1.2.4. Структурные средние

Помимо перечисленных в предыдущем параграфе средних величин в статистике широко применяются структурные средние, характеризующие структуру рядов распределения. Это – мода и медиана.

Мода (Mo) – это значение признака, который чаще всего встречается в статистическом ряду.

Медиана (Me) – значение признака (варианта), приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности, т.е. это вариант, который делит ряд распределения на две равные по объему части. Медиана обладает важными свойствами. В частности, сумма модулей отклонений вариантов от медианы всегда меньше, чем сумма отклонений вариантов от любой другой величины, т.е. . Это свойство медианы широко используется при определении экономической целесообразности применения отдельно взятого процесса или явления.

Медиана и мода не зависят от крайних значений вариантов, поэтому применяется для характеристики центра в ряду распределения с неопределенными границами.

Студенту необходимо привести алгоритм расчета моды и медианы, используя интервальный ряд по данным о кадастровой стоимости земель населенного пункта. Пример расчета приведен в таблице 1.4.

таблица 1.4

Алгоритм расчета моды и медианы по данным кадастровой стоимости земель населенного пункта

Кадастровая стоимость земель, тыс.руб/кв.м	Количество земельных участков (f)	Накопленная частота (S)	Середина интервала ()
1	2	3	4	5
до 14	20	20	13	260
14 - 16	30	50	15	450
16 - 18	25	75	17	425
18 - 20	15	90	19	285
свыше 20	10	100	21	210
Итого	100	-	-	1630

По данным таблицы 1.4, наибольшая кадастровая стоимость принадлежит земельным участком в интервале 14 – 16 тыс.руб./кв.м (графа 1). Это и есть модальный интервал, ширина интервала i = 2, а нижняя граница x₀ = 14, частота f_мо = 30, предмодальная частота f_мо-1 = 20, а послемодальная частота f_мо+1 = 25.

Модальное значение кадастровой стоимости в интервальном вариационном ряду определяется по формуле:

где иi – соответственно нижняя граница и величина модального интервала; ,,- частота (частотости) модального, предмодального и послемодального интервала.

тыс. руб./кв.м

Таким образом, в данной совокупности земельных участков наиболее часто встречается кадастровая стоимость в размере 15,3 тыс. руб./кв.м.

При выполнении данного задания необходимо обращать особое внимание:

1. Если используется интервальный ряд распределения то, допускается, что распределение в границах i-го интервала является равномерным, как вариант X_i, используют середину интервала (). При этом величину открытого интервала условно считают такой же, как и величину соседнего закрытого интервала.

2. На расчет кумулятивной (накопленной) частоты, S_i, характеризующей объем совокупности со значениями вариантов, не превышающих Xi. Кумулятивные частотные показатели образуются последовательным суммированием абсолютных и относительных частот: S₁ = f₁; S₂ = f₁ + f₂; S₃ = f₁ + f₂ + f₃ и т.д.

Для определения медианы в ранжированном ряду необходимо вначале найти номер медианы:

Накапливаем частоты (см. графу 2 таблица 1.4) и определяем, что 50,5 земельных участков приходятся на интервал кадастровой стоимости 16 – 18 тыс.руб./кв.м.

Нахождение медианы на данном интервале определим по формуле:

где иi – соответственно нижняя граница и величина медианного интервала; f_Me – частота медианного интервала; S_Me-1 – кумулятивная частота предмедианного интервала.

По расчетам определяем, половина (50%) земельных участков имеет кадастровую стоимость выше 16 тыс.руб./кв.м, и половина (50%) имеет кадастровую стоимость ниже 16 тыс.руб./кв.м.

В умеренно асимметричных рядах распределения значения моды и медианы соотносятся следующим образом:

.

В рассмотренном примере соотношение характеристик центра распределения кадастровой стоимости земельных участков свидетельствует об умеренной асимметрии: 3 • (16,3-16)16,3-15,3.

После изучения параграфа 1.2.4 студент сможет:

-раскрыть природу и практическое значение структурных средних (мода, медиана) как особой разновидности средних величин в статистике;

- проводить различие между алгебраическими средними и структурными средними величинами.