Оценки экспертной комиссии группы С
..pdf
получаем: 3l −20 ≤36, 3l ≤56, l ≤18, k = 2l −20 ≤16; то есть положительных
чисел не более 16.
в(пример) Приведём пример, когда положительных чисел ровно 16. Пусть на доске 16 раз написано число 9, 18 раз написано число −18 и два
раза написан 0. Тогда |
9 16 −18 18 |
=144 −324 = −5 , указанный |
набор |
|
36 |
36 |
|
удовлетворяет всем условиям задачи. |
|
|
|
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16. |
|
|
|
|
|
||
Содержание критерия, задача №3 |
Баллы |
||
Верно выполнены: а), б), в(пример), в(оценка) |
4 |
||
Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка) |
3 |
||
Верно выполнены два пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка) |
2 |
||
Верно выполнен один пункт из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка) |
1 |
||
|
|
||
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных |
0 |
||
выше |
|
|
|
|
|
Максимальный балл |
4 |
Задача 4. (ЕГЭ-2012)
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре
мальчиков было не более 134 от общего числа учащихся группы, посетивших
театр, а в кино мальчиков было не более 52 от общего числа учащихся
группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение (отличное от того, которое было в Критериях оценивания на ЕГЭ)
в) |
Введем |
|
|
|
|
|
Только кино |
И кино, и театр |
Только театр |
||||||||||
|
Мальчики (М) |
|
|
x |
|
y |
|
|
z |
||||||||||
обозначения: |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|||||||||
|
Девочки (D) |
|
|
a |
|
|
|
c |
|||||||||||
Так |
как |
по |
условию |
y + z ≤ |
|
4 |
( y + z +b +c) |
и |
x + y ≤ 2 |
(x + y + a +b) , то |
|||||||||
13 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
9 |
( y + z) ≤ |
|
4 |
(b +c) , |
3 (x + y) ≤ 2 |
(a +b) , т.е. y + z ≤ 4 |
(b +c) и x + y ≤ 2 |
(a +b) . |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
13 |
|
13 |
|
|
5 |
5 |
|
|
9 |
|
|
3 |
|
||||||
Так как M = x + y + z ≤ (x + y) +( y + z) , b +c ≤ a +b +c = D, a +b ≤ a +b +c = D , то
61
M ≤ 4D + 2D , |
|
M ≤10 D . Следовательно M + D ≤19 D, |
|
|
D |
|
|
≥ |
9 |
. |
|||||||||||
|
|
|
M + D |
|
|
||||||||||||||||
9 |
3 |
|
|
9 |
|
|
|
9 |
|
|
19 |
|
|||||||||
Если хотя бы одно из неравенств – строгое, то и |
|
|
D |
|
> |
|
9 |
. Поэтому |
|||||||||||||
|
M + D |
19 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
D |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
равенство |
|
|
|
= |
возможно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Кино |
Кино и театр |
|
|
|
|
|
|
Театр |
|||||||||
|
M |
+ D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
М |
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
||||||
только при y = 0, |
a = 0, c = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
D |
0 |
b=D |
|
|
0 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теперь нетрудно подобрать нужный пример: D =b =9, M =10, |
|
x = 6, y = 4 . |
|||||||||||||||||||
Тогда y + z = 4, |
y + z +b +c =13, x + y =6, |
x + y + a +b =15 и неравенства из |
|||||||||||||||||||
условия задачи становятся равенствами. Итак, ответ в п. в): 199 .
а) и б). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Случай M =10 возможен: |
|
Кино |
Кино и театр |
|
Театр |
|
||||||||||||
М |
4 |
0 |
|
6 |
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
6 |
|
|
6 |
= 2 . |
D |
0 |
10 |
|
0 |
|
|
В нем |
≤ |
|
и |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
16 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
14 |
13 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если M + D = 20, M ≥11, то D ≤9 , что противоречит M ≤10 D . |
|
|
||||||||||||||||
Итак, ответы: п. а): да, может; б) 10. |
|
9 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Содержание критерия, задача №4 |
|
Баллы |
|||||||||
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) |
|
4 |
|
|||||||||||||||
результаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) |
|
3 |
|
|||||||||||||||
результатов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) |
|
2 |
|
|||||||||||||||
результатов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Верно получен один из следующих результатов: |
|
|
|
|||||||||||||||
— обоснованное решение п. а; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
— обоснованное решение п. б; |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
— искомая оценка в п. в; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки |
|
|
|
|||||||||||||||
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных |
0 |
|
||||||||||||||||
выше |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальный балл |
4 |
|
||
62
Примеры оценивания заданий С6.
Пример 1. Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге? Ответ: 1 и 4131. (См. критерии задачи 1.)
Комментарий.
Ситуация понятная. Решение, пожалуй, даже более ясное, чем приведенное выше. В нем конкретно указано и общее число (54) произведений, и число (15) нечетных произведений. Формально, выписанный ответ не совпадает с верным ответом. Но верный ответ обоснованно получен строчкой ранее.
Оценка эксперта: 4 балла.
63
Пример 2.
Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?
Ответ: 1 и 4131. (См. критерии задачи 1.)
64
Продолжение примера 2.
Комментарий.
У автора все замечательно обстоит с креативностью (задача по существу решена), с развернутым, ясным и грамотным изложением всех своих рассуждений. Но вот вычисления вызывают осложнения: наибольшая сумма вычислялась дважды и оба раза неверно.
Оценка эксперта: 3 балла.
65
Пример 3.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? Ответ: а) нет, б) да, в) 549. (См. критерии задачи 2.)
Комментарий.
Пример того, как структурирование условия задачи по пунктам однозначно позволяет оценить работу: и в а), и в б) ответы верны, и обоснованы, а больше нечего в решении нет.
Оценка эксперта: 2 балла.
66
Пример 4.
Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов? б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности? Ответ: а) нет, б) да, в) 549. (См. критерии задачи 2.)
67
Продолжение примера 4.
Комментарий. Попробуем ровно по критериям. «Верно выполнены три пункта из четырёх: а), б), в(пример), в(оценка)»? Да, в тексте можно отыскать и верный ответ 549, и конструкцию примера: 10, 1, 10, 1, …, 10, 1, 10. Значит, 3 балла есть, а 4 балла поставить невозможно, так как нет никакого обоснования того, что более 549 членов последовательность содержать не может.
Оценка эксперта: 3 балла.
68
Пример 5.
На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −5 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 9, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −18 .
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
Ответ: а) 36; б) отрицательных; в) 16. (См. критерии задачи 3.)
Комментарий. Сложный случай. Формально, первое же равенство неверно. Но из этого равенства ясно, что имеет место описка: j −кол-во нулевых
чисел. Тогда далее – почти всё верно! Только почему-то в тексте есть слова «…пол. больше», хотя в ответе верно указано, что больше отрицательных. Утверждение про «бессмысленно брать j меньше 2» не обосновано.
Оценка эксперта: 3 балла.
69
70
Пример 6. Условие, см. Пример 5.
Комментарий. Обоснованно получен верный ответ только в а) и только в случае отсутствия нулей среди данных чисел. Формально, это 0 баллов, но решение а) для произвольного случая ничем не отличается от приведенного
Оценка эксперта: 1 балл.
70