20 Свойствва пределов. Первый и второй замечтльный предел

1°   Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности их пределов:

2°   Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

3°   Предел частного двух функций равен частному их пределов, при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

4°   Константу можно выносить за знак предела:

°5   Предел степени с натуральным показателем равен степени предела:

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

Первый замечательный предел:

Определение

Предел отношения синуса к его аргументу равен единице в случае, когда аргумент стремится к нулю.

Второй замечательный предел:

здесь е - число Эйлера.

21 Основные неопределенности пределов и их раскрытие.

С непосредственным вычислением пределов основных элементарных функций разобрались.

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

22 Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называетсябесконечно малой в точке , если.Аналогично определяются бесконечно малые функции при,,,,.

Функция называетсябесконечно большой в точке , если для любогосуществуеттакое, что при всех, удовлетворяющих, выполняется неравенство.В этом случае пишут, что, т.е. функциястремится к бесконечности при.Если выполняется неравенство, то пишут

23 Эквивалентно беск.мал.

Функции иназываютэквивалентными бесконечно малыми при , если

Очень удобно пользоваться заменой эквивалентных бесконечно малых при нахождении пределов. Замена производится на основе таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Пусть - бесконечно малая при.

24 Понятие непрерывности в точке

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению Δх аргумента х в точке соответствует  бесконечно малое приращение функции Δy, т. е. . Другими словами, функцияу = f (х)  непрерывна в точке , если, т. е. предел функции в точкеравен значению функции в этой точке.

Непрерывность функции

На практике удобно использовать следующие 3 условия непрерывности функции f (x) в точке x = a :

1. Функция f (x) определена в точке x = a;

2. Предел существует;

3. Выполняется равенство .

Определение непрерывности по Коши (нотация )

Рассмотрим функцию f (x), которая отображает множество действительных чисел на другое подмножествоB действительных чисел. Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке , если для любого числа существует число , такое, что для всех , удовлетворяющих соотношению

выполняется неравенство

Точка называетсяточкой разрыва функции , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки(то есть определена на некотором интервале, для которогослужит внутренней точкой, но в самой точке, возможно, не определена

Устранимые точки разрыва

Если предел функции существует, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

,

то точка называетсяточкой устранимого разрыва функции .

Точки разрыва первого и второго рода

• если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. Точки устранимого разрыва являются точками разрыва первого рода;

• если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода.