). Это имеет место, например, для системы с нелинейной характеристикой двигателя в приводе регулирующего органа, причем,обозначает скорость двигателя;– управляющее воздействие на двигатель,– передаточное число обратной связи. Выражение (4.81) представляет собой общую форму записи уравнений. В конкретных же задачах многие из коэффициентов,,, что упростит выкладки.

Преобразуем эти уравнения к специальной канонической форме.

Записав первые п-1 из уравнений (4.81) в виде

и преобразовав их к одной (любой) из переменных (1, 2, …,п-1),

получим

, (4.82)

где определитель

, (4.83)

а выражение получается иззаменой-го столбца на столбец

Многочлены ихарактеризуют собой свойства линейной части системы. Обозначим через,, …,корни многочленаи будем считать, что все они различны. Тогда уравнение (4.82) после разложения частного двух многочленовина постоянные дроби можно будет записать в виде

, (4.84)

где обозначает производную от многочленапор в которую подставлено значение .

Введем новые переменные

или (1, 2, …,п-1). (4.85)

Выписывая эти соотношения и добавляя к ним последние два из уравнений (4.81), в которых переменные заменяются по формулам (4.84) и (4.85) на, приходим к следующей системе уравнений

(4.86)

где

. (4.87)

Введем, наконец, еще новые переменные

. (4.88)

Продифференцировав по времени все уравнения (4.86) кроме последнего и исключив затем из ру и р, получаем канонические уравнения для заданной системы (4.81) в виде

(4.89)

причем ,, …,и называются каноническими переменными ( играет роль переменной ). Эти уравнения имеют значительно более простой вид, чем исходные уравнение (4.81), что и позволяет провести дальнейшее расследование в более простом и общем виде.

Следует заметить, что вещественным корням  соответствуют вещественные канонические переменные , а комплексным корням – комплексные канонические переменные.

Теперь требуется написать только выражения для исходных переменных через канонические. Получим их.

Если все корни отличны от нуля, то из (4.88) имеем

.

Подставляя это с учетом (4.85) и уравнения (4.84), находим выражения исходных переменных через канонические в виде

(4.90)

Если же один из корней многочлена равен нулю, например, то

и.

В результате вместо (4.90) получаем формулы

(4.91)

где

(4.92)

По последней из формул (4.91) определяется и подставляются во все предыдущие.

Рассмотрим случай, когда релейная характеристика имеет гистерезисную петлю из зоны нечувствительности (рис. 17.15). В частном случае это будет идеальная релейная характеристика. Искомые автоколебания предполагаются симметричными, т. е. вторая половина периода колебаний повторяет первую с обратным знаком (несимметричные автоколебания могут встретиться только в редких случаях) обозначим половину периода автоколебаний черезТ. В течение одной половины периода, когда и согласнорис. 17.15 , уравнения (4.89) имеют вид

,

.

Если корни не равны нулю, то общее решение этих уравнений будет

,

,

где – произвольные постоянные интегрирования. Они определяются из условий периодичности, выражающих собой тот факт, что в конце полупериода колебаний каждая переменная должна быть равна ее значению в начале периода с обратным знаком, а именно:

,

,

если время отсчитывать от начала рассматриваемого полупериода колебаний. В результате получаем

Следовательно, написанное выше решение имеет вид

(4.93)

в интервале .

В начале полупериода в момент переключения реле согласно рис. 17.15 имеем . Подставив это в (4.93), получаем уравнение для определения полупериода автоколебанийТ:

. (4.94)

Период автоколебаний будет 2Т. Следовательно, частота автоколебаний

Необходимо заметить, что для того, чтобы действительно произошло переключение реле, нужно, согласно рис. 17.15, иметь возрастание величины при, т. е. в тот момент должно быть. Отсюда получается, что должно выполняться следующее условие переключения:

. (4.95)

Кроме того, не должно быть обратного переключения реле внутри полупериода, т. е. требуется при. Это можно проверить, построив кривуюпо второй из формул (4.93).

Амплитуда автоколебаний для любой переменной определяется как максимальное ее значение внутри полупериода () на основании формул (4.93). Последние дают также и всю кривую автоколебательного процесса на участке(на втором полупериоде она повторяется с обратным знаком, затем с прежним знаком и т. д.).

В случае, если один из корней равен нулю, например,, то формулы (4.93), (4.94) и (4.95) заменяются соответственно следующими:

(4.96)

а также

, (4.97)

. (4.98)

Устойчивость автоколебаний определяется на основании уравнений данной системы в малых отклонениях от исследуемого автоколебательного процесса. Эти уравнения являются линейными уравнениями с периодическими переменными коэффициентами. Согласно теории Ляпунова (приводится без вывода), необходимым и достаточным условием устойчивости автоколебаний является отрицательность вещественных частей всех корней следующего характеристического уравнения:

, (4.99)

а если , то

, (4.100)

где через р, как и везде ранее, обозначена переменная характеристического уравнения.

Пример. Рассмотрим систему самолета с курсовым автопилотом (в упрощенном виде), которая исследовалась в § 17.2, но только характеристику привода руля возьмем релейную в виде рис. 17.15. В § 17.2 были получены условия устойчивости системы на основании теорем Ляпунова (устойчивость системы по отношению к установившемуся состоянию с постоянным значением угла курса). Теперь же будем искать автоколебания и условия, при которых они имеют место.

Уравнение самолета и автопилота согласно (4.55), (4.60) и (4.59) запишем в виде

(4.101)

где – отклонение самолета от заданного курса; – отклонение руля;  – управляющее воздействие на рулевую машинку (в закон регулирования введена производная и имеется обратная связь). Пусть последнее из уравнений (4.101) изображается графиком на рис. 17.15 (рулевая машинка постоянной скорости).

Положив

; , (4.102)

приведем уравнение (4.101) к виду (4.81). В наших обозначениях получим:

Следовательно, в уравнениях (4.81) в данном случае имеем:

Определитель (4.83) здесь будет

а корни его

, .

Вычислив исогласно указанию к формуле (4.83), а также производнуюи коэффициентыпо формулам (4.87) и (4.92), получим:

В результате канонические уравнения (4.89) здесь будут

(4.103)

а выражения (4.91) для прежних переменных ,, через канонические , ипримут вид

Подставив из последнего уравнения во второе и использовав (4.102), получаем следующие выражения для исходных переменных через канонические

(4.104)

Далее согласно (4.97) записываем уравнения для определения периода автоколебаний:

,

или

, (4.105)

где введено обозначение

. (4.106)

Левая часть равенства (4.105) изображается прямой АВ (рис. 17.16, а), а правая часть – кривой OD. Точка пересечения их является решением уравнения (4.105). Из графика видно, что это уравнение имеет решение только при условии

, (4.107)

причем

.

При прямаяАВ не пересекается с кривой OD, что означает отсутствие автоколебаний при этих значениях .

Но кроме равенства (4.105) необходимо еще выполнение условия переключения (4.98), которое в данном случае будет

,

или

. (4.108)

Следовательно, если даже значение  лежит в интервале (4.107), но не выполняется условие (4.108), то автоколебаний в системе не будет.

Для исследования устойчивости автоколебаний запишем характеристическое уравнение (4.100). Оно получает здесь вид

.

Случай , когда знаменатель обращается в нуль, нереален. Поэтому, считая, что, приведем это уравнение к общему знаменателю, используя обозначение (4.106), что дает

.

Поскольку данное характеристическое уравнение имеет вторую степень, то для устойчивости исследуемых колебаний необходима и достаточна положительность его коэффициентов. Коэффициент при положителен. Коэффициент прир, согласно (4.107), тоже положителен. Поэтому условие устойчивости автоколебаний сводится к положительности свободного члена этого уравнения, т. е.

Отсюда с учетом (4.107) заключаем, что имеются две области устойчивых автоколебаний:

и (4.109)

Между ними лежит область неустойчивого периодического решения

(4.110)

где при начальных условиях, приводящих к отклонениям, которые больше амплитуды этого периодического решения, в системе получаются расходящиеся колебания.

Условие , где всегда имеют место устойчивые автоколебания, согласно (4.106), означает

, (4.111)

т. е. неустойчивую систему (4.110) можно сделать устойчивой автоколебательной системой путем усиления интенсивности введения производной в закон регулирования согласно (4.111). При этом необходимо параметры системы подобрать так, чтобы добиться достаточно малого значения амплитуды автоколебаний и приемлемой (по техническим условиям) частоты их.

Для вычисления амплитуды автоколебаний нужно сначала по формулам (4.96) записать решение для ,и, а именно:

Затем по последней из формул (4.104) надо записать решение для угла рыскания самолета и угла отклонения руля, что дает

(4.112)

По этим уравнениям можно построить графики автоколебаний самолета (17.16, б) и руля (17.16, в), причем

.

Амплитуда автоколебаний руля, как видно из рис. 17.16, в, будет

,

где с – скорость движения руля, согласно характеристике рис. 17.15.

Амплитуда автоколебаний самолета (по углу рыскания) найдется как максимум функциина участке. Взяв от (4.112) производную по t и приравняв ее нулю, получаем следующее уравнение для определения времени , соответствующего максимуму:

, где

Это уравнение решается графически, как показано на рис. 17.16, г. Определив таким образом величину , подставляем ее в первую из формул (4.112), что и дает искомую амплитуду автоколебаний самолета

.

Частота же автоколебаний определяется через полупериод Т, найденный на основании уравнения (4.105) графически (рис. 17.16, а).

Заметим, что задача в данном примере ради простоты решена лишь для упрощенного уравнения движения самолета по курсу (первое из уравнений (4.101)) и в предположении строго постоянства скорости рулевой машинки.