17 Кривые второго порядка, определения и канонические уравнения

Кривые второго порядка – это эллипс, окружность, гипербола и парабола

Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0

Эллипс – геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

В частном случае, когда a=b (c=0, ε=0, фокусы сливаются в одной точке - центре), эллипс вырождается в окружность.

Гипербола - геометрическое место точек, для каждой из которых модуль разности расстояний от нее до двух данных точек F1,F2 (фокусы) есть величина постоянная, равная 2a.

Парабола – геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от данной точки (фокус) и от данной прямой (директриса)

Канонические уравнения кривых второго порядка

   окружность радиуса , начало координат – центр симметрии (рис. 11);

    эллипс, осевая симметрия (рис. 11);

 

Рис. 11.  Эллипс и окружность

   гипербола,  пересекает ось (рис. 12), осевая симметрия;

   гипербола, пересекает ось (рис. 12), осевая симметрия;

 

Рис. 12.  Сопряженные гиперболы

   парабола,  параметр, вершина в начале координат, ветви направлены вверх, ось  ось симметрии (рис. 13);

   парабола,  параметр, вершина в начале координат,  ветви направлены вниз, ось  ось симметрии (рис. 13);

   парабола,  параметр, вершина в начале координат,  ветви направлены вправо,  ось  ось симметрии (рис. 13) ;

   парабола,  параметр, вершина в начале координат, ветви направлены влево, ось  ось симметрии (рис. 13) .

 

 

Рис. 13.  Параболы

18 Поверхности второго порядка

К невырожденным поверхностям второго порядка относятся эллипсоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид, однополостной гиперболоид и двуполостной гиперболоид. Строгое изучение этих поверхностей проводится в курсе аналитической геометрии. Здесь же мы ограничимся определениями и иллюстрациями.

Определение Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Определение 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом.

Определение 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется гиперболическим параболоидом.

Определение Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом.

Определение 

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x² = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x² = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x² – y² = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x² + y² + z² = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x² + y² = 1 – круговой цилиндр, уравнение x² + y² = z² – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.

19 Предел функции и его геометр.смысл одностороние пределы

Число А называется пределом функции в точке х_о (или при х→х_о), если для любого положительного ε найдется такое положительное число δ, что для все хх_о, удовлетворяющих неравенству |х-х_о|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Геометрический смысл предела функции:

если для любой ε-окрестности точки А найдется такая δ-окрестность точки х_о, что для всех ххо из етой  δ-окрестность соответствующие значения функции ƒ(х) лежат в ε-окрестности точки А. Иными словами, точки графика функции у=ƒ(х) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А+ ε , у=А-ε (см. рис. 110). Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Число называетсяправым пределом функции в точке , если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство(рис. 1). Правый предел обозначается

Число называетсялевым пределом функции в точке , если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство(рис. 2). Левый предел обозначается